क्या चर वेग के साथ संवहन समीकरण रूढ़िवादी हो सकता है?

मैं परिवर्तनशील समीकरण को चर के गुणांक के साथ थोड़ा बेहतर समझने की कोशिश कर रहा हूं। विशेष रूप से मैं यह नहीं समझता कि समीकरण रूढ़िवादी कैसे हो सकता है।

Advection समीकरण ,

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} (v u) = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$

आइए कुछ भौतिक प्रजातियों ( ) या कुछ अन्य भौतिक राशियों की एकाग्रता के रूप में की व्याख्या करें जिन्हें बनाया या नष्ट नहीं किया जा सकता है। यदि हम अपने डोमेन पर को एकीकृत करते तो हमें स्थिर होना चाहिए, $u(x,t)$ $cm^{-3}$ $u(x,t)$

\int_{x_{min}}^{x_{max}} u (x, t) d x = constant

$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$

(रूढ़िवादी होने का यही अर्थ है)

अगर अब हम वेग को अंतरिक्ष (और समय), , तो चेन नियम को लागू करने के लिए, $\boldsymbol{v}(x,t)$

\frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial x} + \underset{?}{\underset{⏟}{u \frac{\partial v}{\partial x}}} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$

अंतिम शब्द एक स्रोत शब्द की तरह "दिखता है" और यह वही है जो मुझे भ्रमित लगता है। यह वेग क्षेत्र के विचलन के आधार पर मात्रा को बढ़ाएगा या घटाएगा। $u$

इस प्रश्न के बाद , मैं समझता हूं कि संरक्षण सीमा की शर्तों को कैसे लागू किया जाए। हालांकि, चर वेग संवहन समीकरण के लिए मुझे समझ में नहीं आता है कि श्रृंखला नियम लागू करने से शुरू होने वाले अतिरिक्त "स्रोत शब्द" के कारण संरक्षण सीमा की शर्तों को कैसे प्राप्त किया जा सकता है। क्या यह समीकरण रूढ़िवादी हो सकता है? यदि हां, तो सीमा की शर्तों को कैसे लागू किया जा सकता है?

advection conservation

— boyfarrell
स्रोत

$\mathbf v u$

\int_{Ω} \nabla \cdot (v u) = \int_{\partial Ω} (v u) \cdot n .

$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$

$\Omega = (a,b)$ $u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

(\int_{a}^{b} u)_{t} = \int_{a}^{b} u_{t} = - \int_{a}^{b} (v u)_{x} = - v u |_{a}^{b}

$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$

जहां दाईं ओर शब्द केवल बाईं और दाईं सीमाओं के बीच प्रवाह में अंतर है।

$\mathbf v \cdot \nabla u$ $\mathbf v$

— जेड ब्राउन
स्रोत

वास्तव में स्पष्ट उत्तर के लिए धन्यवाद, फिर भी, जेड! मुझे लगता है कि मैं इस पर एक अनुवर्ती सवाल पूछूंगा, लेकिन पहले अपने सुझाव को लागू करने की कोशिश करने की जरूरत है।

— बॉयफ्रेंड