परिमित तत्व विधि के लिए आंशिक विभेदक समीकरण के कमजोर गठन को कैसे प्राप्त करें?

Question

मैंने परिमित तत्व विधि का एक मूल परिचय लिया है, जिसमें 'कमजोर सूत्रीकरण' की परिष्कृत समझ पर जोर नहीं दिया गया था। मैं समझता हूं कि गैलेरकिन विधि के साथ, हम एक परीक्षण फ़ंक्शन द्वारा (अण्डाकार) पीडीई के दोनों किनारों को गुणा करते हैं और फिर (भागों या डायवर्जेंस प्रमेय द्वारा) एकीकृत करते हैं। कभी-कभी, मुझे उचित कमजोर सूत्रीकरण (पुस्तक के पीछे के उत्तर पर आधारित) पर पहुंचने से पहले दो बार भागों द्वारा एकीकृत करने की आवश्यकता होती है। लेकिन जब मैं उसी अवधारणा को अन्य पीडीई पर लागू करने का प्रयास करता हूं (कहती हैं, वे अभी भी समय-स्वतंत्र हैं), तो मैं यह नहीं जान सकता कि जब निरूपण के लिए सूत्रीकरण उपयुक्त है। क्या कोई IS लाल झंडा ’है जो मुझे बता सकता है कि इस फार्म को समीकरणों के एक रैखिक प्रणाली में विभाजित किया जा सकता है?

इसके अलावा, मैं आधार कार्यों का एक उपयुक्त सेट कैसे चुनूं?

Answer 1

अपने आप से निम्नलिखित पूछें:

सबसे पहले, भागों द्वारा एकीकरण समस्या की सॉल्वैबिलिटी और समाधान की जगह को कैसे प्रभावित करता है?

दूसरा, आप किस स्थान के लिए कार्यों की एक श्रृंखला का निर्माण कर सकते हैं, जिसे आप कार्यान्वित कर सकते हैं?

च ∈ एल 2 [ 0 , 1 ] एल 2 φ ∈ एल $u'' = f$$f \in L^2$$[0,1]$$L^2$$\phi \in L^2$

φ ↦ ∫ च φ घ $\phi \mapsto \int u'' \phi dx$ और$\phi \mapsto \int f \phi dx$

चूंकि में कोई भी फ़ंक्शन कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ सुचारू फ़ंक्शन द्वारा -approximated हो सकता है , दोनों अभिन्न कार्यात्मक पूरी तरह से ज्ञात हैं यदि आप केवल सभी परीक्षण कार्यों के लिए मान जानते हैं। लेकिन परीक्षण कार्यों के साथ, आप भागों द्वारा एकीकरण कर सकते हैं, और बाएं हाथ को कार्यात्मक में बदल सकते हैंएल $L^2$$L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

इसे इस रूप में पढ़ें: "मैं एक परीक्षण फ़ंक्शन लेता हूं , इसके अंतर की गणना करता हूं , और इसे [0,1] पर -u 'के साथ एकीकृत करता हूं, और आपको परिणाम लौटाता हूं।" लेकिन यह कार्यात्मक परिभाषित नहीं है और पर बँधा हुआ है , क्योंकि आप एक मनमाना फ़ंक्शन के अंतर को नहीं ले सकते हैं । वे सामान्य रूप से बेहद अजीब लग सकते हैं।L 2 L $\phi$$L^2$$L^2$

फिर भी हम देखते हैं, कि इस क्रिया को सोबोलेव स्पेस तक बढ़ाया जा सकता है , और यह पर भी एक फंक्शनल फंक्शनल है । इसका अर्थ है कि दिए गए , आप मोटे तौर पर -norm of गुणन द्वारा के मान का अनुमान लगा सकते हैं । और, इसके अलावा, कार्यात्मक , निश्चित रूप से, केवल पर परिभाषित और बाध्य नहीं है , बल्कि पर परिभाषित और बाध्य है ।$H^1$$H_0^1$$\phi \in H_0^1$$\int -u' \phi' dx$$H_0^1$$\phi'$$\phi \mapsto \int f \phi dx$$L^2$$H_0^1$

अब, आप, उदाहरण के लिए, लक्स-मिलग्राम लेम्मा को लागू कर सकते हैं, क्योंकि यह किसी भी पीडीई-पुस्तक में प्रस्तुत किया गया है। एक परिमित तत्व पुस्तक जो इसका वर्णन करती है, केवल कार्यात्मक विश्लेषण के साथ, उदाहरण के लिए सिआर्लेट द्वारा क्लासिक, या ब्रैस के बजाय नई पुस्तक।

द लैक्स-मिल्ग्राम लेम्मा पीडीई-लोगों को शुद्ध विश्लेषण के लिए एक अच्छा उपकरण देता है, लेकिन वे अपने उद्देश्य के लिए बहुत अधिक अजनबी उपकरणों को नियुक्त करते हैं। फिर भी, ये उपकरण संख्यात्मक विश्लेषक के लिए भी प्रासंगिक हैं, क्योंकि आप वास्तव में इन रिक्त स्थान के लिए एक विवेक का निर्माण कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, का असतत उप-भाग होने के लिए, बस हैट फ़ंक्शन लें। उनके पास कूदता नहीं है और टुकड़े टुकड़े करने योग्य हैं। उनका अंतर एक टुकड़ा करने वाला निरंतर वेक्टर क्षेत्र है। यह निर्माण में काम करता है , जो कि ठीक है, लेकिन क्या आप किसी ऐसे स्थान का पता लगा सकते हैं जिसके कार्यों में न केवल एक ढाल हो (जो कि अच्छा हो, अर्थात, वर्ग-पूर्णांक), बल्कि किसके ग्रेडिएंट्स ने बदले में एक विचलन किया है? (फिर, वर्ग-पूर्णांक)। यह सामान्य रूप से बहुत कठिन है।$H_0^1$$d=1,2,3,...$

तो सामान्य रूप से आप कमजोर योगों का निर्माण कैसे करते हैं इसका कारण यह है कि आप लैक्स-मिलग्राम लेम्मा को लागू करना चाहते हैं, और एक सूत्रीकरण करना चाहते हैं ताकि वास्तव में कार्यों को लागू किया जा सके। (रिकॉर्ड के लिए, न तो लैक्स- मिलग्राम उस संदर्भ में अंतिम शब्द है, और न ही अनुत्साहन में अंतिम शब्द को स्थान देता है, देखें, उदाहरण के लिए, डिसकंट्रेस्ड गैलरकिन तरीके।)$H_0^1$

मिश्रित सीमा स्थितियों के मामले में, प्राकृतिक परीक्षण स्थान आपके खोज स्थान (विश्लेषणात्मक सेटिंग में) से भिन्न हो सकता है, लेकिन मुझे नहीं पता कि वितरण सिद्धांत का उल्लेख किए बिना इसका वर्णन कैसे किया जाए, इसलिए मैं यहां रुकता हूं। मुझे आशा है कि यह मददगार है।

Comments

हालांकि यह एक उत्कृष्ट उत्तर प्रतीत होता है, मेरा साधारण मस्तिष्क (इंजीनियर का अभ्यास करना) गणितीय कठोरता (और प्रयुक्त शब्द / नींबू आदि) को नहीं समझ सकता। मुझे कमज़ोर रूप के अधिक आम आदमी की व्याख्या पसंद है।

— कृष्ण