क्या मल्टीफ़िज़िक्स पीडीई के लिए ऑपरेटर विभाजन दृष्टिकोण हैं जो उच्च आदेश अभिसरण प्राप्त करते हैं?

Question

एक विकास को देखते हुए पी.डी.ई.

$$u_t = Au + Bu$$

जहां हैं (संभवतः नॉनक्लियर) डिफरेंशियल ऑपरेटर्स जो कम्यूट नहीं करते हैं, एक सामान्य न्यूमेरिकल एप्रोच को हल करने के बीच वैकल्पिक करना है$A,B$

$$u_t = Au$$

तथा

$$u_t = Bu.$$

इसका सबसे सरल कार्यान्वयन गोडुनोव विभाजन के रूप में जाना जाता है और यह 1-क्रम सटीक है। एक अन्य प्रसिद्ध दृष्टिकोण, जिसे स्ट्रैंग बंटवारे के रूप में जाना जाता है, 2-क्रम सटीक है। क्या उच्च क्रम ऑपरेटर विभाजन विधियाँ (या वैकल्पिक मल्टीफ़िज़िक्स विवेक दृष्टिकोण) मौजूद हैं?

Comments

$t^n$$t^{n+1}$

Answer 1

यह मेरी समझ थी कि BCH सूत्र दो गैर-कम्यूटेटिव मैट्रिसेस के मैट्रिक्स घातीय को अनुमानित करने का एक व्यवस्थित तरीका था।

Comments

लेकिन क्या पीडीई के वास्तविक होने पर भी यह जटिल नहीं होता है? क्या लोग इसे 2 डी ऑर्डर विवेक से अधिक उपयोग करते हैं?

— डेविड केचेसन

मेरी मेमोरी (या वेबपेज) से नहीं। यह बहुत से कम्यूटेटर की ओर जाता है। क्वांटम कई-शरीर में, इन अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के अच्छे तरीके हैं।

— मैट नेप्ले

Answer 2

यदि आप सामान्य ऑपरेटर ए और बी पर विचार करते हैं और यदि आप केवल सकारात्मक समय के कदम बनाना चाहते हैं (जो कि आमतौर पर आपको परवलयिक समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है), तो 2 का एक आदेश अवरोध है, अर्थात, किसी भी प्रकार के विभाजन का उपयोग करके, आप प्राप्त नहीं कर सकते हैं अभिसरण की दर दो से अधिक। एस। ब्लेन्स और एफ। कास, http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf द्वारा हाल ही के एक पेपर में एक प्राथमिक प्रमाण दिया गया है ।

हालाँकि, अगर आप अपनी समस्या के बारे में थोड़ा और जानते हैं तो कई तरीके हैं:

• मान लें कि आप अपने समीकरणों को समय में हल कर सकते हैं (जो कि सामान्य है, उदाहरण के लिए, श्रोडिंगर समीकरण), तो कई स्प्लिटिंग उपलब्ध हैं, हेयरर, लुबिच और वाननेर की पुस्तक "जियोमेट्रिक न्यूमेरिकल इंटीग्रेशन" देखें।
• यदि आपके ऑपरेटर विश्लेषणात्मक अर्धवृत्त उत्पन्न करते हैं, अर्थात, आप टी के लिए जटिल मान (परवलयिक समीकरणों के लिए विशिष्ट) सम्मिलित कर सकते हैं, तो यह हाल ही में देखा गया था कि आप जटिल विमान में जाकर उच्च आदेश विभाजन प्राप्त कर सकते हैं। उस दिशा में पहला लेख ई। हैंसेन और ए। ओस्टरमन, http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf और एफ। कास्टेला, पी। चार्टियर द्वारा हैं। , एस। डेसकोम्बेस, और जी। विलमार्ट। जटिल बंटवारे का विकल्प जो कुछ अर्थों में "इष्टतम" हैं वर्तमान शोध का विषय है, आप एक्सएक्सएक्स पर विषय पर कई पेपर पा सकते हैं।

सारांश करना: यदि आप अपनी समस्या पर कुछ अनुमान लगाते हैं, तो आप कुछ प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन यदि नहीं, तो क्रम 2 अधिकतम है।

पुनश्च: मुझे स्पैम की रोकथाम के कारण कैस्टेला एट अल-पेपर से लिंक लेना था, लेकिन आप इसे आसानी से Google पर पा सकते हैं।

Answer 3

सी सी एस इ LBNL पर समूह हाल ही में जटिल रसायन विज्ञान के साथ एक कम मच संख्या प्रवाह में इस्तेमाल किया है स्पेक्ट्रल स्थगित सुधार (एसडीसी) तरीकों। वे एसडीसी परिणामों की तुलना स्ट्रैंग बंटवारे से करते हैं, और परिणाम बहुत आशाजनक हैं।

यहां विवरण के साथ एक मसौदा पत्र है: कॉम्प्लेक्स केमिस्ट्री के साथ लो मच नंबर फ्लो के लिए एक आस्थगित सुधार युग्मन रणनीति

ध्यान दें कि SDC योजना एक पुनरावृत्ति योजना है, जो उच्च-क्रम के सटीक समतलीकरण समाधान में परिवर्तित होती है, लेकिन इसे अन्य आदेश विधियों से बनाया जाता है।

Answer 4

विभाजन की त्रुटि, कम से कम सिद्धांत में वर्णक्रमीय आस्थगित सुधार विधियों द्वारा कम की जा सकती है। हालांकि, यह सक्रिय अनुसंधान का क्षेत्र लगता है और सामान्य उपयोग के लिए वास्तव में तैयार नहीं है।

Answer 5

उच्च-क्रम विभाजन योजनाओं के लिए एक नया संसाधन जो बहुत कुछ सूचीबद्ध करता है वह यहां पाया जा सकता है:

http://www.asc.tuwien.ac.at/~winfried/splitting/