असंतृप्त गैलेर्किन / पॉइज़न / फेनिक्स

Question

मैं डिसकसेंट गैलरकिन विधि (डीजी) और निम्नलिखित विवेक का उपयोग करके 2 डी पॉइसन समीकरण को हल करने की कोशिश कर रहा हूं (मेरे पास एक पीएनजी फ़ाइल है लेकिन मुझे इसे अपलोड करने की अनुमति नहीं है, माफ करना):

समीकरण:

$$\nabla \cdot( \kappa \nabla T) + f = 0$$

नए समीकरण:

$$q = \kappa \nabla T\\\nabla \cdot q = -f$$

संख्यात्मक फ़्लक्स और साथ कमजोर रूप : $\hat{T}$$\hat{q}$

$$\int q \cdot w dV = - \int T \nabla \cdot (\kappa w) dV +  \int \kappa \hat{T} n \cdot w dS\\ \int q \cdot \nabla v dV = \int v f dV +  \int \hat{q} \cdot n v dS$$

संख्यात्मक फ़्लक्स (IP विधि):

$$\hat{q} = \{\nabla T\} – C_{11} [T]\\ \hat{T} = \{T\}$$

साथ

$$\{T\} = 0.5 (T^+ + T^-)\\ [T] = T^+ n^+ + T^- n^-$$

मैंने समीकरण को हल करने के लिए एक साधारण फेनिक्स पायथन स्क्रिप्ट लिखी। मुझे जो समाधान मिला वह अच्छा नहीं है। मैं वास्तव में सराहना करूंगा कि अगर कोई महानिदेशक विधि से परिचित हो, तो नीचे दी गई स्क्रिप्ट पर एक त्वरित नज़र रख सकता है और मुझे बता सकता है कि मैं क्या गलत कर रहा हूं।

स्क्रिप्ट में मैंने जो निरंतर गैलेरिकिन फॉर्मूलेशन जोड़ा, वह एक अच्छा समाधान देता है।

आपका अग्रिम रूप से बोहोत धन्यवाद।

from dolfin import *

method = "DG" # CG / DG

# Create mesh and define function space
mesh = UnitSquare(32, 32)
V_q = VectorFunctionSpace(mesh, method, 2)
V_T = FunctionSpace (mesh, method, 1)
W = V_q * V_T

# Define test and trial functions
(q, T) = TrialFunctions(W)
(w, v) = TestFunctions(W)

# Define mehs quantities: normal component, mesh size
n = FacetNormal(mesh)

# define right-hand side
f = Expression("500.0*exp(-(pow(x[0] - 0.5, 2) + pow(x[1] - 0.5, 2)) / 0.02)")

# Define parameters
kappa = 1.0

# Define variational problem
if method == 'CG':
  a = dot(q,w)*dx \
       + T*div(kappa*w)*dx \
       + div(q)*v*dx

elif method == 'DG':
  #modele = "IP"
  C11 = 1.

  a = dot(q,w)*dx + T*div(kappa*w)*dx \
      - kappa*avg(T)*dot(n('-'),w('-'))*dS \
                                           \
      + dot(q,grad(v))*dx \
      - dot( avg(grad(T)) - C11 * jump(T,n) ,n('-'))*v('-')*dS

L = -v*f*dx

# Compute solution
qT = Function(W)
solve(a == L, qT)

# Project solution to piecewise linears
(q , T) = qT.split()

# Save solution to file
file = File("poisson.pvd")
file << T

# Plot solution
plot(T); plot(q)
interactive()

Answer 1

FEniCS में अपनी समस्या को लागू करने के लिए, आपको किनारों के साथ इंटीग्रल्स द्वारा सीमाओं के संदर्भ में इंटीग्रल्स को बदलना होगा। यह परीक्षण कार्यों में कूद / औसत का परिचय देता है, जिसे आप अपने कार्यान्वयन में पूरी तरह से याद करते हैं। इसलिए, सिस्टम उलटा नहीं है और आपका समाधान सही नहीं दिखता है। अर्नोल्ड एट में समीकरण (3.3)। अल। 2002 आपको कमजोर रूप को फिर से लिखने के लिए एक उपकरण देता है:

$$\sum_{K\in\mathcal{T}_h}\int_{\partial K} q_K \cdot n_K \phi_K\,ds=\int_\Gamma [q] \cdot \{\phi\}\,ds + \int_{\Gamma^0} \{q\} \cdot [\phi]\,ds$$

यहाँ आपके किनारों का मिलन है और बिना सीमाओं के समान है।$\Gamma$$\Gamma^0$

अब आपके फ्लक्स एकल-मूल्यवान हैं, जिसका अर्थ है कि आप अपने फ़्लक्स की छलांग ड्रॉप कर सकते हैं। इसलिए

$$\sum_{K\in\mathcal{T}_h}\int_{\partial K} \hat{q}\cdot n_K v_K\,ds=\int_{\Gamma^0} \hat{q} \cdot [v]\,ds + \int_{\partial\Omega} \hat{q} \cdot n v\,ds\\ \sum_{K\in\mathcal{T}_h}\int_{\partial K} w\cdot n_K \kappa\hat{T}\,ds=\int_{\Gamma} [w] \cdot \kappa\hat{T}\,ds$$

यह हमें आपके कोड के निम्नलिखित संशोधन की ओर ले जाता है:

C11 = 1.
qhat = avg(grad(T)) - C11 * kappa*jump(T,n)
qhatbnd = grad(T) - C11 * kappa*T*n

a = dot(q,w)*dx + T*div(kappa*w)*dx \
  - kappa*avg(T)*jump(w,n)*dS \
  - kappa*T*dot(w,n)*ds \
  - dot(q,grad(v))*dx \
  + dot( qhat, jump(v,n))*dS \
  + dot( qhatbnd, v*n)*ds

मेरे पास वास्तव में यह कोशिश करने के लिए अभी तक समय नहीं है, इसलिए संभावित संकेत-त्रुटियों आदि से अवगत रहें, लेकिन मुझे आशा है कि यह वैसे भी मदद करता है।

संदर्भ: डीएन अर्नोल्ड, एफ। ब्रेज़ी, बी कॉकबर्न, एलडी मारिनी: अण्डाकार समस्याओं के लिए असंपीड़ित गैलेर्किन विधियों का एकीकृत विश्लेषण SIAM J. Num। गुदा, 39 (2002), 1749-1779

Comments

हाँ मुझे सचमुच कुछ याद आ रहा था।

— मिकडप

Answer 2

हाँ मुझे सचमुच कुछ याद आ रहा था!

यह अब ठीक काम कर रहा है।

आपकी मदद के लिए बहुत बहुत धन्यवाद!

Comments

पूर्णता के लिए, क्या आप बता सकते हैं कि यह क्या था आप गायब थे और आपने इसे कैसे तय किया।

— पॉल