बारोडेल-रॉबर्ट्स-एल्गोरिदम का उपयोग करके कम से कम पूर्ण विचलन को हल करना: समयपूर्व समाप्ति?

कृपया लंबे प्रश्न का बहाना करें, वास्तविक समस्या से नीचे उतरने के लिए बस कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। उल्लिखित एल्गोरिदम से परिचित लोग संभवत: पहले सिम्प्लेक्स तबलाऊ पर सीधे कूद सकते हैं।

कम से कम पूर्ण विचलन समस्याओं को हल करने के लिए (उर्फ) $L_1$ -ऑप्टिमाइजेशन), बारोडेल-रॉबर्ट्स-एल्गोरिदम एक विशेष उद्देश्य सिंपलेक्स विधि है, जिसमें उपयुक्त न्यूनतम खोजने के लिए बहुत कम भंडारण और कम्प्यूटेशनल प्रयासों की आवश्यकता होती है।

एल्गोरिथ्म का मेरा कार्यान्वयन एक सरल उदाहरण पर एक उचित न्यूनतम तक पहुंचने से पहले समाप्त हो जाता है। हालाँकि, शायद मुझे पहले अधिक विस्तृत तरीके से समस्या के बारे में बताना चाहिए:

डेटा को देखते हुए , -optimization _ खोजने की कोशिश की , जो जहाँ एक मैट्रिक्स है जो किसी तरह से पर निर्भर करता है । इस समस्या को एक रेखीय कार्यक्रम के रूप में कहा जा सकता है और इसलिए अन्य लोगों के बीच सिम्पलेक्स जैसी विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। $(x_i,y_i)$ $L_1$ $c\in m$

Σ_{मैं = 1}^{n} | y_{मैं} - च ({एक्स}_{मैं}) | साथ में च (एक्स) : = ए_{एक्स} \cdot φ

$\sum_{i=1}^n |y_i-f(x_i)| \quad\text{with}\quad f(x):=A_x\cdot \phi$

A_{x}

$A_x$

n \times m

$n\times m$

x

$x$

Barrodale और रॉबर्ट्स ने सरल विधि का एक (जाहिरा तौर पर व्यापक रूप से इस्तेमाल किया गया) संशोधन का सुझाव दिया है जो -problems की विशेष संरचना का उपयोग करके साधारण रूप से सरल विधि का उपयोग करता है । सबसे विशेष रूप से, यह है कि एक इष्टतम समाधान दिए गए कम से कम को प्रक्षेपित करता है । Jstor के उपयोग वालों को यहां संबंधित लेख मिल सकता है । $L_1$ $\mathop{rank}(A)$

2002 में लेई और एंडरसन ने एक छोटे से संशोधन का प्रस्ताव दिया जो संख्यात्मक स्थिरता को बढ़ाने और इसलिए सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म के साथ ज्ञात समस्याओं को दूर करने के लिए है।

मूल रूप से, यह एल्गोरिथ्म मानता है कि आप दिए गए बिंदुओं के एक सेट के साथ शुरू करते हैं जिसे प्रक्षेपित करना है, एक सरल झांकी के निर्माण के लिए दिए गए प्रक्रियाओं का उपयोग करें और फिर तय करने के लिए किस आधार चर को बदलने के लिए और इसलिए संशोधित करने के लिए बारोडेल और रॉबर्ट्स के नियमों का उपयोग करें। डेटापेट्स का सेट जो अनुमानित है।

बारोडेल और रॉबर्ट्स एक छोटा सा उदाहरण देते हैं जिसे मैंने पुन: पेश करने की कोशिश की। यह फ़ंक्शन द्वारा को लगभग अनुमानित करने का प्रयास करता है । निम्नलिखित संघनित सिंप्लेक्स झांकी के साथ उनके एल्गोरिथ्म को समाप्त करें: $\{(1,1), (2,1), (3,2), (4,3), (5,2)\}$ $a_1+a_2x$

\begin{array}{llll} आधार & आर & {यू}_{1} & {यू}_{3} \\ ख_{1} & 1 / 2 & 3 / 2 & - 1 / 2 \\ v_{2} & 1 / 2 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ ख_{2} & 1 / 2 & - 1 / 2 & 1 / 2 \\ {यू}_{4} & 1 / 2 & 1 / 2 & - 3 / 2 \\ v_{5} & 1 & - 1 & 2 \\ सीमांत लागत & 2 & - 1 & 0 \end{array}

$\begin{array}{l|l|ll} \hline \text{Basis}&R& u_1 & u_3\\ \hline b_1 & 1/2 & 3/2 & -1/2 \\ v_2 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ b_2 & 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ u_4 & 1/2 & 1/2 & -3/2 \\ v_5 & 1 & -1 & 2 \\ \hline \text{Marginal cost} &2 & -1 & 0\\ \hline \end{array}$

सबसे महत्वपूर्ण बात, पहला और तीसरा बिंदु आपस में जुड़े हुए हैं और समग्र त्रुटि बराबर है । उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि $2$

चूंकि सभी नॉनबेसिक वैक्टरों में असंक्रामक सीमांत लागत होती है [...]

