मूविंग मेश उत्पन्न करने के पीछे मूल सिद्धांत क्या हैं?

Question

मैं एक विशेषण-प्रसार समस्या के लिए एक बढ़ते जाल को लागू करने में रुचि रखता हूं। एडेप्टिव मूविंग मेश मेथड्स का एक अच्छा उदाहरण देता है कि कैसे परिमित अंतर का उपयोग करके 1 डी में बर्गर के समीकरण के लिए यह करना है। क्या कोई एक चलती जाल के साथ परिमित-अंतर का उपयोग करते हुए 1D उत्तोलन-प्रसार समीकरण को हल करने पर एक काम का उदाहरण पेश कर सकेगा?

उदाहरण के लिए, रूढ़िवादी रूप में समीकरण है,

$$u_t = (a(x)u + du_x)_x$$

जहां वेग (अंतरिक्ष के एक समारोह) है। प्रारंभिक शर्तें u ( 0 , x ) निर्दिष्ट कर सकती हैं (उदाहरण के लिए) एक प्रवाह प्रजाति बाएं से दाएं (जैसे एक पाइप के साथ) चलती है जहां प्रारंभिक स्थिति में एक तेज ढाल है।$a(x)$$u(0,x)$

मूविंग मेश के लिए समतुल्य समस्या को कैसे हल किया जाना चाहिए (संभवतः डी बर के एल्गोरिथ्म या अन्य दृष्टिकोण के साथ)? मैं इसे पायथन में खुद लागू करना चाहता हूं ताकि यदि आपके उत्तर को कोड में आसानी से अनुवाद किया जा सके तो बेहतर होगा!

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इनाम से पहले पुराना सवाल

1. सिस्टम के गुणों के आधार पर एक अनुकूली जाल बनाने के लिए बुनियादी दृष्टिकोण क्या हैं? क्या मुझे प्रवाह का उपयोग करना चाहिए जहां ग्रेडिएंट बड़े हैं?
2. क्योंकि मैं एक पुनरावृत्त (समय स्वीप) समाधान चाहता हूं। मैं कल्पना करता हूं कि पुराने ग्रिड से नए ग्रिड के लिए प्रक्षेपित करना महत्वपूर्ण है, सामान्य दृष्टिकोण क्या है?
3. मैं वास्तव में एक साधारण समस्या के लिए काम किया उदाहरण देखना पसंद करूंगा (जैसे कि संवहन समीकरण)।

समस्या की बारीकियों के बारे में पृष्ठभूमि। मैं समीकरण के 1D युग्मित प्रणाली का अनुकरण कर रहा हूं,

$\frac{\partial u}{\partial t} = a_u\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + b_u\frac{\partial u}{\partial x} + f_u(x,u,v,w) \\ \frac{\partial v}{\partial t} = a_v\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + b_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_v(x,u,v,w) \\ \frac{\partial w}{\partial t} = a_u\frac{\partial u}{\partial x} +a_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_w(x,u,v,w) \\ $

समीकरणों के समुच्चय में दो प्रजातियों के प्रसार-प्रसार की समस्या का वर्णन किया गया है, जहां तीसरे समीकरण जोड़े अन्य दो के लिए हैं। मेरे ग्रिड के केंद्र के पास समाधान तेजी से बदलता है, नीचे देखें (ये चित्रण हैं गणना नहीं),

ध्यान दें कि निचले पैमाने पर लॉग पैमाने, और वी के समाधान परिमाण के आदेशों पर भिन्न होते हैं। ऊपरी ग्राफ़ ( w ) पर केंद्र में एक असंतोष है। मैं उपर्युक्त प्रणाली को एक अनुकूल अपविंड के साथ हल कर रहा हूं, जहां विवेकीकरण केंद्रीय से लेकर Péclet संख्या के स्थानीय मूल्य के आधार पर वर्चस्व के अनुकूल हो सकता है । मैं समय ("क्रैंक-निकोलसन") में ट्रैपोज़ाइडल एकीकरण के साथ प्रणाली को हल कर रहा हूं।$u$$v$$w$

