Pde's की प्रणाली को डिकूप करने के लिए निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति का उपयोग करना

मान लीजिए कि मुझे एक सीमा मूल्य की समस्या थी:

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} + \frac{d v}{d x} = f in Ω

$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$

\frac{d u}{d x} + \frac{d^{2} v}{d x^{2}} = g in Ω

$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$

u = h in \partial Ω

$u=h \text{ in } \partial\Omega$

मेरा लक्ष्य इस युग्मित समस्या के समाधान को अछूता पीडीई के अनुक्रम में विघटित करना है। सिस्टम को डिकूप करने के लिए, मैं अनुमानों के अनुक्रम पर एक निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति लागू कर रहा हूं जैसे कि $(u^k,v^k)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f

$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$

\frac{d u^{k - 1}}{d x} + \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} = g

$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$

सैद्धांतिक रूप से, यह मुझे विशुद्ध रूप से अण्डाकार पीडीई के रूप में दोनों समीकरणों को हल करने की अनुमति देगा। हालाँकि, मैंने कभी भी निश्चित बिंदु पुनरावृत्तियों को इस तरह से पीडीई पर लागू नहीं देखा है। मैंने अंकीय रूप से विवेचित समीकरणों (परिमित अंतर विधि, परिमित तत्व विधि, आदि) पर लागू निश्चित बिंदु पुनरावृत्तियों को देखा है, लेकिन कभी भी सीधे समीकरणों के लिए कभी नहीं।

क्या मैं ऐसा करके किसी भी कट्टरपंथी गणितीय सिद्धांत का उल्लंघन कर रहा हूं? क्या यह गणितीय रूप से मान्य है? क्या मैं DISCRETE वैरिएबल समस्या के बजाय CONTINUOUS वैरिएबल समस्या पर लागू निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति का उपयोग करके युग्मित PDE को अछूता PDE के अनुक्रम के रूप में हल कर सकता हूं?

इस बिंदु पर, मैं वास्तव में इस बात से चिंतित नहीं हूं कि क्या इस पद्धति का उपयोग करना व्यावहारिक है, बल्कि यह है कि क्या यह सैद्धांतिक रूप से प्रशंसनीय है। किसी भी प्रतिक्रिया की काफी सराहना की जाएगी!

pde iterative-method

— पॉल
स्रोत

हाइपरबोलिक पीडीई साहित्य में, भिन्नात्मक चरण और ऑपरेटर विभाजन विधियों में से एक है जो आप ऊपर वर्णित करते हैं।

— ज्योफ ऑक्सबेरी

क्या आपका मतलब बजाय ?

(u^{k}, v^{k})

$(u^k, v^k)$

(u^{k}, p^{k})

$(u^k, p^k)$

— बिल बर्थ

@BillBarth: हाँ! मैंने इसे ठीक किया।

— पॉल

@GeoffOxberry: मुझे लगता है कि चरित्र में बहुत अलग होने के लिए ऑपरेटर विभाजन।

— बेनामी

@Paul: मैं कम से कम एक अन्य समस्या के बारे में सोच सकता हूं, जहां "युग्मित पीडीई" एक निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति के माध्यम से हल किया जाता है (और केवल तय बिंदु समस्याओं के रूप में तैयार नहीं किया गया है): डोमेन अपघटन, उदाहरण के लिए देखें न्यूमैन-डिरिच विधि। (यहां अंतर यह है कि आपके पास दो पीडीई हैं, लेकिन वे विभिन्न डोमेन पर रहते हैं और युग्मन केवल एक इंटरफेस के माध्यम से होता है)।

— अनाम

आप एक अनुक्रम को कहते हैं, को (प्लस सीमा स्थितियां)। $C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} + \frac{d u^{k - 1}}{d x} = g

$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\$

यह स्पष्ट है कि यदि यह क्रम परिवर्तित हो जाता है, तो यह पीडीई के आपके मूल सेट का एक समाधान होगा।

यह साबित करने के लिए कि क्या अनुक्रम बैनच स्थान में परिवर्तित हो जाता है, बैनच का निश्चित बिंदु प्रमेय काम में आ सकता है। यह कहता है कि यदि आपकी मैपिंग एक संकुचन है , तो आप किसी भी प्रारंभिक अनुमान , देखते हुए समाधान सुनिश्चित कर सकते हैं । इसलिए, अगर आपको जाँच करनी है कि क्या है एक निश्चित साथ किसी भी के लिए , $x^k\to x^{k+1}$ $u^0$ $v^0$

‖ (\begin{matrix} u^{k} \\ v^{k} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k} \\ {\hat{v}}^{k} \end{matrix}) ‖ \leq q ‖ (\begin{matrix} u^{k - 1} \\ v^{k - 1} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k - 1} \\ {\hat{v}}^{k - 1} \end{matrix}) ‖

$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$

| q | < 1

$|q|<1$

(u^{k - 1}, v^{k - 1})

$(u^{k-1}, v^{k-1})$

({\hat{u}}^{k - 1}, {\hat{v}}^{k - 1})

$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$ ।

यह तर्क निरंतर और असतत जगह में काम करता है।

— निको श्लोमर
स्रोत

चाहिए नहीं ?

| q | < 1

$|q|<1$

— पॉल