एक भौतिक मात्रा का संरक्षण जब न्यूमन सीमा शर्तों का उपयोग करते हुए एडवेक्शन-डिफ्यूजन समीकरण पर लागू होता है

Question

जब मैं अलग-अलग सीमा शर्तों को लागू करता हूं, तो मैं एडवेक्शन-डिफ्यूजन समीकरण के विभिन्न व्यवहार को नहीं समझता हूं। मेरी प्रेरणा प्रसार और संवहन के तहत एक वास्तविक भौतिक मात्रा (कण घनत्व) का अनुकरण है। कण घनत्व को इंटीरियर में संरक्षित किया जाना चाहिए जब तक कि यह किनारों से बाहर नहीं निकलता है। इस तर्क के आधार अगर मैं न्यूमन सीमा की स्थिति प्रणाली के सिरों जैसे लागू $\frac{\partial \phi}{\partial x}=0$(बाईं ओर और दाईं ओर) तो सिस्टम"बंद"होना चाहिएअर्थात यदिसीमा परप्रवाहशून्य है तो कोई भी कण नहीं बच सकता है।

नीचे दिए गए सभी सिमुलेशन के लिए, मैं advection-प्रसार समीकरण को क्रैंक-निकोलसन discretization आवेदन किया है और सभी सिमुलेशन Have $\frac{\partial \phi}{\partial x}=0$सीमा स्थिति। हालांकि, मैट्रिक्स की पहली और आखिरी पंक्तियों (सीमा स्थिति पंक्तियों) के लिए मैं$\beta$को आंतरिक मूल्य के स्वतंत्र रूप से बदलने कीअनुमति देता हूं। यह अंतिम बिंदुओं को पूरी तरह से निहित होने की अनुमति देता है।

नीचे मैं 4 अलग-अलग विन्यासों पर चर्चा करता हूं, उनमें से केवल एक ही है जिसकी मुझे उम्मीद थी। अंत में मैं अपने कार्यान्वयन पर चर्चा करता हूं।

प्रसार केवल सीमा

यहां पर उत्तोलन की शर्तों को शून्य पर वेग सेट करके बंद कर दिया जाता है।

केवल सभी बिंदुओं पर = 0.5 (क्रैंक-निस्कॉलसन) के साथ प्रसार$\boldsymbol{\beta}$

मात्रा का संरक्षण नहीं किया जाता है, जैसा कि पल्स क्षेत्र को कम करके देखा जा सकता है।

केवल आंतरिक बिंदुओं पर = 0.5 (क्रैंक-निस्कॉलसन) के साथ प्रसार , और सीमाओं पर = 1 (पूर्ण निहित)$\boldsymbol{\beta}$$\boldsymbol{\beta}$

सीमाओं पर पूरी तरह से निहित समीकरण का उपयोग करके मैं वह हासिल करता हूं जो मैं उम्मीद करता हूं: कोई कण नहीं बचता । आप कण प्रसार के रूप में संरक्षित क्षेत्र द्वारा इसे देख सकते हैं। सीमा बिंदुओं पर का चुनाव स्थिति के भौतिकी को क्यों प्रभावित करेगा? क्या यह बग है या उम्मीद है?$\beta$

प्रसार और संवहन

जब संवहन शब्द को शामिल किया जाता है, तो सीमाओं पर का मान समाधान को प्रभावित नहीं करता है। हालांकि, सभी मामलों के लिए जब सीमाएं "खुली" लगती हैं यानी कण सीमाओं से बच सकते हैं। यह एक केस क्यों है?$\beta$

सभी बिंदुओं पर = 0.5 (क्रैंक-निस्कल्सन) के साथ और प्रसार$\boldsymbol{\beta}$

आंतरिक बिंदुओं पर = 0.5 (क्रैंक-निस्कल्सन) के साथ और प्रसार , और सीमाओं पर = 1 (पूर्ण अंतर्निहित)$\boldsymbol{\beta}$$\boldsymbol{\beta}$

उत्तोलन-प्रसार प्रसार का कार्यान्वयन

संधि-प्रसार समीकरण के साथ शुरू,

$\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \boldsymbol{v}\frac{\partial \phi}{\partial x}$

क्रैंक-निकोलसन का उपयोग करते हुए लिखते हैं,

$\frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = D \left[ \frac{1 - \beta}{(\Delta x)^2} \left( \phi_{j-1}^{n} - 2\phi_{j}^{n} + \phi_{j+1}^{n} \right) + \frac{\beta}{(\Delta x)^2} \left( \phi_{j-1}^{n+1} - 2\phi_{j}^{n+1} + \phi_{j+1}^{n+1} \right) \right] + \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + \frac{\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right) \right]$