$w$

$u$$v$$w$

Comments

मैं जो इकट्ठा करता हूं, उससे आपकी छूट प्रणाली की एक बहुत ही स्थिर विशेषता है जिसमें वह इधर-उधर हो सकता है, लेकिन यह हमेशा कहीं न कहीं (मुझे गलत होने पर सही कर देता है) है। उस कारण से, आप जाल शोधन के बजाय एक चलती जाल का उपयोग करने पर विचार कर सकते हैं। अपने आप को प्रोग्राम करना एक अच्छा सा सरल तरीका है। [यह पुस्तक] (books.google.com/books?isbn=1441979166) एक अच्छा संदर्भ है।

— डैनियल शेपरो

हां, यह लगता है कि यह एक बहुत स्थिर सुविधा (डिसकंटिनिटी) होनी चाहिए, यह समय-स्वीपिंग के दौरान थोड़ा आगे बढ़ सकता है और स्थिर अवस्था में आने पर शायद थोड़ा असममित हो सकता है। मैं कल्पना करता हूं कि मैं एक गैर-वर्दी (गैर-अनुकूली) ग्रिड का उपयोग कर सकता हूं, जिसके केंद्र में कुछ अधिक जटिल होने के बजाय अंक हैं। मुझे विभिन्न जाल अनुकूलन तकनीकों की जानकारी नहीं थी। पुस्तक अच्छी लगती है, हालांकि एक चलती हुई ग्रिड को सख्ती से लागू करने के लिए अभी भी काफी काम है। मैं एक "जल्दी ठीक" के लिए आशा व्यक्त की थी!

— बॉयफ्रेल

Answer 1

एक अनुकूली ग्रिड एक ग्रिड नेटवर्क है जो स्वचालित रूप से उच्च प्रवाह क्षेत्र ग्रेडिएंट के क्षेत्रों में ग्रिड बिंदुओं को जोड़ देता है; यह भौतिक विमान में ग्रिड बिंदुओं का पता लगाने के लिए प्रवाह क्षेत्र गुणों के समाधान का उपयोग करता है। अनुकूली ग्रिड गवर्निंग फ्लो फील्ड समीकरणों के समय-निर्भर समाधान के साथ समय के चरणों में विकसित होता है, जो समय के चरणों में प्रवाह क्षेत्र चर की गणना करता है। समाधान के दौरान, भौतिक प्रवाह में ग्रिड बिंदु इस तरह से बड़े फ्लो फील्ड ग्रेडिएंट के क्षेत्रों के लिए 'अनुकूल' हो जाते हैं। इसलिए, भौतिक क्षेत्र में वास्तविक ग्रिड बिंदु प्रवाह क्षेत्र के समाधान के दौरान लगातार गति में होते हैं, और स्थिर हो जाते हैं जब प्रवाह समाधान एक स्थिर स्थिति में पहुंचता है।

ग्रिड अनुकूलन का उपयोग स्थिर और अस्थिर दोनों प्रकार की समस्याओं के लिए किया जाता है। स्थिर प्रवाह समस्याओं के मामले में ग्रिड को पुनरावृत्तियों की पूर्व निर्धारित संख्या के बाद अनुकूलित किया जाता है और समाधान के रूप में परिवर्तित होने पर ग्रिड अनुकूलन बंद हो जाएगा। समय के मामले में सटीक समाधान ग्रिड बिंदु गति और शोधन शारीरिक समस्या के समय सटीक समाधान के साथ संयोजन में किया जाता है। इसके लिए भौतिक समस्या के पीडीई और ग्रिड आंदोलन या ग्रिड अनुकूलन का वर्णन करने वाले सटीक सटीक समय की आवश्यकता होती है।

