बहु-इलेक्ट्रॉन समय-निर्भर श्रोडिंगर के समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल करना मुश्किल क्यों है

Question

ऐसा लगता है कि लोग आमतौर पर एक एकल इलेक्ट्रॉन समस्या से निपटने के लिए, एक एकल-इलेक्ट्रॉन प्रणाली से निपटने के लिए एकल सक्रिय इलेक्ट्रॉन (एसएई) सन्निकटन का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, संख्यात्मक रूप से लेजर क्षेत्रों के साथ बातचीत में हीलियम परमाणु की समस्या को हल करने में, लोग आमतौर पर एक छद्म क्षमता द्वारा इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रभाव को शामिल करते हैं और अनिवार्य रूप से एक इलेक्ट्रॉन समस्या को हल करते हैं। तो समय-निर्भर बहु-इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर के समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल करना भी मुश्किल क्यों है? क्या यह शास्त्रीय एन-बॉडी समस्या से बहुत मुश्किल है? मैंने देखा है कि वास्तविक समय में भी खगोल विज्ञान में संख्यात्मक रूप से हल की गई एक बहुत बड़ी शास्त्रीय व्यक्ति समस्या है, उदाहरण के लिए यहां वास्तविक समय में दो आकाशगंगाओं की टक्कर में 280000 कणों का संपर्क शामिल है।$n$

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कठिनाई के अलावा, वहाँ भी उपयोगिता है कि नवाचार ड्राइव। खगोल भौतिकी$n$-सभी समस्याओं को समय विकास की जरूरत है। दूसरी ओर, बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु के साथ बहुत कुछ किया जा सकता है जिसमें ऊर्जा के स्तर को खोजने के लिए बहुत कम समय-निर्भरता नहीं होती है। दूसरे शब्दों में, आकाशगंगाओं के टकराने की तुलना में परमाणुओं के लिए स्थिर अवस्थाओं वाले अधिक अनुप्रयोग हैं।

हो सकता है, लेकिन मुझे लगता है कि इस बिंदु के अलावा है। यहां तक ​​कि स्थिर क्वांटम गणना भी बहुत अधिक महंगी हैं। लेकिन फिर भी, समय पर निर्भर क्वांटम अभिकलन अत्यधिक प्रासंगिक हैं - वे लगभग सभी व्यावहारिक मामलों में करने के लिए बहुत महंगे हैं, और यह बताता है कि अतीत में ऐसा क्यों नहीं किया गया है।

— वोल्फगैंग बैंगर्थ

Answer 1

हां, ऐसा करना ज्यादा कठिन है। के लिए$N$ शरीर की समस्या, आप सभी की गणना करने की जरूरत है प्रक्षेपवक्र हैं $\mathbf x_i(t), i=1\ldots N$ जो बस हैं $N$ एकल चर के कार्य।

दूसरी ओर, यहां तक ​​कि एक एकल इलेक्ट्रॉन के लिए, श्रोएडिंगर समीकरण का समाधान एक फ़ंक्शन है $\Psi(x,y,z,t)$, अर्थात्, चार चर का एक कार्य। दो इलेक्ट्रॉनों के लिए, आप एक फ़ंक्शन की तलाश कर रहे हैं$\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_3,t)$वेव फ़ंक्शन को दो इलेक्ट्रॉनों के स्थानों के साथ-साथ समय के फ़ंक्शन के रूप में वर्णित करना। वह सात चर है।

अब, अगर आपको याद है कि न्यूटन के समीकरणों को साधारण अंतर कैसे हल करना है $N$ शरीर की समस्या, तो आपको समय-समय पर कदम बढ़ाते हुए हर समीकरण को आगे बढ़ाने की जरूरत है $t$ सेवा $t+\Delta t$और वहाँ समाधान की गणना। इसलिए, यदि आप अपना समय अंतराल विभाजित करते हैं$[0,T]$ में $M$ लंबाई का अंतराल $\Delta t=T/M$ तब हर बार कदम के लिए प्रयास किया जाएगा $N^2M$ के इंटरैक्शन के एक भोले कार्यान्वयन का उपयोग करना $N$ निकायों (आप प्राप्त करने के लिए तरीकों का उपयोग कर सकते हैं) $N (\log N) M$ प्रयास, लेकिन यह इस बिंदु के अलावा है)।

दूसरी ओर, 7 चर के एक समारोह को खोजने के लिए, मान लें कि आप समय अंतराल में उपविभाजित करते हैं $M$उपर्युक्त के रूप में, लेकिन आप 6 स्थानिक निर्देशांक के लिए भी ऐसा ही करते हैं। फिर कुल के होते हैं$M^7$ग्रिड बिंदुओं पर विचार करने के लिए। और सामान्य तौर पर, एक के लिए$N$ शरीर की क्वांटम प्रणाली, आपके पास है $M^{3N+1}$।

अब यह सत्यापित करना आसान है कि छोटी संख्याओं के लिए भी $N,M$, प्रयास $M^{3N+1}$ से काफी बड़ा है $N^2M$, जो बताता है कि क्यों मल्टीबॉडी क्वांटम कम्प्यूटेशन की तुलना में बहुत अधिक महंगे हैं $N$ शरीर शास्त्रीय यांत्रिकी।

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बहुत बढ़िया जवाब। मैं केवल यह उल्लेख करूँगा कि जैसे भोले की तुलना में तेज़ तरीके हैं$N^2 M$ न्यूटन के समीकरणों के लिए, भोले की तुलना में तेज़ तरीके भी हैं $M^{3N+1}$श्रोडिंगर समीकरण के लिए।

— ओंडेइज íertík

हाँ सचमुच। लेकिन बड़े पैमाने पर, आप दहनशील जटिलता से छुटकारा नहीं पा सकते हैं।

— वोल्फगैंग बैंगर्थ