ध्यान दें कि क्रैंक-निकोलसन के लिए = 0.5, पूरी तरह से निहित के लिए = 1, और, पूरी तरह से स्पष्ट करने के लिए = 0।$\beta$$\beta$$\beta$

संकेतन को सरल बनाने के लिए आइए प्रतिस्थापन करें,

$s = D\frac{\Delta t}{(\Delta x)^2} \\ r = \boldsymbol{v}\frac{\Delta t}{2 \Delta x}$

और ज्ञात मूल्य समय व्युत्पन्न को दाईं ओर ले जाएं,$\phi_{j}^{n}$

$\phi_{j}^{n+1} = \phi_{j}^{n} + s \left( 1-\beta \right) \left( \phi_{j-1}^{n} - 2\phi_{j}^{n} + \phi_{j+1}^{n} \right) + s \beta \left( \phi_{j-1}^{n+1} - 2\phi_{j}^{n+1} + \phi_{j+1}^{n+1} \right) + r \left( 1 - \beta \right) \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + r \beta \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right)$

शर्तें फैक्टरिंग देता है,$\phi$

$\underbrace{\beta(r - s)\phi_{j-1}^{n+1} + (1 + 2s\beta)\phi_{j}^{n+1} -\beta(s + r)\phi_{j+1}^{n+1}}_{\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\phi^{n+1}}} = \underbrace{ (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n}}_{\boldsymbol{M\cdot}\boldsymbol{\phi^n}}$

जिसे हम मैट्रिक्स के रूप में , जहाँ,$\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\phi^{n+1}} = \boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{\phi^{n}}$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1+2s\beta & -\beta(s + r) & & 0 \\ \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) \\ 0 & & \beta(r-s) & 1+2s\beta \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & & 0 \\ (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) \\ 0 & & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) \\ \end{matrix} \right)$

न्यूमैन सीमा शर्तों को लागू करना

एनबी व्युत्पत्ति के माध्यम से फिर से काम कर रहा है मुझे लगता है कि मैंने त्रुटि देखी है। सीमा स्थिति के परिमित अंतर लिखते समय मैंने पूरी तरह से निहित योजना ( = 1) ग्रहण की । यदि आप एक क्रैंक-निस्कोल्सन योजना को मान लेते हैं तो यहां जटिलता बहुत अधिक हो जाती है और मैं उन समीकरणों को हल नहीं कर सकता जो नोड्स को खत्म करने के लिए हैं जो डोमेन के बाहर हैं। हालाँकि, यह संभव प्रतीत होता है, दो अज्ञात के साथ दो समीकरण हैं, लेकिन मैं इसे प्रबंधित नहीं कर सका। यह शायद ऊपर के पहले और दूसरे भूखंड के बीच का अंतर बताता है। मुझे लगता है कि हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सीमा बिंदुओं पर केवल = 0.5 वाले भूखंड वैध हैं।$\beta$$\beta$

बाएं तरफ की ओर प्रवाह को माना जाता है (पूरी तरह से निहित रूप मानकर),

$\frac{\partial\phi_1^{n+1}}{\partial x} = \sigma_L$

इसे एक केंद्रित-अंतर के रूप में लिखना,

$\frac{\partial\phi_1^{n+1}}{\partial x} \approx \frac{\phi_2^{n+1} - \phi_0^{n+1}}{2\Delta x} = \sigma_L$

इसलिए, $\phi_0^{n+1} = \phi_{2}^{n+1} - 2 \Delta x\sigma_L$

ध्यान दें कि यह एक नोड परिचय देता है जो समस्या के डोमेन के बाहर है। एक दूसरे समीकरण का उपयोग करके इस नोड को समाप्त किया जा सकता है। हम नोड को इस प्रकार लिख सकते हैं ,$\phi_0^{n+1}$$j=1$

$\beta(r - s)\phi_0^{n+1} + (1+2s\beta)\phi_1^{n+1} - \beta(s+r)\phi_2^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n}$

सीमा स्थिति से प्राप्त के मान में प्रतिस्थापित करने से = 1 पंक्ति के लिए निम्न परिणाम मिलता है ,$\phi_0^{n+1}$$j$

$(1+2s\beta)\phi_1^{n+1} - 2s\beta\phi_2^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n} + 2\beta(r-s)\Delta x\sigma_L$

अंतिम पंक्ति ( = ) पैदावार के लिए एक ही प्रक्रिया करना ,$j$$J$

$-2s\beta\phi_{J-1}^{n+1} + (1+2s\beta)\phi_J^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{J-1}^{n} + (1 - 2s(1-\beta))\phi_{J}^{n} + 2\beta(s+r)\Delta x\sigma_R$