यात्रा समाप्त हो गई है और इष्टतम पहुँच गया है।

यदि मैं लेई और एंडरसन के एल्गोरिथ्म का उपयोग करता हूं, तो मैं उस सरल xleau को प्रक्षेपित सेट {1,3} के लिए पुन: पेश कर सकता हूं, जैसा कि यह अपेक्षित है। हालाँकि, अगर मैं सेट (जो स्पष्ट रूप से इष्टतम नहीं है) के साथ एल्गोरिथ्म शुरू करता हूं, तो मुझे निम्नलिखित सिम्प्लेक्स झांकी मिलती है: $\{2, 5\}$

\begin{array}{llll} आधार & आर & {यू}_{2} & {यू}_{5} \\ {यू}_{1} & 1 / 3 & - 4 / 3 & 1 / 3 \\ ख_{1} & 1 / 3 & 5 / 3 & - 2 / 3 \\ {यू}_{3} & 2 / 3 & - 2 / 3 & - 1 / 3 \\ {यू}_{4} & 4 / 3 & - 1 / 3 & - 2 / 3 \\ ख_{2} & 1 / 3 & - 1 / 3 & 1 / 3 \\ सीमांत लागत & 7 / 3 & - 10 / 3 & - 5 / 3 \end{array}

$\begin{array}{l|l|ll} \hline \text{Basis}&R& u_2 & u_5\\ \hline u_1 & 1/3 & -4/3 & 1/3 \\ b_1 & 1/3 & 5/3 & -2/3 \\ u_3 & 2/3 & -2/3 & -1/3 \\ u_4 & 4/3 & -1/3 & -2/3 \\ b_2 & 1/3 & -1/3 & 1/3 \\ \hline \text{Marginal cost} &7/3 & -10/3 & -5/3\\ \hline \end{array}$

हालांकि यह परिणाम मुझे हैरान कर रहा है। अगर मैं उद्धरण को सही ढंग से समझता हूं, तो कोई सकारात्मक सीमांत लागत इंगित नहीं करती है कि इष्टतम पहुंच गया है। लगभग 2.33 का फ़ंक्शन मान निश्चित रूप से इष्टतम नहीं है, हालांकि। साथ आदान-प्रदान करना एक ऐसा परिणाम होगा जो बड़ोदाले और रॉबर्ट्स के समाधान के बराबर है और इसलिए इष्टतम है। $u_2$ $u_1$

अतिरिक्त जानकारी: यदि मैं बारोडेल और रॉबर्ट्स द्वारा दी गई प्रारंभिक झांकी के साथ शुरू करता हूं, तो मैं साधारण सिंप्लेक्स चरणों द्वारा उपरोक्त झांकी को पुन: पेश करने में भी सक्षम हूं, इस प्रकार मुझे पूरा विश्वास है कि वास्तविक संख्यात्मक मान सही हैं और धुरी चयन नियम की मेरी व्याख्या दोषपूर्ण है।

इस पर कोई विचार?

मुझे पता है कि सवाल ही काफी जटिल है और शायद पर्याप्त रूप से उत्तर दिए जाने के लिए कम से कम बारोडेल और रॉबर्ट्स एल्गोरिदम के ज्ञान की आवश्यकता है। एक पूरे के रूप में एल्गोरिथ्म लंबे समय तक इसे पूरे विस्तार से यहां दोहराना है। हालाँकि, यदि आपके पास मेरे द्वारा उठाए गए कदमों या जानकारी के गुम बिट्स पर अतिरिक्त प्रश्न हैं, तो बेझिझक पूछें और मैं ख़ुशी से प्रश्न को बढ़ा दूंगा।

optimization linear-programming

— थिलो
स्रोत

यदि कोई पर्याप्त प्रतिष्ठा वाला व्यक्ति "कम से कम" विचलन "या" L1- सन्निकटन "की तर्ज पर एक टैग बना सकता है, तो मैं आभारी रहूंगा।