नए विन्यास की गणना के लिए मेष पीढ़ी और पिछले अनुभव के लिए सर्वोत्तम अभ्यास दिशानिर्देशों पर निर्भरता बड़ी मात्रा में संख्यात्मक त्रुटि के लिए खुला छोड़ देती है। ग्रिड अनुकूलन पद्धतियां समाधान की गुणवत्ता में पर्याप्त सुधार ला सकती हैं और बेहतर परिणाम का वादा करती हैं क्योंकि कोई भी सीमा मौजूद नहीं है जो ग्रिड रिज़ॉल्यूशन की सीमा को परिभाषित करती है जिसे प्राप्त किया जा सकता है।

$h$$r$$p$$rp$$hp$$r$$h$

$h$

$h$

$r$

मेष और इसकी कनेक्टिविटी के लिए स्थानीय टोपोलॉजिकल परिवर्तन करने के बजाय, आर-अनुकूली तरीके निश्चित अंकों की कुल संख्या के स्थानों को स्थानांतरित करके रिज़ॉल्यूशन में स्थानीय परिवर्तन करते हैं।

$p$

परिमित मात्रा या परिमित तत्व विधि के बजाय परिमित तत्व दृष्टिकोण में ग्रिड अनुकूलन की बहुत लोकप्रिय विधि। यह एक ही ज्यामितीय तत्व आदेश के साथ प्रक्षेप कार्यों के बहुपद के संवर्धन द्वारा समाधान में त्रुटि को कम करता है। कोई नई जाली, ज्यामिति की गणना नहीं की जाती है और इस पद्धति का एक और लाभ यह है कि यह कम संवेदनशीलता के साथ बेहतर अनियमित या घुमावदार सीमाओं को बेहतर बना सकता है। पहलू अनुपात और तिरछा करने के लिए। इस वजह से इसकी संरचनात्मक संरचना में बहुत प्रसिद्ध है।

$Driving-sources-of-grid-adaptation$

$1. Feature-based-adaptation$ ग्रिड अनुकूलन के लगभग बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाने वाले फ़ीचर आधारित ग्रिड अनुकूलन के लिए ड्राइविंग बल के रूप में समाधान की सुविधा को रोजगार देते हैं। ये अक्सर समाधान की विशेषताओं जैसे समाधान ग्रेडिएंट और समाधान वक्रता का उपयोग करते हैं। प्रवाह क्षेत्र जिनके बड़े समाधान ग्रेडिएंट हैं, उन्हें अधिक बिंदुओं के साथ हल किया जाता है और न्यूनतम महत्व के क्षेत्रों को मोटे किया जाता है। इससे उस क्षेत्र का शोधन होता है जो भौतिक रूप से विशिष्ट है जैसे कि सीमा परत, झटके, पृथक्करण रेखाएँ, ठहराव बिंदु, आदि। कुछ मामलों में, ग्रेडिएंट-आधारित शोधन वास्तव में समाधान त्रुटि को बढ़ा सकता है, इसलिए फीचर आधारित अनुकूलन जैसे कुछ मुद्दे हैं। मजबूती और अन्य।

$2.Truncation-error-based-adaption$ ट्रंकेशन त्रुटि आंशिक अंतर समीकरण और उसके विवेकाधीन समीकरण के बीच का अंतर है। ट्रंकेशन त्रुटि अधिक उपयुक्त दृष्टिकोण है जहां अनुकूलन होना चाहिए। ट्रंकेशन त्रुटि आधारित अनुकूलन के पीछे सामान्य अवधारणा कुल विवेकाधीन त्रुटि को कम करने के लिए सिमुलेशन के डोमेन पर त्रुटि को संतुलित करना है। सरल समीकरणों के लिए ट्रंकेशन त्रुटि का मूल्यांकन सबसे आसान काम है, लेकिन जटिल योजनाओं के लिए उस उद्देश्य के लिए इसके कठिन दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। सरल विवेकाधीन योजनाओं के लिए, ट्रंकेशन त्रुटि को सीधे गणना की जा सकती है। अधिक जटिल योजनाओं के लिए जहां ट्रंकेशन का प्रत्यक्ष मूल्यांकन मुश्किल है, ट्रंकेशन त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए एक दृष्टिकोण की आवश्यकता है।

$3.Adjoint-based-adaptation$

शुभकामनाएं!

