बड़े मैट्रिक्स की स्थिति संख्या का अनुमान कैसे लगाया जाए?

कैसे मैं एक बड़ी मैट्रिक्स की शर्त संख्या का अनुमान है , अगर फूरियर का एक संयोजन बदल देती है (गैर वर्दी या वर्दी) परिमित अंतरों , और विकर्ण मैट्रिक्स ? $G$ $G$ $F$ $R$ $S$

मैट्रिसेस बहुत बड़े हैं और मेमोरी में संग्रहीत नहीं हैं और केवल फ़ंक्शन के रूप में उपलब्ध हैं।

विशेष रूप से, मेरे पास निम्नलिखित मैट्रिक्स हैं:

$G_\mu=S^HF^HFS+\mu R^HR$

मैं और स्थिति संख्या के बीच संबंध की जांच करना चाहता हूं । $\mu$ $k(G_\mu)$

मुझे लगता है कि किसी को किसी प्रकार के पुनरावृत्ति दृष्टिकोण की आवश्यकता है? वैकल्पिक रूप से कुछ MATLAB कोड उपलब्ध होगा।

— स्टिफेल
स्रोत

स्थिति संख्या की परिभाषा के साथ प्रयास करने और त्रिभुज असमानता और विनम्रता का उपयोग करने के बारे में कैसे? मुझे लगता है कि आपको अपने प्रत्येक मैट्रिस के मानदंडों / शर्तों के बारे में कुछ कहने में सक्षम होना चाहिए। इस तरह से आपको की स्थिति संख्या का अनुमान मिल जाता है ।

G_{μ}

$G_\mu$

— एंके

MATLAB के पास इसके लिए "सटीक" फ़ंक्शंस के कुछ जोड़े हैं, condऔर rcond, बाद में शर्त संख्या के एक पारस्परिक रिटर्न के साथ। Matlab अनुमानित फ़ंक्शन condestअधिक पूरी तरह से नीचे वर्णित है।

अक्सर स्थिति संख्या का अनुमान मैट्रिक्स के लिए एक रेखीय प्रणाली के समाधान के उप-उत्पादों के रूप में उत्पन्न होता है, इसलिए आप अन्य कार्यों पर शर्त संख्या अनुमानों को गुल्लक करने में सक्षम हो सकते हैं जो आपको वैसे भी करने की आवश्यकता होती है। अनुमानों की गणना कैसे की जाती है, इसका संक्षिप्त विवरण यहां देखें । इसके अलावा सैंडिया लैब्स एज़्टेकूओ प्रलेखन टिप्पणी (सेक। 3.1 देखें) कि वैकल्पिक स्थिति संख्या अनुमान पुनरावृत्त सॉल्वर (संयुग्मित ग्रेडर के साथ उत्पन्न ट्रिडियोनियल लैंक्ज़ोस मैट्रिक्स का उपयोग करके या पुनः आरंभ जीएमआरईएस के साथ उत्पन्न हेसनबर्ग मैट्रिक्स) से उपलब्ध हैं।

चूंकि आपके मैट्रीस "बहुत बड़े" और "केवल फ़ंक्शंस के रूप में उपलब्ध हैं", तार्किक दृष्टिकोण एक ऐसा तरीका होगा जो एक संयुग्म ढाल ढाल या संस्करण पर पिगबैकबैक करता है।

एक हाल ही में arXiv.org पेपर नॉन-स्टेशनरी एक्सलीनलीन्यूएज सन्निकटन में रैखिक सिस्टम के पुनरावृत्त समाधान और रिश्तेदार त्रुटि के लिए अनुमानक इस तरह के दृष्टिकोण का प्रस्ताव करते हैं और पहले के साहित्य के लिए कुछ उद्धरण हैं।

अब जब मैं देख रहा हूं, तो इस मंच के पास बहुत से संबंधित पिछले प्रश्न हैं (सभी उत्तरों के साथ नहीं, लेकिन टिप्पणियाँ देखें):