— थिलो

इष्टतमता की स्थिति यह है कि मूल समाधान को संभव होना चाहिए (इसके गैर-सक्रियता बाधाओं के संबंध में) और यह कि कम लागतों को 0. से कम या इसके बराबर होना चाहिए। यदि आपका मूल समाधान अस्वीकार्य है तो सभी दांव बंद हैं।

— ब्रायन बोरचर्स

बुनियादी समाधान निर्माण द्वारा संभव है। इस प्रकार, कोई समस्या नहीं होनी चाहिए। हालाँकि, मुझे पता है कि समस्या कहाँ हो सकती है। अगर मैं सही हूं तो मैं इसका जवाब दूंगा।

— थिलो

उसे हल कर लिया। दरअसल, बैरोडेल और रॉबर्ट्स ने इसे हल किया और मैंने अभी ध्यान से नहीं पढ़ा।

अपने प्रश्न में मैंने पाठक को यह समझने के लिए छोड़ दिया कि चर बड़ोदाले और रॉबर्ट्स लेबल $u_i$ सकारात्मक अवशिष्टों के लिए खड़े रहें $i$ -सबसे फिट के संबंध में डेटापॉइंट। यदि अवशिष्ट ऋणात्मक है, $u_i=0$ तथा $v_i$ इसी मूल्य लेता है। जैसा कि उनमें से केवल एक ही आधार के भीतर हो सकता है और सिंप्लेक्स झांकी में गुणांक सिर्फ एक-दूसरे के नकारात्मक हैं, उन्हें सरल रूप से झांकी में स्पष्ट रूप से बताना आवश्यक नहीं है। Barrodale और रॉबर्ट्स ने अपने लेख में उल्लेख किया है:

[...] और उस सीमांत (या कम) की राशि का योग $b_j$ तथा $c_j$ शून्य है और $u_i$ तथा $v_i$ -2 है।

इस प्रकार, ऊपर दिए गए मेरे सिंप्लेक्स की झांकी को इस प्रकार देखना होगा:

\begin{array}{llllll} आधार & आर & {यू}_{2} & {यू}_{5} & v_{2} & v_{5} \\ {यू}_{1} & 1 / 3 & - 4 / 3 & 1 / 3 & 4 / 3 & - 1 / 3 \\ ख_{1} & 1 / 3 & 5 / 3 & - 2 / 3 & - 5 / 3 & 2 / 3 \\ {यू}_{3} & 2 / 3 & - 2 / 3 & - 1 / 3 & 2 / 3 & 1 / 3 \\ {यू}_{4} & 4 / 3 & - 1 / 3 & - 2 / 3 & 1 / 3 & 2 / 3 \\ ख_{2} & 1 / 3 & - 1 / 3 & 1 / 3 & - 1 / 3 & - 1 / 3 \\ सीमांत लागत & 7 / 3 & - 10 / 3 & - 5 / 3 & 4 / 3 & - 1 / 3 \end{array}

$\begin{array}{l|l|ll| ll} \hline \text{Basis}&R& u_2 & u_5 & v_2 & v_5\\ \hline u_1 & 1/3 & -4/3 & 1/3 & 4/3 & -1/3 \\ b_1 & 1/3 & 5/3 & -2/3 & -5/3 & 2/3 \\ u_3 & 2/3 & -2/3 & -1/3 & 2/3 & 1/3 \\ u_4 & 4/3 & -1/3 & -2/3 & 1/3 & 2/3 \\ b_2 & 1/3 & -1/3 & 1/3 & -1/3 & -1/3 \\ \hline \text{Marginal cost} &7/3 & -10/3 & -5/3 & 4/3 & -1/3\\ \hline \end{array}$

जहाँ हम स्पष्ट रूप से देखते हैं $v_2$ एक बेहतर परिणाम संग्रह करने के लिए आधार में लाया जा सकता है। ऐसा करना एल्गोरिथ्म 2 की समग्र त्रुटि के साथ पहले और पांचवें डेटापॉइंट को प्रक्षेपित करते समय समाप्त होता है - जो सबसे अच्छा समाधान है।

पढ़ने के लिए धन्यवाद और मुझे अपनी समस्या को लिखने के लिए कुछ जगह दी, जो आमतौर पर समाधान को काफी कम करने में मदद करता है। उम्मीद है, यह उत्तर कभी-कभी किसी और के लिए उपयोगी हो सकता है जो बैरोडेल और रॉबर्ट्स को लागू करने की कोशिश कर रहा है।

— थिलो
स्रोत