अंत में सीमा पंक्तियों को अंतर्निहित (सेटिंग = 1) देता है,$\beta$

$(1+2s)\phi_1^{n+1} - 2s\phi_2^{n+1} = \phi_{j-1}^{n} + 1\phi_{j}^{n} + 2(r-s)\Delta x\sigma_L$

$-2s\phi_{J-1}^{n+1} + (1+2s)\phi_J^{n+1} = \phi_{J}^{n} + 2(s+r)\Delta x\sigma_R$

इसलिए न्यूमैन सीमा स्थितियों के साथ हम मैट्रिक्स समीकरण, ,$\boldsymbol{A}\cdot\phi^{n+1} = \boldsymbol{M}\cdot\phi^{n} + \boldsymbol{b_N}$

कहा पे,

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1+2s & -2s & & 0 \\ \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) \\ 0 & & -2s & 1+2s \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & & 0 \\ (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) \\ 0 & & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{b_N} = \left( \begin{matrix} 2 (r - s) \Delta x \sigma_L & 0 & \ldots & 0 & 2 (s + r) \Delta x \sigma_R \end{matrix} \right)^{T}$

मेरी वर्तमान समझ

• मुझे लगता है कि पहले और दूसरे भूखंड के बीच का अंतर ऊपर उल्लिखित त्रुटि को नोट करके समझाया गया है।

• भौतिक मात्रा के संरक्षण के संबंध में। मेरा मानना ​​है कि इसका कारण यह है, जैसा कि यहां बताया गया है , मैंने जिस रूप में लिखा है, उसमें उत्तोलन समीकरण ने रिवर्स दिशा में प्रसार की अनुमति नहीं दी है, इसलिए लहर सिर्फ शून्य-प्रवाह सीमा स्थितियों के साथ भी गुजरती है । संरक्षण के बारे में मेरा प्रारंभिक अंतर्ज्ञान केवल तभी लागू होता है जब उत्तोलन शब्द शून्य है (यह प्लॉट नंबर 2 में समाधान है जहां क्षेत्र संरक्षित है)।

• यहां तक ​​कि न्यूमैन शून्य-फ्लक्स सीमा शर्तों के साथ द्रव्यमान अभी भी सिस्टम को छोड़ सकता है, ऐसा इसलिए है क्योंकि इस मामले में सही सीमा की स्थिति रॉबिन सीमा की स्थिति है जिसमें कुल प्रवाह है निर्दिष्ट किया गया है । इसके अलावा, नेउमन स्थिति निर्दिष्ट करती है कि द्रव्यमान प्रसार के माध्यम से डोमेन को नहीं छोड़ सकता है , यह कहता है कि संवहन के बारे में कुछ भी नहीं है। संक्षेप में, जो हमने सुना है वह प्रसार करने के लिए बंद सीमा की स्थिति है और संवहन के लिए सीमा की स्थिति को खोलती है। अधिक जानकारी के लिए यहां उत्तर देखें, एडवेंचर-डिफ्यूजन समीकरण में ग्रैडिएंट जीरो बाउंडरी कॉन्डिटोन का कार्यान्वयन$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 0$$j = D\frac{\partial \phi}{\partial x} + \boldsymbol{v}\phi = 0$।

क्या आप सहमत हैं?

• रॉबिन सीमा शर्तों को लागू करने के तरीके पर एक ट्यूटोरियल।

Comments

ऐसा लगता है कि सीमा की शर्तों को सही ढंग से लागू नहीं किया गया है। क्या आप हमें दिखा सकते हैं कि आपने सीमा की शर्तें कैसे लागू की हैं?

— डेविड केचेसन

ठीक है, मैंने कार्यान्वयन के साथ अद्यतन किया और मुझे लगता है कि मैंने त्रुटि को केवल सीमा पंक्तियों में = 0.5 लागू करने के बारे में देखा । मैंने सवाल के नीचे अपनी "वर्तमान समझ" को अपडेट किया है। क्या आपके पास कोई टिप्पणी है? $\beta$

— बॉयफ्रेल

तो ... सीमाओं पर विवेक रॉबिन सीमाओं के मामले में कैसा दिखता है? आपने इसे न्यूमैन सीमाओं के लिए नहीं, बल्कि रॉबिन सीमाओं के लिए दिखाया है।

Answer 1

मुझे लगता है कि आपकी समस्याओं में से एक यह है कि (जैसा कि आपने अपनी टिप्पणियों में देखा था) न्यूमैन की स्थिति वे नहीं हैं जिनकी आप तलाश कर रहे हैं , इस अर्थ में कि वे आपकी मात्रा के संरक्षण का अर्थ नहीं करते हैं। सही स्थिति का पता लगाने के लिए, अपने पीडीई को फिर से लिखें

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left( D\frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right) + S(x,t) .$$

