RHS मूल्यांकन की निश्चित संख्या के लिए इष्टतम ODE विधि

Question

व्यवहार में, संख्यात्मक रूप से IVP को का है अक्सर दाहिने हाथ की ओर (आरएचएस) का मूल्यांकन करने की अवधि तक वर्चस्व । इसलिए हम यह मान लेते हैं कि अन्य सभी ऑपरेशन तत्काल हैं (अर्थात कम्प्यूटेशनल लागत के बिना)। आईवीपी को सुलझाने के लिए समग्र क्रम सीमित है, तो इस के मूल्यांकन की संख्या को सीमित करने के बराबर है कुछ करने के लिए ।एक्स ( टी 0 ) = एक्स 0 च च एन ∈

$$\dot{x}(t) = f(t, x(t)) \quad \text{ for } t \in [t_0, t_1]$$ $$x(t_0) = x_0$$ $f$$f$$N \in \mathbb{N}$

हम केवल अंतिम मान में रुचि रखते हैं ।$x(t_1)$

मैं सैद्धांतिक और व्यावहारिक परिणामों की तलाश कर रहा हूं जो मुझे इस तरह की सेटिंग में सबसे अच्छा ODE विधि चुनने में मदद करें।

यदि, उदाहरण के लिए, $N = 2$ तो हम IVP को चौड़ाई के दो स्पष्ट यूलर चरणों $(t_1 - t_0)/2$ या चौड़ाई $t_1 - t_0$ के मध्य बिंदु पद्धति का उपयोग करके हल कर सकते हैं। यह मेरे लिए तुरंत स्पष्ट नहीं है कि कौन सा बेहतर है। बड़े $N$ , कोई भी निश्चित रूप से बहु-चरण विधियों, पुनरावृत्त रन-कुट्टा योजनाओं, आदि के बारे में सोच सकता है।

मैं जो खोज रहा हूं, वह उसी तरह के परिणाम हैं जो मौजूद हैं, उदाहरण के लिए, नियमों के लिए: हम भार और संबंधित अंक जैसे कि नियम सभी बहुपद लिए सटीक है जैसे कि ।{ w मैं } { x मैं } Σ n मैं = 1 डब्ल्यू मैं जी ( एक्स मैं ) जी डी ई जी ( जी ) ≤ 2 n - $n$$\{w_i\}$$\{x_i\}$$\sum_{i = 1}^n w_i g(x_i)$$g$$deg(g) \le 2n - 1$

इसलिए, मैं ओएचडी विधियों की वैश्विक सटीकता पर ऊपरी या निचले सीमा की तलाश कर रहा हूं, जिसे आरएचएस सीमित मूल्यांकन की सीमित संख्या दी गई है । यह ठीक है अगर सीमाएं केवल आरएचएस के कुछ वर्गों के लिए रखती हैं या समाधान पर अतिरिक्त बाधाओं को रोकती हैं (जैसे चतुर्भुज नियम के लिए परिणाम जो केवल कुछ हद तक बहुपद के लिए रखती है)।$f$$x$

संपादित करें: कुछ पृष्ठभूमि की जानकारी: यह कठिन वास्तविक समय के अनुप्रयोगों के लिए है, अर्थात परिणाम एक ज्ञात समय सीमा से पहले उपलब्ध होना चाहिए। इसलिए वर्चस्व लागत कारक के रूप में आरएचएस मूल्यांकन की संख्या पर सीमा । आमतौर पर हमारी समस्याएं कठोर और तुलनात्मक रूप से छोटी होती हैं।$x(t_1)$$N$

