असंगत नवियर-स्टोक्स के लिए निर्मित समाधान - विचलन-मुक्त वेग क्षेत्र कैसे खोजें?

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निर्मित समाधान (एमएमएस) की विधि में एक सटीक समाधान को पोस्ट किया गया है, यह समीकरणों में प्रतिस्थापित करता है और संबंधित स्रोत शब्द की गणना करता है। समाधान तो कोड सत्यापन के लिए उपयोग किया जाता है।

असंगत नवियर-स्टोक्स समीकरणों के लिए, एमएमएस आसानी से निरंतरता समीकरण में एक (गैर-शून्य) स्रोत शब्द की ओर जाता है। लेकिन सभी कोड निरंतरता समीकरणों में स्रोत की शर्तों की अनुमति नहीं देते हैं, इसलिए इन कोडों के लिए केवल एक विचलन-मुक्त वेग वाले क्षेत्रों के साथ निर्मित समाधान करेंगे। मुझे एक डोमेन लिए यह उदाहरण मिला। सामान्य 3D मामलों में, कोई एक विचलन-मुक्त वेग क्षेत्र का निर्माण कैसे करता है? $\Omega=[0,1]^2$

\begin{aligned} u_{1} & = - \cos (π x) \sin (π y) \\ u_{2} & = \sin (π x) \cos (π y) \end{aligned}

$\begin{align} u_1 &= -\cos(\pi x) \sin(\pi y) \\ u_2 &= \sin(\pi x) \cos(\pi y) \end{align}$

navier-stokes incompressible verification

— क्रिस
स्रोत

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एक वेक्टर स्ट्रीमफ़ंक्शन का उपयोग करें या दो ग्रेडिएंट के क्रॉस उत्पाद लें। Ie: जहाँ आपके चयन का एक सदिश क्षेत्र है, या जहाँ और आपके चयन के दो अदिश क्षेत्र हैं।

u = \nabla \times A

$\boldsymbol{u}=\nabla\times\boldsymbol{A}$

A

$\boldsymbol{A}$

u = \nabla f \times \nabla g

$\boldsymbol{u}=\nabla f\times\nabla g$

f

$f$

g

$g$

यह मुश्किल है कि दोनों का वेग डायवर्जन-रहित हो और सीमा की स्थिति निर्धारित करें, लेकिन जब तक आपका कोड आपको अपनी सीमा की शर्तों के लिए मनमाने कार्य निर्धारित करने की अनुमति देता है, तब तक आप ठीक होना चाहिए।

ईटीए: बेशक, आपके संवेग समीकरण को एक फोर्सिंग फ़ंक्शन को स्वीकार करना होगा, लेकिन मैंने हमेशा इस समीकरण को मजबूर करने के बारे में बेहतर महसूस किया है कि मैंने निरंतरता समीकरण में दाएं हाथ को जोड़ा है।

— बिल बार्थ
स्रोत

धन्यवाद! (निरंतरता समीकरण की बाध्यता केवल मुझे पता है कि मॉडलिंग मॉडलिंग में होती है)

— क्रिस

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यह एक सामान्य उत्तर नहीं है, लेकिन नवियर-स्टोक्स समीकरणों के लिए, निर्मित समाधान हैं जो वास्तविक प्रवाह का वर्णन करते हैं। उदाहरण के लिए, कोवाज़ने प्रवाह क्षेत्र एक लोकप्रिय विकल्प है:

http://link.springer.com/article/10.1007/BF00948290

मूल संदर्भ है: कोवस्ज़ने एलआईजी, "दो आयामी ग्रिड के पीछे लामिनार प्रवाह"। प्रोक। कैम्ब्रिज फिलोस। सो।, पृष्ठ ४४, १ ९ ४,।

— वोल्फगैंग बंगर्थ
स्रोत

1948 (!) मुझे यह महसूस नहीं हुआ कि यह "वास्तविक प्रवाह" है। इसका मतलब है कि यह वास्तव में एक भौतिक प्रयोग में मापा जा सकता है (जैसा कि एक संख्यात्मक प्रयोग में नकली के विपरीत)?

— क्रिस

मुझे विश्वास है, हाँ।

— वोल्फगैंग बैंगर्थ

नहीं। यह ग्रिड के पीछे दूरी में आदर्शित प्रवाह है। लेकिन किसी को नहीं पता कि ग्रिड कैसा दिखता है और सबसे अधिक संभावना है कि यह "बहुत नरम" सामग्री से बना होना चाहिए

— गुइडो कंसचैट

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यही मैं आमतौर पर करता हूं।

स्ट्रीमलाइन फ़ंक्शन को परिभाषित करें:

Ψ = [\begin{matrix} ψ_{x} \\ ψ_{y} \\ ψ_{z} \end{matrix}]

$\Psi = \left[ \begin{array}{c} \psi_x\\ \psi_y\\ \psi_z\\ \end{array} \right]$

वेग बराबर होता है:

u = \nabla \times Ψ = [\begin{matrix} u_{x} = \partial_{y} ψ_{z} - \partial_{z} ψ_{y} \\ u_{y} = \partial_{z} ψ_{x} - \partial_{x} ψ_{z} \\ u_{z} = \partial_{x} ψ_{y} - \partial_{y} ψ_{x} \end{matrix}] .

$\mathbf{u} = \nabla\times\Psi = \left[ \begin{array}{c} u_x =\partial_y \psi_z - \partial_z \psi_y\\ u_y =\partial_z \psi_x - \partial_x \psi_z\\ u_z =\partial_x \psi_y - \partial_y \psi_x\\ \end{array} \right].$

अब आप किसी भी उचित शून्य-औसत दबाव को उठा सकते हैं और एक मजबूर शब्द का निर्माण कर सकते हैं।

मैं _ और सजातीय सीमा की शर्तों के लिए एक SymPy उदाहरण कोड पोस्ट करता हूं , आनंद लेता हूं : $\Omega = [0,1]^3$

 from sympy import *

 x,y,z = symbols('x y z')

 X = Matrix([[x],[y],[z]])

 psi = zeros(3,1)
 psi[0,0] = sin(2*pi*x)*y**2*(1-y)**2*z**2*(1-z)**2
 psi[2,0] = x**2*(1-x)**2*y**2*(1-y)**2*sin(2*pi*z)

 curl_psi = zeros(3,1)
 curl_psi[0] = diff(psi[2],X[1]) - diff(psi[1],X[2])
 curl_psi[1] = diff(psi[0],X[2]) - diff(psi[2],X[0])
 curl_psi[2] = diff(psi[1],X[0]) - diff(psi[0],X[1])

— निकोला कैवलिनी
स्रोत