जब हम आवेदन में बर्नस्टीन बहुपद का उपयोग करते हैं

Question

जब केवल प्रारंभिक प्रारंभिक संख्यात्मक विश्लेषण विधियों का उपयोग करने के बजाय बर्नस्टीन बहुपद का उपयोग करना बेहतर होता है : "लाग्रेंज पोलिनॉमिअल्स", "सरल परिमित अंतर ऑपरेटर"।

सवाल इन तरीकों को कम्पेयर करने का है।

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बर्नस्टीन को क्यों पूंजीकृत किया जाता है? क्या यह किसी विशेष सॉफ्टवेयर पैकेज के संदर्भ में है?

मेरे प्रश्न का एक पहलू आपके प्रश्न के लगभग था, मैं यह देखना चाहता हूं कि क्या इस पद्धति का उपयोग करने की कोई प्रबलता है, बजाय इसके कि बहुत ही विशिष्ट मामले में भी उल्लेख किया गया है? बर्नस्टीन पॉलिनॉमिअल्स खुद अच्छे हैं और उनमें बहुत सारी संपत्तियां हैं, लेकिन क्या वे कंप्यूटर प्रोग्राम या अन्य स्थितियों में भी उदाहरण के लिए उपयोग करना बेहतर है?

Answer 1

बर्नस्टीन बहुपद और लाग्रेंज बहुपद दोनों एक ही स्थान पर फैले हुए हैं। तो संभावित कार्यों के संदर्भ में, एक का प्रतिनिधित्व कर सकता है, एक या दूसरे का उपयोग करने से कोई फर्क नहीं पड़ता है। हालाँकि, यदि आप इनका उपयोग फ़ंक्शनल एलीमेंट विधि या इंटरपोल प्रॉब्लम में आधार फ़ंक्शंस के रूप में करने की सोच रहे हैं, तो आपके द्वारा बनाए गए लीनियर ऑपरेटर के वर्णक्रमीय गुण आपके आधार के रूप में चुने गए बहुपद पर निर्भर करेंगे। यह पुनरावृत्त सॉल्वर के अभिसरण में अंतर पैदा कर सकता है। हालाँकि, रैखिक बीजगणित त्रुटि की अनुपस्थिति में, आपको दोनों ही आधारों का उपयोग करके एक ही उत्तर मिलेगा।

अंतर परिचालकों के लिए इसकी तुलना करना एक अलग कहानी है। बहुपद का उपयोग करना आपको एक निरंतर आदर्श पर त्रुटि सन्निकटन देगा। मैं परिमित अंतरों के बारे में अच्छी तरह से वाकिफ नहीं हूं, लेकिन मेरी समझ यह है कि आपको केवल उन स्थानों पर एक त्रुटि अनुमान मिलेगा, जिन्हें आप विवेक के लिए चुनते हैं। इन बिंदुओं के बीच में क्या होता है यह स्पष्ट नहीं है।

Answer 2

ODEs और PDEs के लिए सीमा मूल्य की समस्याओं को हल करने के लिए मैं बर्नस्टीन बहुपद का उपयोग करता हूं। वे काफी दिलचस्प हैं।

कन्वर्जेंस कुछ रैखिक बीवीपी के लिए घातांक था, लेकिन चेबिशेव कॉकलोकेशन, लीजेंड्रे गैलेर्किन और ताऊ की तुलना में थोड़ा धीमा।

यहां कुछ चेबीशेव वर्णक्रमीय तरीकों के साथ अभिसरण दर की तुलना करने वाला आंकड़ा है। उदाहरण की समस्या रैखिक बीवीपी है:

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

समरूप डिरिचलेट ईसा पूर्व के साथ, और सी एक स्थिर है $C=-4e/(1+e)^2$।

मैंने यह आंकड़ा फिग्सहेयर पर भी अपलोड किया है ।

यदि आप चाहें, तो आप मेरे द्वारा लिखे गए कोड को देख सकते हैं:

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

और यहाँ एक arxiv पेपर है जो मैंने बर्नस्टीन बहुपद कोलेलेशन का उपयोग करके एक वर्ग पर अण्डाकार बीवीपी को हल करने के बारे में लिखा था ।

पिछले साल उन्होंने बर्नस्टीन बहुपद का एक शताब्दी मनाया - एक और दिलचस्प तथ्य।

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शताब्दी के बारे में, रिदा टी। फारूकी, द बर्नस्टीन बहुपद आधार देखें: एक शताब्दी पूर्वव्यापी, कंप्यूटर एडेड ज्यामितीय डिजाइन , खंड 29, अंक 6, अगस्त 6, अगस्त 2012, पृष्ठ 379-419, डीओआई: 10.1016 / j.cagd.2012.03.001 ।

— lhf

यह भी दिलचस्प है: विश्वसनीय कंप्यूटिंग - विश्वसनीय कम्प्यूटिंग में बर्नस्टीन

— पॉलिनॉमिलेस

बर्नस्टीन बहुपद के उपयोग के लिए कुछ सिद्धांत है एक महाधमनी विधि। जब आप कई स्पैन (तत्वों) पर जाते हैं तो आपको कम से कम उपयोग करने की आवश्यकता होती है$C^1$बी splines। देखें ISOGEOMETRIC मोरचा तरीके एफ AURICCHIO, एल BEIRÃO da Veiga, Tjr ह्यूजेस, ए REALI, और जी SANGALLI, गणितीय मॉडल और एप्लाइड साइंसेज 2010 20:11 में तरीके, 2075-2107

— नाथन कोलियर

Answer 3

नीचे दिए गए कागज से पता चलता है कि बर्नस्टीन के रूप में बहुपद का प्रतिनिधित्व कई मामलों में संख्यात्मक रूप से स्थिर एल्गोरिदम की ओर जाता है:

आरटी फारूकी, वीटी राजन, बर्नस्टीन रूप में बहुपद की संख्यात्मक स्थिति पर, कंप्यूटर एडेड जियोमेट्रिक डिज़ाइन , खंड 4, अंक 3, नवंबर 3, 1987, पृष्ठ 191-216, डीओआई: 10.1016 / 0167-8396 (87) 90012-4

Answer 4

एक बेज़ियर वक्र के नियंत्रण बिंदु वक्र के करीब हैं, लेकिन आवश्यक रूप से वक्र पर नहीं। बर्नस्टीन बहुपद द्वारा सन्निकटन के लिए यह बिल्कुल वैसी ही स्थिति है, और वास्तव में बर्नस्टीन बहुपद बेज़ियर वक्र के लिए आधार हैं। आप एक उच्च आदेश Bézier वक्र का उपयोग शोर बिंदुओं द्वारा दिए गए वक्र के माध्यम से एक चिकनी रेखा खींचने के लिए कर सकते हैं, यह भी उच्च कम्प्यूटेशनल प्रयास के कारण कोई भी ऐसा नहीं करेगा। वास्तव में, उच्च क्रम बहुपद प्रक्षेप केवल उस कारण के लिए शायद ही कभी उपयोग किया जाता है, केवल चेब्शेव प्रक्षेप कभी-कभी उस नियम से अपवाद होता है।

लेकिन अगर हम केवल कम क्रम बहुपद प्रक्षेप के बारे में बात कर रहे हैं, तो नियंत्रण बिंदुओं के माध्यम से एक बेज़ियर वक्र का सहज ज्ञान युक्त विनिर्देश अन्य तरीकों पर एक स्पष्ट लाभ है। हालाँकि, इस संबंध में NURBS और भी बेहतर हैं, लेकिन कम से कम एक Bézier वक्र NURBS का एक विशेष मामला है, और बर्नस्टीन बहुपद भी NURBS के लिए एक महत्वपूर्ण घटक हैं।