$References:-$

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[[] जसक एच। और गोस्मान एडी for नीट-वॉलम ई एम एथोड, भाग १: ए-पोस्टीरियर त्रुटि अनुमानों के लिए स्वचालित रिज़ॉल्यूशन नियंत्रण। न्यूमेरिकल हीट ट्रांसफर, टेलर एंड फ्रांसिस, 38: 237-256, 2000।

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[१३] हार्टमैन राल्फ। एरोडायनामिक्स में त्रुटि का अनुमान और आसन्न-आधारित अनुकूलन। कम्प्यूटेशनल द्रव गतिशीलता पर यूरोपीय सम्मेलन, 2006 में।

Comments

यह पहला पैराग्राफ कम्प्यूटेशनल फ्लुइड डायनेमिक्स: एन इंट्रोडक्शन से आता है। शायद इसका संदर्भ देना चाहिए। लेकिन यह एक अवलोकन है, धन्यवाद। क्या आपने कभी एक अनुकूलन समस्या के लिए अनुकूलन लागू किया है, यह मूल रूप से है जिसे मैं हल करने की कोशिश कर रहा हूं?

— बॉयफ्रेल

@boyfarrell, हाँ, यह सच है, वास्तव में मैंने अपने पाठ्यक्रम के काम के हिस्से के रूप में "ग्रिड अनुकूलन" पर अपनी रिपोर्ट से यह सब लिया है, जहां मैंने संदर्भों का ठीक से हवाला दिया है। यहाँ इसका इतना संदर्भ जोड़ना मुश्किल है इसलिए मैंने इसे छोड़ दिया है। यदि आप चाहें, तो मैं आपके साथ सभी संदर्भ साझा करूंगा। हां, मैं अपने शोध कार्य के हिस्से के रूप में ग्रिड अनुकूलन का उपयोग करने की योजना बना रहा हूं, लेकिन अभी तक शुरू नहीं किया गया है। शुभकामनाएं!

— शामनाथ Sha

एक साहित्य दृश्य शुरू करने का एक अच्छा तरीका है, साझा करने के लिए धन्यवाद!

— बॉयफ्रेल

@boyfarrell, मैंने अपने उत्तर के संदर्भ जोड़े हैं, जिनका उपयोग मैंने उपरोक्त विवरण के लिए किया है। ऑल द बेस्ट

— शिनथ

Answer 2

मैं (अभी भी) इसके लिए अच्छे उत्तरों की तलाश में था। मैं बहु-स्तरीय अनुकूली ग्रिड के साथ काम करता हूं जहां मैं शोधन के लिए किसी प्रकार की कसौटी का उपयोग करता हूं। FEM का आनंद लेने वाले लोग, बल्कि सस्ते (कम्प्यूटेशनल रूप से), कठोर त्रुटि का अनुमान लगाते हैं कि वे शोधन मानदंड के रूप में उपयोग करते हैं। एफडीएम / एफवीएम करने के लिए मुझे ऐसा कोई अनुमान लगाने का सौभाग्य नहीं मिला है।

इस संदर्भ में, यदि आप परिशोधन के बारे में कठोर होना चाहते हैं, अर्थात वास्तविक त्रुटि के कुछ अनुमान के आधार पर परिशोधित करें, तो आपकी (लगभग) एकमात्र पसंद रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन है। उदाहरण के लिए, बर्जर और ओलगर (1984) ने अपने ब्लॉक-स्ट्रक्चर्ड, एएमआर हाइपरबोलिक सॉल्वर के लिए इसका इस्तेमाल किया था । कार्यप्रणाली इस मायने में सामान्य है कि आप रिचर्डसन एक्सट्रैपलेशन को लगभग किसी भी समस्या के लिए उपयोग कर सकते हैं। इसके साथ एकमात्र मुद्दा यह है कि यह महंगा है, खासकर क्षणिक समस्याओं के लिए।