सीजी के साथ चरम eigenvalues का अनुमान लगाएं

बहुत बड़े मैट्रिस के लिए हालत संख्या का अनुमान

मैटलैब / ऑक्टेव में एक बड़े मैट्रिक्स की स्थिति संख्या की गणना करने के लिए सबसे तेज़ एल्गोरिथम

चूंकि MATLAB कोड की उपलब्धता प्रश्न का हिस्सा थी condest, इस बारे में कुछ जानकारी , एक अंतर्निहित फ़ंक्शन के बारे में है जो 1-मानक स्थिति संख्या अनुमान लगाता है । यह विचार हैगर (1984) से है, यहां 2010 के राइट-अप और एक्सटेंशन के साथ , स्पष्ट रूप से गणना करने के लिए (एक कॉलम का अधिकतम 1-मानक खोजें) और अनुमान एक ढाल विधि द्वारा। भी जॉन Burkardt के देखें हालत , एक MATLAB पुस्तकालय (उपलब्ध अन्य भाषाओं) "कंप्यूटिंग या एक मैट्रिक्स की शर्त संख्या का आकलन करने के लिए।" $\|A\|_1 \|A^{-1}\|_1$ $\|A\|_1$ $\|A^{-1}\|_1$

चूंकि आपका मैट्रिक्स स्पष्ट रूप से हरमिटियन और सकारात्मक निश्चित है, शायद 2-मानक स्थिति संख्या अधिक से अधिक ब्याज की है। समस्या तो सबसे बड़े (पूर्ण) स्वदेशी के लिए सबसे बड़े अनुपात का आकलन करने के लिए है। चुनौती कुछ हद तक 1-मानक मामले के समानांतर है जिसमें आम तौर पर सबसे बड़े eigenvalue के लिए एक अच्छा अनुमान आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन सबसे छोटे eigenvalue का अनुमान लगाना अधिक कठिन साबित होता है।

हालांकि गैर-एसपीडी (और यहां तक कि गैर-चौकोर) मामलों पर लक्षित, यह हाल के arXiv.org पेपर, विश्वसनीय Iterative सशर्त-संख्या अनुमान , सबसे छोटे आइजेनवल्यू अनुमान समस्या का एक अच्छा अवलोकन और एक Krylov-subspace द्वारा हमले की एक आशाजनक रेखा देता है। विधि (एलएसक्यूआर) जो एसपीडी मामले में ग्रेजुएट्स को कंज्यूम करने के लिए है।

— hardmath
स्रोत

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। मैं संयुग्म ढाल ढाल के एक साइड उत्पाद के रूप में स्थिति संख्या कैसे प्राप्त करूं?

— स्टिफ़ेल

@ स्टिफ़ेल: १ ९९ २ का पेपर है , चरम लिगेन की अनुमानित गणना और लेई गुआंग-याओ द्वारा निरर्थक मैट्रिस की संख्या । मुझे देखने दो कि क्या मुझे एक बेहतर संदर्भ मिल सकता है (पे-वाल के पीछे नहीं)।

— हार्डमैथ

@Stiefel: कुछ लिंक जोड़े गए। आपको Owe Axelsson के Iterative Solution Methods (1996), esp के लिए Google Books (या लाइब्रेरी) की जाँच करने में भी रुचि हो सकती है । बच्चू। 13 कंजुगेट ग्रेडिएंट विधि के अभिसरण की दर , हालांकि जोर वहाँ शर्त संख्या की अकेले प्रदान करता है की तुलना में अभिसरण के लिए आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या का बेहतर अनुमान प्राप्त करने पर है।

— हार्डमैथ

@Stiefel आपके जैसे नाम के साथ आप हमें CG विधि के बारे में सिखा रहे होंगे :) en.wikipedia.org/wiki/Eduard_Stiefel

— stali