एक गैर-प्रतिक्रिया प्रतिक्रिया शब्द के साथ प्रसार समीकरण के लिए संभावित संख्यात्मक योजनाएं क्या हैं?

Question

2 डी में कुछ सरल उत्तल डोमेन , हमारे पास कुछ यू (x) हैं जो निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करते हैं: - \ mathrm {div} (A \ nabla u) + cu ^ n = f कुछ डिरिचलेट और / या न्यूमैन सीमा स्थितियों के साथ। मेरी जानकारी के लिए, न्यूटन की विधि को एक परिमित तत्व स्थान में लागू करना इस समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए एक सीधा और सरल तरीका होगा।$\Omega$$u(x)$

$$-\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f$$

मेरे प्रश्न हैं: (१) क्या इस समीकरण के सुस्पष्ट सूत्रीकरण की भलाई के लिए एक सोबोलेव सिद्धांत है जो शून्य डिरिक्लेट सीमा स्थिति को मानता है? यदि हां, तो हमें किस स्थान पर प्रतिबंध लगाना चाहिए? (२) इस प्रकार के समीकरण के लिए संभावित संख्यात्मक दृष्टिकोण क्या हैं?

Comments

"संभव संख्यात्मक दृष्टिकोण" से, क्या आप विवेक या बीजीय सॉल्वर के बारे में पूछ रहे हैं?

— जेड ब्राउन

Answer 1

मैं दो दृष्टिकोण देखता हूं:

1) मनमाना f (u)। बस समीकरण के दाहिने हाथ की तरफ f ~ f (u0) डालें, किसी भी गैर-रैखिक सॉल्वर के साथ आगे बढ़ें, फिक्स्ड पॉइंट स्कीम एक अच्छा विकल्प है, क्योंकि आपके पास वैसे भी याकूब नहीं है। लागू करने और उपयोग करने के लिए सबसे सामान्य, सबसे सामान्य, लेकिन संभवतः अवर प्रदर्शन, क्योंकि जैकबियन का शोषण नहीं किया जा सकता है (यह आमतौर पर अज्ञात है)।

2) च (यू) श्रृंखला (बहुपद, फूरियर) में विघटित। लागू करने और उपयोग करने में अधिक कठिन, कुछ विशेष एफ के लिए मुश्किल / असंभव हो सकता है। लेकिन बदले में आप न्यूटन जैसी विधि में याकूब की गणना और शोषण कर सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप आम तौर पर बेहतर प्रदर्शन होगा।

Comments

मैं मान रहा था कि केवल अंतरिक्ष का एक फ़ंक्शन था और में गैर-रैखिक नहीं था । यानी, समस्या में केवल गैर-रैखिकता । $f$$u$$u^n$

— बिल बर्थ

आपको u ^ n को f में जोड़ना चाहिए। फिर आपके पास प्रतिक्रिया शब्द का एक सरल बहुपद रूप है जिसे दृष्टिकोण 2 के साथ सबसे अच्छा माना जाता है)।

— डोमिनिक लार्क