EDIT2: दुर्भाग्य से मेरे पास सटीक समय की आवश्यकताएं नहीं हैं, लेकिन यह मान लेना सुरक्षित है कि बल्कि छोटा होगा (निश्चित रूप से <100, संभवतः 10 के करीब)। वास्तविक समय की आवश्यकता को देखते हुए हमें मॉडलों की सटीकता के बीच एक ट्रेडऑफ़ ढूंढना होगा (बेहतर मॉडल के साथ जो RHS के अधिक समय तक निष्पादन के लिए और इसलिए निम्न ) और ODE विधि की सटीकता (बेहतर विधियों के साथ उच्चतर की आवश्यकता होती है) मूल्य )।एन $N$$N$$N$

Comments

न्यूटन-कोट्स विधियों के साथ निश्चित चरण रन-कुट्टा विधियों के सामान्य पत्राचार आईवीपी लागू होने वाले आरके विधि के मामले पर लागू होते हैं ; उदाहरण के लिए, उस आईवीपी के लिए शास्त्रीय चौथे क्रम की विधि को लागू करना सिम्पसन के शासन को पर करने के बराबर है । च ( एक्स $y^\prime=f(x)$$f(x)$

— जेएम

@ जेएम: मुझे इसकी जानकारी है। मैं केवल फ़ंक्शन मूल्यांकन की संख्या सीमित होने पर इनपुट के एक निश्चित सेट के लिए संख्यात्मक पद्धति की सटीकता को चिह्नित करने के उदाहरण के रूप में द्विघात नियमों का उपयोग करने का इरादा रखता हूं। इसके अलावा मुझे "सच" ODEs में दिलचस्पी है, यानी जो मानक एकीकरण को कम नहीं करते हैं।

— फ्लोरियन ब्रूकर

यह अधिक दिलचस्प हो रहा है। अब नंबर अपने आप से कोई मतलब नहीं रखता है। क्या उपयोगी हो सकता है पता करने के लिए है , जहां एकीकरण के अंतराल की लंबाई है और की Lipschitz स्थिर है के संबंध में । यह हमें बताएगा कि समस्या वास्तव में कितनी कठोर है। इसे कठोर मानते हुए, एक संभावित उम्मीदवार 2nd ऑर्डर BDF विधि है। λ एन / टी टी λ एफ $N$$\lambda N/T$$T$$\lambda$$f$$x$

— डेविड केचेसन

@DavidKetcheson: मैं किसी विशिष्ट समस्या के लिए इष्टतम विधि के बजाय किसी दिए गए समस्या के लिए एक उपयुक्त विधि चुनने के लिए सामान्य दृष्टिकोण में अधिक रुचि रखता हूं। हमारे पास बड़ी संख्या में मॉडल हैं जो कठोरता और समय की आवश्यकताओं में बहुत भिन्न हैं।

— फ्लोरियन ब्रूकर

आप कहते हैं कि मूल्यांकन करने के लिए बहुत महंगा है। आप एक याकूब की गणना कर सकते हैं? कुछ सन्निकटन के बारे में क्या है जो सिद्धांत की कठोरता को ठीक कर सकता है? यदि आपकी समस्या बहुत कठोर है और आपके पास इसे ठीक करने का कोई तरीका नहीं है, तो आप अच्छे आकार में नहीं हैं। $f$

— जेड ब्राउन

Answer 1

मुझे लगता है कि आपके प्रश्न का उत्तर देने के लिए एक महत्वपूर्ण संदर्भ यह पेपर होशिया और शैम्पाइन द्वारा दिया गया है । अब मैं कुछ पृष्ठभूमि दे दूंगा।

सामान्य तौर पर, एक IVP को संख्यात्मक रूप से एकीकृत करते समय आप जिस चरण आकार का उपयोग कर सकते हैं, उसे स्थिरता या सटीकता द्वारा प्रतिबंधित किया जा सकता है। यदि आप स्थिरता के मामले में सर्वश्रेष्ठ सॉल्वर चुनना चाहते हैं, तो आपको निरपेक्ष स्थिरता के क्षेत्र पर विचार करने की आवश्यकता है । एक-चरणीय विधि के लिए यह है

$$S = \{ z \in {\mathbb C} : |P(z)|\le 1\}.$$

$P(z)$$\lambda h \in S$$\lambda$$f$$h$

बड़े स्थिर चरण आकारों की अनुमति देने वाले (स्पष्ट) तरीकों की समस्या के व्यापक उपचार के लिए, स्थिरता पॉलीओनियम्स पर मेरा यह पेपर देखें और कंप्रेसेबल द्रव सिमुलेशन के लिए रन-कुट्टा तरीकों के अनुकूलन पर यह एक ।

