आवधिक सीमा की स्थिति के साथ एक रैखिक लोच समस्या की भलाई

Question

कुछ अनुप्रयोगों के लिए, जैसे कि स्थिर स्टेट हीट ट्रांसफर और झरझरा मीडिया में प्रवाह, विपरीत सीमाओं पर आवधिक सीमा की शर्तों को लागू करके और शेष सीमाओं पर डाइरिक्लेट बीसी पर बहुत अधिक (अनंत) डोमेन का अनुकरण करना संभव है। एक 2D आयताकार डोमेन के लिए, आवधिक स्थिति की व्याख्या की जा सकती है जैसे कि डोमेन एक सिलेंडर की सतह पर स्थित है।

मैं उत्सुक हूँ अगर वही लोच समस्याओं के लिए कहा जा सकता है। मैंने देखा है कि मानक रैखिक लोच समस्याएँ सीमित डोमेन तक सीमित हैं और मैंने कभी ऐसा उदाहरण नहीं देखा है जहाँ एक आवधिक सीमा स्थिति निर्धारित या कार्यान्वित की गई हो। मुझे संदेह है कि आवधिकता से प्रेरित कठोर शरीर गति (अनुवाद और / या रोटेशन) के कारण इस समस्या के समाधान की विशिष्टता के साथ समस्याएं हो सकती हैं।

सरलता के लिए, आइए एक 2 डी आयताकार डोमेन पर रैखिक आइसोट्रोपिक प्लेनर लोच मामले को मान लें। मान लीजिए कि मैं दो विपरित सीमाओं पर निश्चित विस्थापन (डाइरिक्लेट) स्थितियों का उपयोग करके एक बड़ा (आवधिक) माध्यम बनाना चाहता हूं, शेष सीमाओं पर आवधिक विस्थापन की स्थिति।

क्या यह समस्या अच्छी तरह से सामने आई है? यदि नहीं, तो क्या रणनीतियाँ हैं (उदाहरण के लिए अतिरिक्त बाधाएँ) क्या मैं इसे अच्छी तरह से पेश करने के लिए उपयोग कर सकता हूँ, यह जानते हुए कि मेरा अंतिम लक्ष्य दोहरावदार भौतिक गुणों के साथ एक बहुत बड़ा (अनंत) माध्यम अनुकरण करना है?

Answer 1

आपके द्वारा दिया गया उदाहरण अच्छी तरह से प्रस्तुत किया गया है। कोर्न की असमानता धारण करती है, अगर उस उपसमुच्चय पर विस्थापन तय होता है, जिसमें एक खुला (सीमा के टोपोलॉजी में) सीमा का सबसेट होता है, जो आपके मामले में सच है।

सरल परीक्षण यह है: यदि आप अपनी डिरिचलेट सीमा पर एक कठोर शरीर को ठीक करते हैं, तो क्या इसे अभी भी स्थानांतरित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप दो आयामों में एक बिंदु तय करते हैं, तो आपकी वस्तु इसके चारों ओर घूम सकती है। यदि आप 3 आयामों में एक बिंदु या रेखा को ठीक करते हैं, तो।

यदि अंत में आप आवधिक सीमा की स्थिति चाहते हैं $x$ तथा $y$दिशा-निर्देश, आपको एक अतिरिक्त अवरोध लगाना होगा, उदाहरण के लिए कि पूरे आयत पर विस्थापन का औसत मूल्य शून्य है। संभवतः, आपको रोटेशन को भी खत्म करना होगा।