न्यूमैन सीमा स्थितियों के साथ पॉइसन समीकरण परिमित-अंतर मैट्रिक्स लिखना

मैं परिमित-अंतर दृष्टिकोण का उपयोग करके पॉइसन समीकरण को हल करने में रुचि रखता हूं। मैं बेहतर तरीके से समझना चाहता हूं कि न्यूमैन सीमा स्थितियों के साथ मैट्रिक्स समीकरण कैसे लिखें। क्या कोई निम्नलिखित की समीक्षा करेगा, क्या यह सही है?

परिमित-अंतर मैट्रिक्स

द पोइसन समीकरण,

\frac{\partial^{2} यू (एक्स)}{\partial {एक्स}^{2}} = घ (एक्स)

$\frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = d(x)$

एक परिमित-भिन्न मैट्रिक्स समीकरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है,

\frac{1}{(Δ एक्स)^{2}} म ∙ \hat{यू} = \hat{घ}

$\frac{1}{(\Delta x)^2} \textbf{M}\bullet \hat u = \hat d$

जहां $\textbf{M}$ एक है $n \times n$ मैट्रिक्स और और हैं (स्तंभ) वैक्टर, $\hat u$ $\hat d$ $1 \times n$

Poisson समीकरण का परिमित-अंतर मैट्रिक्स

एक न्यूमैन सीमा स्थिति जोड़ना

एक न्यूमैन सीमा स्थिति सीमा पर एक ज्ञात प्रवाह को लागू करती है (यहां हम इसे बाईं ओर लागू करते हैं जहां सीमा ) $x=0$

इस सीमा शर्त लेखन के रूप में एक केंद्रित परिमित-अंतर,

\frac{\partial यू (एक्स = 0)}{\partial एक्स} = σ

$\frac{\partial u(x=0)}{\partial x} = \sigma$

समीकरण में त्रुटि। एनबी। मैंने मूल रूप से यहां एक त्रुटि की, त्रुटि पर हस्ताक्षर किए और 2 से विभाजित नहीं किया। निम्नलिखित को सही किया गया है।

\frac{{यू}_{2} - {यू}_{0}}{2 Δ एक्स} = σ

$\frac{u_2 - u_0}{2\Delta x} = \sigma$

मूल डोमेन के बाहर एक मेष बिंदु की शुरुआत पर ध्यान दें ( )। इस समीकरण को दूसरे समीकरण, को पेश करके समाप्त किया जा सकता है $u_0$

\frac{{यू}_{0} - 2 {यू}_{1} + {यू}_{2}}{(Δ एक्स)^{2}} = घ_{1}

$\frac{u_0 - 2u_1 + u_2}{(\Delta x)^2} = d_1$

नए मेष बिंदु की शुरुआत के कारण समीकरण अधिक जानकारी होने से गिरफ्तार होता है। यह हम डबल व्युत्पन्न लिखने की अनुमति देता के मामले में सीमा के रूप में एक केंद्रित परिमित-अंतर का उपयोग कर। $u_1$ $u_0$

जिस भाग के बारे में मुझे यकीन नहीं है

इन दो समीकरणों को मिलाकर को समाप्त किया जा सकता है। काम दिखाने के लिए, आइए पहले अज्ञात के लिए फिर से व्यवस्था करें, $u_0$

{यू}_{0} = - 2 σ Δ एक्स + {यू}_{2} {यू}_{0} = (Δ एक्स)^{2} घ_{1} + 2 {यू}_{1} - {यू}_{2}

$u_0 = -2\sigma\Delta x + u_2 \\ u_0 = (\Delta x)^2 d_1 + 2 u_1 - u_2$

अगले वे समान रूप में सेट किए गए हैं और उन्हें फिर से बनाया गया है,

\frac{{यू}_{2} - {यू}_{1}}{(Δ एक्स)^{2}} = \frac{घ_{1}}{2} + \frac{σ}{Δ एक्स}

$\frac{u_2 - u_1}{(\Delta x)^2} = \frac{d_1}{2} + \frac{\sigma}{\Delta x}$

$u$ $(\Delta x)^2$

अंत में, इस समीकरण को मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के रूप में उपयोग करते हुए,

बाएं हाथ की ओर (न्यूड) एक न्यूमैन सीमा स्थिति के साथ पॉइसन समीकरण

कुछ अंतिम विचार,

क्या यह अंतिम मैट्रिक्स सही है?
क्या मैं एक बेहतर दृष्टिकोण का उपयोग कर सकता था?
क्या इस मैट्रिक्स को लिखने का एक मानक तरीका है?