स्थिरता प्रासंगिक चिंता है यदि आप पाते हैं कि सबसे बड़ा स्थिर कदम आकार आपको पहले से ही पर्याप्त सटीकता देता है। दूसरी ओर, आपकी सटीकता आवश्यकताओं के बजाय चरण आकार प्रतिबंधित हो सकता है। आमतौर पर जो किया जाता है वह स्थानीय त्रुटि नियंत्रण होता है। समाधान दो तरीकों का उपयोग करके गणना की जाती है, और उनके अंतर का उपयोग कम सटीक एक में त्रुटि के अनुमान के रूप में किया जाता है। निर्धारित सहिष्णुता को जितना संभव हो उतना करीब से प्राप्त करने के लिए चरण आकार को अनुकूल रूप से चुना जाता है।

सटीकता दक्षता की भविष्यवाणी करने के लिए दो सैद्धांतिक उपाय महत्वपूर्ण हैं। पहला विधि की सटीकता का क्रम है , जो उस दर का वर्णन करता है जिस पर चरण आकार कम होने पर त्रुटि शून्य पर पहुंच जाती है। दूसरा सटीकता दक्षता सूचकांक है (ऊपर पहले वाक्य में जुड़ा होशिया और शैंपेन का पेपर देखें) जो त्रुटि के संदर्भ में प्रकट होने वाले स्थिरांक को ध्यान में रखता है और उसी क्रम के तरीकों के बीच तुलना की अनुमति देता है।

तरीकों की एक विस्तृत श्रृंखला की सटीकता और स्थिरता दक्षता NodePy (अस्वीकरण: NodePy मेरे द्वारा विकसित की गई है) का उपयोग करके सरल और स्वचालित तरीके से गणना की जा सकती है ।

Comments

धन्यवाद। होशे और शैंपेन का पेपर वास्तव में बहुत दिलचस्प है। क्या आप कड़ी समस्याओं के लिए समान परिणाम जानते हैं? मुझे पता है कि एक आम तौर पर उन लोगों के लिए निहित तरीकों का उपयोग करता है, लेकिन इनकी आरएचएस मूल्यांकन की संख्या पर कोई प्राथमिकता नहीं है, इसलिए वे मेरे मामले में बहुत कम उपयोग करते हैं।

— फ्लोरियन ब्रूकर

मैं कठोर समस्याओं के लिए ऐसा कुछ नहीं जानता, लेकिन मुझे संदेह है कि कुछ मौजूद है। जैसा कि आप कहते हैं, अंतर्निहित तरीकों का उपयोग करते समय प्रश्न अधिक सूक्ष्म होता है। एक दृष्टिकोण हो सकता है कि रोसेनब्रोक विधियों का उपयोग करें, जो कठोर समस्याओं को अच्छी तरह से संभालते हैं, लेकिन आरएचएस मूल्यांकन की एक निश्चित संख्या है।

— डेविड केचेसन

Answer 2

इस दिशा में कई परिणाम नहीं हैं क्योंकि यह सटीकता को ठीक करने की तुलना में अधिक कठिन है, क्योंकि स्थिरता के विचार के लिए अक्सर आपको समय-चरणों को चुनने की आवश्यकता हो सकती है जो आपके द्वारा वांछित सटीकता के लिए आवश्यक हैं। तो परिणाम कठोर और गैर-कठोर मामलों के बीच विभाजित होते हैं। पूर्व का मामला समय-चरण और आरएचएस मूल्यांकन आवश्यकताओं को आमतौर पर सटीकता से नियंत्रित नहीं किया जाता है, और बाद के मामले में वे हैं।

