ब्लॉक संरचना के बिना अनिश्चित प्रणालियों के लिए पुनरावृत्ति विधियां

Question

मिश्रित अनिश्चित तत्वों द्वारा काठी बिंदु की समस्याओं के विवेक में उदाहरण के लिए मेट्रिसेस की अनिश्चित प्रणालियां दिखाई देती हैं। सिस्टम मैट्रिक्स को तब फॉर्म में डाला जा सकता है

$$\begin{pmatrix} A & B^t \\ B & C\end{pmatrix}$$

जहाँ $A$ ऋणात्मक (अर्ध) है, -सामान्य, $C$ धनात्मक (अर्ध-) निश्चित है और $B$ मनमाना है। बेशक, कन्वेंशन के आधार पर आप निश्चितता शर्तों का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन यह उन मैट्रिसेस की संरचना से बहुत अधिक है।

इन विधियों के लिए, उज़वा की विधि को नियोजित किया जा सकता है, जो वास्तव में सिस्टम को एक समान अर्ध-निश्चित प्रणाली में बदलने के लिए एक "ट्रिक" है जो कि कॉनजुगेट ग्रेडिएंट, ग्रेडिएंट डिसेंट और इस तरह से हल किया जा सकता है।

मैं एक अनिश्चित प्रणाली का सामना करता हूं जिसमें ऐसी कोई ब्लॉक संरचना नहीं है। उस मामले में उज़वा-प्रकार के तरीके लागू नहीं होते हैं। मैं मिनिमल रेजिडेंशियल विधि (MINRES) से अवगत हूं, जो Paige और Saunders द्वारा पेश की गई है, जो कि केवल तीन-अवधि की पुनरावृत्ति है और इसे लागू करना आसान लगता है।

प्रश्न: क्या प्रोटोटाइप के लिए MINRES आमतौर पर एक अच्छा विकल्प है, कहते हैं? क्या यह कोई व्यावहारिक प्रासंगिकता है? वर्तमान में पूर्वगामी कोई केंद्रीय मुद्दा नहीं है।

Comments

क्या आप इस बारे में थोड़ा और कह सकते हैं कि आपके मैट्रिस को क्या खास बनाता है? जैसे यह किस तरह की समस्या से आता है? क्या इसमें किसी अन्य प्रकार की संरचना है? आदि आदि

— बिल बर्थ

मैंने इसे जानबूझकर खाली छोड़ दिया है, सबसे सामान्य उत्तर पाने के लिए (स्पष्ट रूप से, यह स्पष्ट रूप से माना जाता है कि एक संतोषजनक उत्तर है)। लेकिन नीचे दिए गए हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के साथ उदाहरण मेरे मन में काफी था।

— शुहलो

Answer 1

यदि आप पूर्व शर्त के बारे में चिंतित नहीं हैं, तो न्यूनतम मानक मानक है। हालाँकि, इस बात का ध्यान रखें कि MINRES को एक सममित सकारात्मक निश्चित पूर्ववर्ती की आवश्यकता होती है।

यदि आप पूर्व शर्त के साथ संबंध रखते हैं, तो अधिकांश काठी बिंदु समस्याओं और सामान्य अनिश्चित समस्याओं के बीच संरचनात्मक अंतर पर विचार करना महत्वपूर्ण है। लैग्रेंज गुणकों द्वारा लागू बाधाओं के साथ अण्डाकार समस्याओं को हल करते समय अधिकांश काठी बिंदु समस्याएं उत्पन्न होती हैं। अपूर्णता और संपर्क बाधाएं सामान्य उदाहरण हैं। इस तरह की समस्याओं के लिए, ऑपरेटर उस उप-क्षेत्र पर जोर देता है जिसमें बाधा संतुष्ट होती है, जिसमें ग्रीन के कार्य तेजी से क्षय होते हैं। इस तरह की समस्याओं को ब्लॉक प्रीकॉन्डिशनर्स (पूर्वनिर्धारित उजावा इस परिवार का सदस्य है) का उपयोग करके कुशलता से हल किया जा सकता है, संगत स्मूदों के साथ मल्टीग्रिड (जैसे कि वेंका या ब्लॉक अपघटन पर आधारित), या उपयुक्त स्थानीय और मोटे समस्याओं के लिए मल्टीलेवल डोमेन अपघटन।

