गैर-स्थिर गुणांक को परिमित मात्रा वाले पहले ऑर्डर अपवर्ड स्कीम के साथ कैसे व्यवहार किया जाना चाहिए?

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संरक्षण के रूप में संवहन समीकरण के साथ शुरू करना।

u_{t} = (a (x) u)_{x}

$u_t = (a(x)u)_x$

जहां एक वेग है जो अंतरिक्ष पर निर्भर करता है, और एक प्रजाति की एकाग्रता है जो संरक्षित है। $a(x)$ $u$

(जहां फ्लक्स , को मेष बिंदुओं के बीच की कोशिकाओं के किनारों पर परिभाषित किया गया है) देता है, $f=a(x)u$

u_{t} = \frac{1}{h} (f_{j - \frac{1}{2}} - f_{j + \frac{1}{2}})

$u_t = \frac{1}{h}\left( f_{j-{\frac{1}{2}}} - f_{j+{\frac{1}{2}}} \right)$

पहले आदेश का उपयोग करते हुए, हम फ्लक्स को अनुमानित करते हैं,

f_{j - \frac{1}{2}} = a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - 1} f_{j + \frac{1}{2}} = a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j}

$f_{j-{\frac{1}{2}}} = a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} \\ f_{j+{\frac{1}{2}}} = a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j}$ जो देता है,

u_{t} = \frac{1}{h} (a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - 1} - a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j})

$u_t = \frac{1}{h} \left( a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j} \right)$

यदि स्थिर था, तो यह परिचित योजना को कम कर देगा अर्थात, । $a(x)$ $u_t = \frac{a}{h} \left( u_{j-1} - u_{j} \right)$

मेरा सवाल यह है कि हम संवहन समीकरण के गैर-स्थिर गुणांक का इलाज कैसे कर सकते हैं ? वेग को सेल केंद्रों पर परिभाषित किया जाता है, इसलिए एक सरल दृष्टिकोण निम्नलिखित होगा,

a (x_{j - \frac{1}{2}}) \to a (x_{j - 1}) a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to a (x_{j})

$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j-1}) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j})$

यह मेरा पसंदीदा तरीका है क्योंकि इसे लागू करना बहुत सरल है।

हालाँकि, हम सेल किनारों पर वेग को परिभाषित करने के लिए एक औसत योजना (मैं अनुमान लगा रहा हूं) का उपयोग कर सकते हैं,

a (x_{j - \frac{1}{2}}) \to \frac{1}{2} a (x_{j - 1}) + \frac{1}{2} a (x_{j}) a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to \frac{1}{2} a (x_{j}) + \frac{1}{2} a (x_{j + 1})

$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j-1} ) + \frac{1}{2}a(x_{j} ) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j} ) + \frac{1}{2}a(x_{j+1} ) \\$

में Leveque की किताब वे कहते हैं,

अब तक हम मान लिया है कि चर वेग एक निरंतर मूल्य द्वारा निर्दिष्ट किया जाता जे-वीं ग्रिड कोशिका के भीतर। कुछ मामलों में यह बजाय ग्रहण करने के लिए एक वेग है कि और अधिक प्राकृतिक है $a(x)$ $a_j$ प्रत्येक सेल इंटरफेस पर निर्दिष्ट है। $a_{j−{\frac{1}{2}}}$

लेकिन वह वास्तव में उसके बाद बहुत विस्तृत नहीं है। एक सामान्य दृष्टिकोण क्या है?

मैं एक संरक्षण समस्या को हल कर रहा हूं (मैं एक समीकरण समीकरण के रूप में निरंतरता समीकरण का उपयोग कर रहा हूं) इसलिए मैं यह सुनिश्चित करना चाहता हूं कि विवेक लागू करने के बाद कि संरक्षण संपत्ति संरक्षित है। मैं इन चर गुणांक के बारे में किसी भी छिपे हुए आश्चर्य से बचना चाहूंगा! क्या किसी के पास कुछ सामान्य टिप्पणियां और मार्गदर्शन हैं?