अब, शब्द है कि कोष्ठक में दिखाई देता, है कुल प्रवाह और इस मात्रा है कि आप के संरक्षण के लिए सीमाओं पर शून्य करने के लिए डाल दिया जाना चाहिए । (मैंने सामान्यता के लिए और आपकी टिप्पणियों के लिए को शामिल किया है।) आपको जो सीमाएँ लागू करनी हैं, वे हैं (अपने स्पेस डोमेन को )$D\frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi = 0$$\phi$$S(x,t)$$(-10,10)$

$$D\frac{\partial \phi}{\partial x}(-10) + v \phi(-10) = 0$$

बाईं ओर और

$$D\frac{\partial \phi}{\partial x}(10) + v \phi(10) = 0$$

दाईं ओर। ये तथाकथित रॉबिन सीमा स्थिति हैं (ध्यान दें कि विकिपीडिया स्पष्ट रूप से कहता है कि ये अनुकूलन-प्रसार समीकरणों के लिए इन्सुलेटिंग स्थितियां हैं)।

यदि आप इन सीमाओं को निर्धारित करते हैं, तो आपको वे संरक्षण गुण मिलते हैं जिनकी आपको तलाश थी। दरअसल, अंतरिक्ष डोमेन पर एकीकरण, हमारे पास है

$$\int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx = \int \frac{\partial}{\partial x} \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right) dx + \int S(x,t) dx$$

दाहिने हाथ की ओर के हिस्सों का एकीकरण करके , हमारे पास है

$$\int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx = \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right)(10) - \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right)(-10) + \int S(x,t) dx$$

अब, दो केंद्रीय शब्द सीमा शर्तों के लिए धन्यवाद गायब हो जाते हैं। समय में एकीकृत, हम प्राप्त करते हैं

$$\int_0^T \int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx dt = \int_0^T \int S(x,t) dx dt$$

और अगर हमें पहले दो अभिन्न अंग स्विच करने की अनुमति है ,

$$\int \phi(x,T) dx - \int \phi(x,0) dx = \int_0^T \int S(x,t) dx$$

इससे पता चलता है कि डोमेन बाहरी से अछूता है। विशेष रूप से, यदि , तो हमें का संरक्षण प्राप्त होता है ।$S=0$$\phi$

Comments

मुझे अब एहसास हुआ कि यह केवल तब क्यों काम किया जब = 0; क्योंकि यह आपके दृष्टिकोण के ऊपर संरक्षण का मतलब होगा। ऊपर इस सीमा स्थिति का उपयोग करने का परिणाम क्या होगा, क्या लहर प्रतिबिंबित होगी? मैंने सोचा कि यह संभव नहीं होगा क्योंकि समीकरण में ऐसा कुछ नहीं है जो मुझे नकारात्मक वेग देगा? $\boldsymbol{v}$

— बॉयफ्रेल

जानने का सबसे अच्छा तरीका शायद कोशिश करना है! लेकिन अगर इस बर्ताव करता है सही ढंग से (और IMO यह करता है), तो आप की एक निश्चित राशि देखना चाहिए कि डोमेन की बाईं ओर जमा शुरू होता है: advection धक्का उस दिशा में लेकिन सीमा बंद कर दिया है। संचय तब रुक जाता है जब विसरण इसे संतुलित करने के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा होता है। तो नहीं, कोई परावर्तित लहर नहीं होनी चाहिए। $\phi$$\phi$

— Dr_Sam

@DrSam कार्यान्वयन के संबंध में एक प्रश्न। मैं आपकी बात समझता हूं कि बाएं हाथ की तरफ मात्रा शून्य कैसे करें। लेकिन जब आप कहते हैं "दाईं ओर एक सीमा अवधि" तो इसका क्या मतलब है? मैंने सोचा कि सीमा की स्थिति या तो न्यूमैन या डिरिक्लेट (या दोनों का मिश्रण) होनी चाहिए?

— बॉयफ्रेल

@boyfarrell उत्तर में बाएँ / दाएँ सही सीमा शर्तों की व्युत्पत्ति का उल्लेख कर रहा था, न कि इसे लागू करने के तरीके (स्पष्टता के लिए संपादित)। रॉबिन की स्थितियां शास्त्रीय स्थिति हैं, हालांकि डिरिचलेट और न्यूमैन की तुलना में कम ज्ञात हैं।

— Dr_Sam

तो कार्यान्वयन के संबंध में, क्या आपको लगता है कि मुझे दोनों सीमाओं के लिए रॉबिन सीमा की स्थिति प्राप्त करनी चाहिए? इसके अलावा, यदि समीकरण में प्रतिक्रिया शब्द है (जैसे सीमा अवधि को भी इस शब्द को शामिल करने की आवश्यकता है? $$\frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left( D\frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right) + S(x,t)$$

— boyfarrell