अनिश्चित समस्या का एक आदर्श उदाहरण जो एक काठी बिंदु समस्या नहीं है वह है हेलमहोल्ट्ज़ समीकरण

$$-\nabla\cdot \big( a \nabla u \big) - k^2 u = f$$

जहां सकारात्मक स्थिरांक द्वारा समान रूप से ऊपर और नीचे बंधे होते हैं। के लिए बड़े, ग्रीन के कार्यों अत्यधिक oscillatory जो शर्त बनाता है (और discretization) मुश्किल हो जाता है। दो उचित दृष्टिकोण पूरी तरह से मिलान की गई परतों और "लहर-रे मल्टीग्रिड" पर आधारित व्यापक पूर्व शर्त हैं, जैसा कि इस प्रश्न के उत्तर में वर्णित है । दुर्भाग्य से, इन विधियों को लागू करने के लिए विशिष्ट समीकरण और तकनीकी के बजाय कस्टम हैं।$a(x)$$k$

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निष्पक्ष होने के लिए, जबकि व्यापक रूप से व्यापक रूप से कार्यान्वित करने के लिए व्यापक रूप से पूर्वनिर्धारितकर्ता निश्चित रूप से तकनीकी हैं, यह विचार हेल्महोल्ट्ज़ के लिए विशिष्ट नहीं है; मुख्य आवश्यकता एक अवशोषित सीमा स्थिति है (उदाहरण के लिए, पूरी तरह से मिलान परतें)।

— जैक पॉल्सन

Answer 2

एक संबंधित प्रश्न जो ब्याज की हो सकती है , एक विरल रैखिक प्रणाली सॉल्वर का चयन करते समय मुझे किन दिशानिर्देशों का पालन करना चाहिए? , हालांकि इस मामले में, आप केवल पुनरावृत्त तरीकों में दिलचस्पी लेंगे। पुनरावृत्तियों के बारे में मेरी समझ यह है कि किसी भी विधि के लिए अभिसरण आपके मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम पर बहुत अधिक निर्भर है। भले ही आप उज़वा की विधि का उपयोग नहीं कर सकते हैं, फिर भी आप GMRES, Biconjugate स्थिर ढाल, MINRES, अर्ध-अवशिष्ट अवशिष्ट विधि, और अन्य पुनरावृत्त तरीके आज़मा सकते हैं जो अनिश्चितकालीन परिपक्वता पर लागू होते हैं।

यदि विभिन्न तरीकों की कोडिंग एक चिंता का विषय है, तो आप PETSc जैसी लाइब्रेरी का उपयोग करके अपने एल्गोरिथ्म में सॉल्वरों को कॉल कर सकते हैं , जो विभिन्न प्रकार के पुनरावृत्त रैखिक सॉल्वर को लागू करता है।

Answer 3

इस प्रकार की समस्या के लिए MINRES सबसे अच्छा विकल्प है।

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कृपया अपनी व्यक्तिगत साइट को इस तरह लिंक न करें। विशिष्ट संसाधनों को जोड़ने के लिए स्वतंत्र महसूस करें जो आपके उत्तर के लिए प्रासंगिक हैं, लेकिन इस तरह से आपकी व्यक्तिगत साइट को लिंक न करें। मैंने इसे इस जवाब से हटा दिया है। ऐसे लिंक आपके उपयोगकर्ता प्रोफ़ाइल पर हैं।

— जेड ब्राउन

क्या आप विस्तार से बता सकते हैं कि इस प्रकार की समस्या के लिए MINRES सबसे अच्छा विकल्प क्यों है? अधिक विवरण जोड़ने से समुदाय को आपके उत्तर को अधिक उपयोगी बनाने में मदद मिलेगी, और आपको अधिक वोट प्राप्त करने में मदद मिलेगी।

— ज्योफ ऑक्सबेरी