मैं स्पष्ट तरीकों पर ध्यान केंद्रित करने जा रहा हूं, क्योंकि अंतर्निहित मामला अभी तक कम स्पष्ट है कि आपको कितने आरएचएस मूल्यांकन का उपयोग करने की आवश्यकता होगी .. जो पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करता है कि आप परिणामी प्रणाली को हल करने का निर्णय कैसे लेते हैं।

गैर-कठोर प्रणालियों के लिए:

स्पष्ट रन-कुट्टा विधियों के लिए चरण सीमाएं हैं, जिनके लिए यह कहना है कि सटीकता के एक निश्चित क्रम को प्राप्त करने के लिए कितने चरणों (आरएचएस मूल्यांकन) की आवश्यकता होती है। चौथे क्रम के बाद चरणों की संख्या सटीकता के क्रम से अधिक हो जाती है, और असमानता बढ़ती रहती है। बुचर की बड़ी ODE पुस्तक: http://books.google.com/books/about/Numerical_Methods_for_Ordinary_Different.html?id=opd2NkBmMxsC

इन 'गैर-अस्तित्व' सबूतों में से कुछ को समझाने के लिए एक अच्छा काम करता है।

आपका द्विघात नियम उदाहरण या तो एक मल्टीस्टेप प्रकार विधि जैसे एडम्स-बैशफोर्थ की ओर जाता है, या जिसे अब वर्णक्रमीय-आस्थगित-सुधार विधि कहा जाता है। एडम्स-बैशफोर्थ के लिए आपको प्रति चरण केवल एक आरएचएस मूल्यांकन की आवश्यकता होती है, लेकिन चूंकि इन क्षेत्रों के लिए स्थिरता क्षेत्र सामान्य रूप से बहुत कम हैं, इसलिए आप आमतौर पर आरएचएस मूल्यांकन के रूप में एक ही तरह से रन-कुट्टा विधि के रूप में काम करते हैं। गण।

यहाँ वर्णक्रमीय आस्थगित सुधार पर एक पेपर है:

https://www.google.com/search?q=spectral+deferred+correction&aq=f&oq=spectral+deferred+correction&aqs=chrome.0.57j0l2j62.3336j0&sourceid=chrome&ie=UTF-8

मैं अनिश्चित हूं कि ये एकीकरण विधियां मानक स्पष्ट तरीकों के खिलाफ कैसे खेलती हैं, उन्हें अक्सर क्वाड्रचर नोड्स पर समाधान राज्यों को बचाने के लिए बहुत अधिक मेमोरी की आवश्यकता होती है और इसलिए मैंने कभी भी उनका उपयोग खुद नहीं किया है।

कठोर प्रणालियों के लिए:

$S$$2S^2$$S-1$$S$

Comments

ऐसा हो सकता है कि एक चर कदम (या यहां तक ​​कि चर क्रम) विधि का उपयोग करने से कुत्ते की तुलना में अधिक कुशल हो सकता है एक निश्चित कदम विधि से चिपके हुए। उदाहरण के लिए, एक अतिरिक्त विधि का उपयोग करने पर विचार कर सकते हैं जैसे बुलर्श-स्टोअर: कुछ चरणों में कुछ मूल्यांकन करें, और फिर उन चरणों के परिणामों से अधिक सटीक अनुमानों का निर्माण करें।

— जेएम

सच। तथ्य की बात के रूप में कई इष्टतम तरीके कुछ मायने में एक और समय-स्टेपर के एक चर चरण संस्करण के बराबर हैं। उदाहरण के लिए रनगे-कुट्टा-चेबशेव को अग्रदूत के रूप में देखा जा सकता है जिसे चरबीशेव बिंदुओं वाले चर समय-चरणों के साथ लागू किया जाता है।

— रीड.टेकसन

@ जेएम: बिल्कुल। लेकिन क्या इन तरीकों की सटीकता का न्याय करने का एक तरीका है, संख्यात्मक प्रयोगों से अलग आरएचएस मूल्यांकन की संख्या, (संभवत: उच्च दृष्टिकोण को देखते हुए, इसमें शामिल होगा)?