अद्यतन नीचे दो बहुत अच्छे जवाब हैं और मैं केवल एक चुन सकता हूं :(

discretization finite-volume numerical-analysis

— boyfarrell
स्रोत

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प्रणाली की तरह क्या आप देख रहे हैं पर निर्भर करता है, यह वेग विचार करने के लिए और अधिक सुविधाजनक हो सकता है प्रत्येक कोशिका के भीतर piecewise-निरंतर रूप में, या कि यह सेल इंटरफेस पर परिभाषित किया है। उदाहरण के लिए, मौसम विज्ञान में, कंपित ग्रिड काफी सामान्य हैं, जहां सेल इंटरफेस के अंदर कोशिकाओं और वेग के अंदर दबाव को परिभाषित किया जा सकता है। आप आसानी से वेग के बारे में सोच सकते हैं जैसा कि कोशिकाओं के भीतर परिभाषित किया गया है। सभी ने बताया: प्रतिनिधित्व का विकल्प आपकी पद्धति * के अभिसरण को प्रभावित नहीं करना चाहिए, बशर्ते आपका विवेक स्थिर और सुसंगत हो। $a$

जो सबसे महत्वपूर्ण है (और आपने अपने प्रश्न में पहले से ही इसे छू लिया है) वह यह है कि विच्छिन्न प्रणाली अभी भी रूढ़िवादी है। बशर्ते आपकी योजना फॉर्म में लिखी जा सकती है

$\frac{\partial u_j}{\partial t} = F_{j-\frac{1}{2}}(u_{j-1},u_j) - F_{j+\frac{1}{2}}(u_j,u_{j+1})$

तब से यह रूढ़िवादी होना चाहिए

$\frac{\partial}{\partial t}\int u dx = \sum_j\frac{\partial u_j}{\partial t}\delta x = \sum_j( F_{j-\frac{1}{2}}- F_{j+\frac{1}{2}} )\delta x = (F_{-\frac{1}{2}}-F_{N+\frac{1}{2}})\delta x$

आपका सरल दृष्टिकोण ठीक काम करना चाहिए, क्योंकि सेल इंटरफेस पर इसे परिभाषित करने के लिए कोशिकाओं के बीच वेग औसत होगा, बशर्ते कि वेग हमेशा सकारात्मक हो। इसके अलावा, मुझे नहीं लगता कि औसत आपको किसी भी उच्च सटीकता के लिए शुद्ध करेगा, इसलिए आप सरल तरीके से पसंद करने के लिए सही हैं।

यदि आप वेग के लिए भी हल कर रहे हैं और आपके पास समीकरणों की एक प्रणाली है, तो आपको और अधिक सावधान रहने की आवश्यकता हो सकती है। इसी तरह, यदि आप नॉनलाइनियर हाइपरबोलिक पीडीई को हल कर रहे हैं और फ्लक्स लिमिटर्स का उपयोग कर रहे हैं, तो आपको अभी और अधिक सतर्क रहना होगा।

* हालांकि, अतिशयोक्तिपूर्ण पीडीई की एक प्रणाली के लिए, कंपित ग्रिड का उपयोग करके कृत्रिम फैलाव या प्रसार को काफी हद तक संशोधित किया जा सकता है । यदि आप अधिक जानना चाहते हैं, तो अरकावा सी-ग्रिड देखें या इस पुस्तक के अध्याय 4 को देखें ।

— डैनियल शेपरो
स्रोत

समझाने के लिए धन्यवाद। और तुम्हारा अंतर्ज्ञान सही है; मैं समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर रहा हूं जहां एक समीकरण वेग (अन्य चर का एक पीडीई) है। समीकरणों की प्रणाली केवल 1 डी है, मैं घातीय फिटिंग के साथ एक अनुकूली 1 क्रम अपविंड विधि का उपयोग करने की योजना बना सकता हूं (2 क्रम केंद्रीय और ऊपर की ओर पलट सकता है)। मैं फ्लक्स लिमिटर्स का उपयोग नहीं कर रहा हूं, लेकिन सिस्टम गैर-रैखिक है। क्या मुझे इस स्थिति में "अधिक सावधान" रहने की आवश्यकता है?

— बॉयफ्रेल

यह सब निर्भर करता है यदि आप सदमे तरंगों की उम्मीद करते हैं और फार्म को पसंद करते हैं, अगर कोई संभावना है कि वेग कुछ क्षेत्रों में शून्य से नीचे चला जाएगा, या यदि वेग काफी ऊंचा हो सकता है तो आप कोर्ट-फ्रेडरिक-लुईस की स्थिति से दूर चलेंगे किन्हीं बिंदुओं पर। उस ने कहा, मैं यह देखने के लिए पहले सरल दृष्टिकोण की कोशिश करूंगा कि क्या यह काम करता है, जो यह अच्छी तरह से कर सकता है। अगर यह विफल हो रहा है, तो यह बहुत शानदार और स्पष्ट रूप से करेगा, इसलिए मुझे नहीं लगता कि आपको अपने रडार के तहत कुछ गलत पर्ची होने के बारे में चिंता करने की आवश्यकता है।