— boyfarrell
स्रोत

2 Δ x

$2 \Delta x$

u_{0} = - σ Δ x + u_{2}

$u_0 = - \sigma \Delta x + u_2$

यह LeVeque के परिमित अंतर पाठ , अध्याय 2 में काफी अच्छी तरह से काम किया गया है

— डेविड केचेसन

इन मुद्दों को भी अच्छी तरह से से वर्णन किया गया scientificpython.net/1/post/2013/01/...

— ईव्जेनी Sergeev

क्या आप इस scicomp.stackexchange.com/questions/14306/…

— usumdelphini

जवाबों:

मुझे लगता है कि आप सही रास्ते पर हैं। यदि आप अपनी त्रुटियों को ठीक करते हैं, तो यह http://www.math.toronto.edu/mpugh/Teaching/Mat1062/notes2.pdf के समान दिखाई देगा ।

— vanCompute
स्रोत

टिप्पणी और सुधार के लिए धन्यवाद। मैंने अपने प्रश्न को सुधार के साथ अद्यतन किया है। मेरा मानना है कि यह अभी सही है।

— बॉयफ्रेल

$u_0$

वापस कदम रखें और एक सेकंड के लिए समस्या के बारे में सोचें। लैप्लस समीकरण को निर्दिष्ट करना मौलिक रूप से बताता है कि प्रत्येक बिंदु अपने पड़ोसियों का औसत है। यह आमतौर पर एक रबर शीट के रूप में कल्पना की जाती है, और मुझे इन चीजों के बारे में सोचने में मदद करती है। (पॉइसन समान है w / अधिक या कम खिंचाव के बिंदु)

जब आप बाहरी किनारों पर समाधान सतह के मूल्य को निर्दिष्ट करते हैं तो आप उन बिंदुओं पर अंतरिक्ष में शीट को "पिनिंग" कर रहे हैं। जब आप किनारों पर शीट को उसके व्युत्पन्न द्वारा निर्दिष्ट करते हैं, तो किसी भी संख्या में समाधान होते हैं जो उस समीकरण को पूरा करते हैं जो एक ही वास्तविक आकार और इस प्रकार डेरिवेटिव को बनाए रखते हुए शीट को अंतरिक्ष में अनुवाद करते हैं।

$u_0 = 0$

— meawoppl
स्रोत

इसलिए आमतौर पर पॉइसन समीकरण को कम से कम एक डिरिक्लेट सीमा स्थिति के साथ हल किया जाता है, ताकि एक अनूठा समाधान मिल सके? मुझे लगता है कि यह समझ में आता है कि न्यूमैन सीमा की स्थिति केवल तभी समझ में आती है जब स्रोत और सिंक शामिल होते हैं, अन्यथा समाधानों की एक अनंत संख्या होती है। हालांकि, यदि मैं इसके बजाय प्रसार समीकरण लेता हूं, तो कुछ समय के लिए सही भौतिकी के लिए न्यूमैन सीमा की स्थिति की आवश्यकता होती है (उदाहरण के लिए डु / डक्स = 0) जब एक सीमा के माध्यम से मात्रा का कोई प्रवाह नहीं होता है। यह वही है जो मैं वास्तव में रुचि रखता हूं। क्या उपरोक्त विधि न्यूमैन बीसी के लिए सही दृष्टिकोण है?

— boyfarrell

आप कागज के सभी पक्षों पर न्यूमैन बीसी लागू नहीं कर सकते। यदि आप करते हैं, तो आपके पास एक अनूठा समाधान नहीं होगा। इसे कम से कम एक तरफ से पिन किया जाना चाहिए।

— vanCompute

@meawoppl: प्रत्यक्ष मैट्रिक्स को हल करते समय कोई निश्चित बिंदु को कैसे निर्दिष्ट करता है?

— 22

आमतौर पर सिर्फ एक शब्द को स्थिरांक में निर्दिष्ट करते हुए, एक पंक्ति में 1, शेष शून्य, और RHS पर एक मान सेट करने के माध्यम से जो आप देखना चाहते हैं समाधान विमान से मेल खाती है।

— मेवप्लप