— फ्लोरियन ब्रूकर

@ फ़्लोरियन, सामान्य रूप से नहीं। आपने लॉरेंज के समीकरणों के बारे में सुना है, मुझे लगता है?

— जेएम

@ जेएम: हां :) इसीलिए मैंने चतुर्भुज उदाहरण का उल्लेख किया है, जहां सटीकता को मूल समस्या स्थान के सबसेट (बहुपद) को मापा जाता है। मैं उन परिणामों से खुश रहूँगा जो केवल समस्याओं के एक निश्चित सबसेट के लिए काम करते हैं।

— फ्लोरियन ब्रूकर

Answer 3

$10^{-14}$$f(x)$

बेशक अपवाद (बहुत बड़ी प्रणालियां, बहुत कठोर प्रणालियां) हैं, लेकिन समुदाय में एक सामान्य भावना यह है कि "मानक" प्रणालियों के लिए ODE सॉल्वर को डिजाइन करने का प्रश्न एक हल है। नतीजतन, मुझे लगता है कि आप जो सवाल करते हैं, वह बहुत दिलचस्प नहीं है - यह ओडीई सॉल्वर डिज़ाइन के एक घटक को संबोधित करता है जो अब महत्व का नहीं है। यह इस विषय पर साहित्य की कमी को भी समझा सकता है।

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+1। जब भी कोई व्यक्ति कुशल ODE सॉल्वरों के बारे में पूछता है, मुझे लगता है कि वे PDE अर्ध-विवेकाधिकार या बड़े n- शरीर समस्याओं से आने वाले ODE के विशाल सिस्टम में रुचि रखते हैं।

— डेविड केचेसन

क्या आप कृपया बता सकते हैं कि यह मेरे प्रश्न से कैसे संबंधित है? मुझे कनेक्शन दिखाई नहीं दे रहा है, क्योंकि मैं उस मामले में दिलचस्पी रखता हूँ जहाँ मूल्यांकन f(x)करना मुफ़्त नहीं है, बल्कि इतना महंगा है कि मूल्यांकन की संख्या सीमित है।

— फ्लोरियन ब्रूकर

@DavidKetcheson: यहाँ ऐसा नहीं है। ऐसा नहीं है कि कमजोर हार्डवेयर (एम्बेडेड डिवाइस) पर हमें बहुत सख्त समय की आवश्यकताएं (कठिन वास्तविक समय) हैं। ODE सिस्टम स्वयं तुलनात्मक रूप से छोटा है।

— फ्लोरियन ब्रूकर

$N$$N$$N$$N$

$N$$N$$N<1000$

Answer 4

$O(\mathit{dim}^3)$$O(\mathit{dim}^2)$

तो पहला बिंदु यह सुनिश्चित करना है कि क्या आपका आरएचएस वास्तव में अंतर्निहित रैखिक बीजगणित की तुलना में अधिक महंगा है।

दूसरा बिंदु: यह साहित्य से जाना जाता है कि "महंगी" विधियों (यानी स्पष्ट आरके विधियों) के आधार पर सॉल्वर कभी-कभी "सस्ती" वाले (स्पष्ट मल्टीस्टेप तरीकों) की तुलना में तेजी से प्रदर्शन करते हैं।

सारांशित करते हुए, मुझे लगता है कि आपको केवल RHS मूल्यांकन गणना पर विचार नहीं करना चाहिए।

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$N$