— डैनियल शापेरो

हां, मुझे उम्मीद है कि वेग केवल मेरे डोमेन के केंद्र में गैर-शून्य होगा और फिर केंद्र से दूर जाने पर तेजी से शून्य पहुंच जाएगा। मैं समय कदम चुन रहा हूं ताकि सीएफएल स्थिति संतुष्ट हो (अधिकतम वेग का उपयोग करके), मेष तय हो गया है। सदमे की लहर के लिए मानदंड क्या है? मैं यह देखकर अनुमान नहीं लगा रहा हूं (लेकिन आप कभी नहीं जानते)।

— बॉयफ्रेल

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$a(x)$

सुसंगत से मेरा तात्पर्य यह है कि केवल एक ही शर्त है कि प्रक्षेप को संतुष्ट करने की आवश्यकता है

a_{i + 1 / 2}^{+} = a_{i + 1 / 2}^{-}

$a_{i+1/2}^+ = a_{i+1/2}^-$

दूसरे शब्दों में, जब तक आपके प्रक्षेप विधि है निरंतर सेल सीमाओं के पार, अपने discretization रूढ़िवादी रहने के लिए गारंटी है।

यह 1 डी (और यह नहीं होना चाहिए) में एक बड़े मुद्दे की तरह प्रतीत नहीं हो सकता है, लेकिन बहु-स्तरीय एएमआर ग्रिड पर मोटे-ठीक इंटरफेस पर मुद्दों का कारण बन सकता है।

— GradGuy
स्रोत

u_{j + \frac{1}{2}}

$u_{j+\frac{1}{2}}$

a (x_{j + \frac{1}{2}})

$a(x_{j+\frac{1}{2}})$

a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to a (x_{j + 1})

$a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j+1})$

u_{j + \frac{1}{2}}

$u_{j+\frac{1}{2}}$

@boyfarrell इस अर्थ में ठीक होगा कि विधि रूढ़िवादी बनी हुई है। हालांकि, यह समाधान की सटीकता को प्रभावित करता है। कई बार, उदाहरण के लिए, ENO योजनाओं में, पूरे प्रवाह फ़ंक्शन का अनुमान लगाया जाता है और वेग और समाधान अलग से नहीं।

— ग्रैजुय

4

को निर्धारित करने के लिए आप किसी भी प्रकार के प्रक्षेप का उपयोग कर सकते हैं $a(x_{j-\frac{1}{2}})$

यह देखने के लिए कि ऐसा क्यों है, विचार करें कि रूढ़िवादी की विश्लेषणात्मक परिभाषा यह है

\frac{\partial}{\partial टी} \int_{डी} यू (एक्स) घ एक्स = \int_{\partial डी} ए (एक्स) यू (एक्स) घ एस,

$\frac{\partial}{\partial t}\int_D u(x)\, dx = \int_{\partial D} a(x)u(x) dS,$

$D$

यदि हमारा विवेक रूप है

{यू}_{टी} ({एक्स}_{जे}) = \frac{1}{ज} (ए ({एक्स}_{जे - \frac{1}{2}}) {यू}_{जे - \frac{1}{2}} - ए ({एक्स}_{जे + \frac{1}{2}}) {यू}_{जे + \frac{1}{2}})

$u_t(x_j) = \frac{1}{h}\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right)$

$x_1,\ldots, x_n$ $D = [c,d]$ $c = x_{\frac{1}{2}}$ $d = x_{n+\frac{1}{2}}$

\frac{1}{ज} Σ_{जे = 1}^{n} (ए ({एक्स}_{जे - \frac{1}{2}}) {यू}_{जे - \frac{1}{2}} - ए ({एक्स}_{जे + \frac{1}{2}}) {यू}_{जे + \frac{1}{2}}) = ए ({एक्स}_{\frac{1}{2}}) {यू}_{\frac{1}{2}} - ए ({एक्स}_{n + \frac{1}{2}}) {यू}_{n + \frac{1}{2}},

$\frac{1}{h}\sum_{j=1}^n\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right) = a(x_{\frac{1}{2}})u_{\frac{1}{2}} - a(x_{n+\frac{1}{2}})u_{n+\frac{1}{2}},$

$u_{j-\frac{1}{2}} = u_{j-1}$ $u_{j+\frac{1}{2}} = u_j$ $a(x)u$

$a(x)$ $a(x_{j-r}), \ldots, a(x_{j+s})$ $a(x_{j-\frac{1}{2}})$

— बेन
स्रोत