एक Lagrange गुणक के रूप में दबाव

असंगत नवियर-स्टोक्स समीकरणों में,

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$ दबाव शब्द को अक्सर असंगतता की स्थिति को लागू करने वाले लैग्रेंज गुणक के रूप में संदर्भित किया जाता है।

यह किस मायने में सही है? क्या असंगत नवियर-स्टोक्स समीकरणों का निर्माण एक अनुकूलन समस्या के रूप में अपूर्णता बाधा के अधीन है? यदि हां, तो क्या एक संख्यात्मक एनालॉग है जिसमें एक अनुकूलन रूपरेखा के भीतर असंगत द्रव प्रवाह के समीकरण हल किए जाते हैं?

— बेन
स्रोत

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

किसी भी संख्यात्मक योजना में समस्याओं के बीच इस समानता का दोहन नहीं किया जाता है (लेकिन मुझे पता है) लेकिन यह विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण उपकरण है क्योंकि यह दर्शाता है कि स्टोक्स समीकरण अनिवार्य रूप से एक रेखीय उप-क्षेत्र पर पॉइसन समीकरण हैं। वही समय-निर्भर स्टोक्स समीकरणों के लिए सही है (जो कि उप-भूमि पर गर्मी समीकरण से मेल खाती है) और इसे नवियर-स्टोक्स समीकरणों तक बढ़ाया जा सकता है।

— वोल्फगैंग बंगर्थ
स्रोत

एक महान जवाब के लिए धन्यवाद। क्या आप जानते हैं कि इस फॉर्मूलेशन को समय-निर्भर मामले में बढ़ाया जा सकता है?

— बेन

हां, जैसा कि मैं कहता हूं कि यह विचलन मुक्त कार्यों के उप-स्थान पर एक गर्मी समीकरण की ओर जाता है।

— वोल्फगैंग बैंगर्थ

क्षमा करें, मुझे स्पष्ट होना चाहिए था। क्या समय-निर्भर स्टोक्स (या नवियर-स्टोक्स) समीकरणों को अनुकूलन समस्या के रूप में पुन: व्यवस्थित करने का एक तरीका है, संभवतः समय के साथ एक कार्यात्मक एकीकृत?

— बेन

एक अनुकूलन समस्या के रूप में नहीं - गर्मी समीकरण का समाधान कुछ भी कम नहीं करता है (हालांकि यह एक लैरेंजियन फ़ंक्शन का स्थिर बिंदु है)। लेकिन आप स्टोक्स समीकरणों को इस प्रकार बना सकते हैं: खोजें ताकि सभी बाधा के अधीन है कि । ध्यान दें कि मैंने परीक्षण स्थान को परीक्षण स्थान की तुलना में छोटा चुना है और इसलिए चर समीकरण के बाएं और दाएं हाथ बराबर नहीं होंगे। अंतर दबाव है।

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

— वुल्फगैंग बैंगर्थ