रिचर्डसन एक्सट्रैपलेशन के अलावा, अन्य सभी मानदंड (मेरी विनम्र राय में) सिर्फ तदर्थ हैं। हां, आप "ब्याज की मात्रा" पर एक निश्चित सीमा निर्धारित कर सकते हैं और उसी के आधार पर परिशोधित कर सकते हैं। आप कुछ बड़े ढाल को सचेत करने के लिए कुछ मात्रा के फ्लक्स या डेरिवेटिव का उपयोग कर सकते हैं और इसका उपयोग कर सकते हैं। या यदि आप किसी इंटरफ़ेस को ट्रैक कर रहे हैं, तो आप इंटरफ़ेस के कितने करीब हैं, इसके आधार पर आप उसे परिष्कृत कर सकते हैं। ये सभी बहुत सस्ते हैं, बेशक, लेकिन उनके बारे में कुछ भी कठोर नहीं है।

ग्रिड के बीच प्रक्षेप के लिए, आपको आम तौर पर कुछ ऐसा चाहिए होता है जो कम से कम उतना ही सटीक हो जितना कि आप सॉल्वर। कभी-कभी कुछ गुणों को संतुष्ट करने वाले प्रक्षेपों का निर्माण करना संभव होता है, जैसे कि द्रव्यमान का संरक्षण करना या उत्तल करना इस प्रकार नई विलुप्तता का परिचय नहीं देता है। मैंने नोट किया है कि यह अंतिम संपत्ति कभी-कभी समग्र योजना की स्थिरता के लिए बहुत महत्वपूर्ण है।

Comments

अपने अनुभवों का साझा करने के लिए धन्यवाद। हां, ऐसा लगता है कि यह सख्ती करना वास्तव में काफी शामिल है। जैसा कि मेरी समस्या अपेक्षाकृत सरल है (केवल 1 डी आदि)। मैं पहले एक निश्चित (गैर-वर्दी) की कोशिश करूंगा। हालांकि मैं चलती ग्रिड दृष्टिकोण के कुछ नरम को लागू करने के लिए बहुत लुभाता हूं । यदि आपने पहले मूविंग ग्रिड किया है, तो यह कहना कितना आसान है, कि, एक एडवेंशन समीकरण?

— बॉयफ्रेल

@boyfarrell मुझे यकीन नहीं है कि एक चलती हुई ग्रिड क्या है। क्या यह 1 डी ग्रिड की तरह है जहां बिंदुओं के बीच की दूरी समय में बदल सकती है?

— ग्रेजुयू

डैनियल शेपरो (ऊपर) एडेप्टिव मूविंग मेश मेथड्स द्वारा सुझाए गए लिंक को देख रहा है । दिलचस्प लगता है।

— बॉयफ्रेल

Answer 3

अगर यह वास्तव में 1D है, तो आपको शायद यहां किसी भी अनुकूली जाल की आवश्यकता नहीं होगी, इस तरह की एक साधारण समस्या के लिए आप शायद एक स्थैतिक ग्रिड के साथ एक आधुनिक कार्य केंद्र की कंप्यूटिंग शक्ति के साथ सभी को हल कर सकते हैं। लेकिन यह एक पूरी तरह से उचित रणनीति है, समय-एकीकरण की प्रक्रिया में, समय-समय पर उन क्षेत्रों की पहचान करने के लिए जहां संख्यात्मक संकल्प पर बल दिया जाता है, वहां ग्रिड बिंदुओं को जोड़ें (और अति-हल किए गए क्षेत्रों से ग्रिड बिंदुओं को हटा दें), और नए ग्रिड के लिए प्रक्षेपित करें। लेकिन यह बहुत बार नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि प्रक्षेप महंगा हो सकता है, और यह समग्र गणना में संख्यात्मक त्रुटि जोड़ देगा।

Comments

आपका अनुभव साझा करने के लिए धन्यवाद। मेरे विचार से आप सही है; मैं शायद सिर्फ इस मामले में एक गैर-स्थिर ग्रिड का उपयोग कर सकता हूं, क्योंकि एक ही स्थान पर अधिक या कम असंतोष रहता है। क्या आप सहमत हैं?

— बॉयफ्रेल