मुझे इस बारे में मल्टीग्रिड विधि या कुछ साहित्य की सरल व्याख्या की आवश्यकता है।
मैं BiCGStab, CG, GS, Jacobi और preonditioning सहित पुनरावृत्त तरीकों से परिचित हूं, लेकिन मैं मल्टीग्रिड विधि के साथ शुरुआत कर रहा हूं।
क्या कोई इसे विस्तार से बता सकता है या कम से कम स्पष्ट रूप से स्यूडकोड या स्रोत कोड प्रदान कर सकता है, यहां तक कि बहुत शुरुआती लोगों के लिए अच्छा साहित्य भी? धन्यवाद!
जवाबों:
मल्टीग्रिड के पीछे मुख्य विचार प्रक्षेपण है। मैं इसके बारे में सोचने की कोशिश करता हूं:
मान लीजिए कि मैं बहुत सटीकता के साथ पीडीई को हल करना चाहता हूं, इसलिए मैं बहुत सारे और बहुत सारे बिंदुओं के साथ एक बहुत ही महीन ग्रिड पर डोमेन (चलो कहना है, परिमित अंतर विधि का उपयोग करके) को विवेक के लिए आगे बढ़ाता हूं। अंत में, मैंने अपने समीकरणों के सिस्टम को सेट किया और मैं इसे हल करने के लिए तैयार हूं। मैं अपने पसंदीदा पुनरावृत्त सॉल्वर (जैकोबी, गॉस सेडेल, संयुग्म ढाल, आदि ...) का उपयोग करने की कोशिश करता हूं। मैं एक दिन से अधिक इंतजार करने के लिए आगे बढ़ता हूं और महसूस करता हूं कि मेरा कंप्यूटर अभी भी उत्तर की गणना करने की कोशिश कर रहा है !!!
जब आप इस तरह से समीकरणों की एक बड़ी प्रणाली सेटअप करते हैं, तो यह (आमतौर पर) जल्दी से काम नहीं कर रहा है, इसका कारण यह है कि मैट्रिक्स में स्वयं eigenvalues बेहद करीब हैं। 1. यह क्यों होता है? क्योंकि कई पुनरावृत्त तरीकों के अभिसरण की दर सबसे बड़े स्वदेशी से संबंधित है (ब्रिगेड के मल्टीग्रिड ट्यूटोरियल स्लाइड्स में ईसाई क्लैसन का लिंक, भाग 1, पृष्ठ 27 देखें)। तो, सबसे बड़ा eigenvalue करीब 1 है, धीमे चलने का तरीका है। (नोट: यह चीजों को थोड़ा बढ़ा रहा है, लेकिन यह मल्टीग्रिड की आवश्यकता को प्रेरित करने में मदद करता है)।
जाहिर है, यह समस्या को हल करने के लिए हमेशा तेज होता है अगर कम अज्ञात हैं (यानी कम ग्रिडपॉइंट के साथ मोटे ग्रिड पर)। लेकिन इससे भी महत्वपूर्ण बात, एक महीन ग्रिड पर समस्या को हल करने के लिए एक मोटे ग्रिड पर समाधान (या अनुमानित समाधान) एक अच्छा प्रारंभिक बिंदु है। यह (यदि सभी नहीं) बहुविध तरीकों के पीछे महत्वपूर्ण विचार है। यह एक केस क्यों है? सहज रूप से, यह समझ में आता है, लेकिन इसे सही ठहराने का गणितीय रूप से कठोर तरीका है।
आइए त्रुटि के फूरियर मोड को एक पुनरावृत्त विधि (तर्कों के लिए, मान लें कि जैकोबी या गॉस सेडेल) को मूल ठीक ग्रिड समस्या पर लागू किया जाता है। हम देखेंगे कि पहले कुछ पुनरावृत्तियों के भीतर, उच्च आवृत्ति (अत्यधिक दोलन) की अधिकांश त्रुटियां दूर हो जाती हैं! यह बहुत अच्छा है, लेकिन कम आवृत्ति (कम ऑसिलेटरी) त्रुटि है जो अभी भी बनी हुई है और जल्दी से दूर नहीं जाती है। वास्तव में, यह कम आवृत्ति त्रुटि है जो एक मानक पुनरावृत्ति विधि को जल्दी से परिवर्तित करने से रोकता है।
जब हम एक मोटे ग्रिड पर समस्या का समाधान करते हैं (मान लें कि जैकोबी या गॉस-सीडेल जैसी एक पुनरावृत्ति विधि द्वारा), हम अनिवार्य रूप से ठीक ग्रिड पर की तुलना में कम आवृत्ति त्रुटियों को बहुत जल्दी (यानी कम पुनरावृत्तियों में) हटाने में सक्षम हैं । इसलिए, यदि हम एक मोटे ग्रिड की समस्या को हल करते हैं, तो हमारे पास एक समाधान है जिसकी कम आवृत्ति त्रुटियां काफी कम हो गई हैं। इस प्रकार, यह महीन ग्रिड पर पुनरावृत्त विधि के लिए एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में उपयोगी होगा।
हालांकि, विभिन्न मल्टीग्रिड विधियां हैं, उनमें से अधिकांश निम्नलिखित भिन्नता से संचालित होती हैं:
मेरे लिए, मल्टीग्रिड विधि का सबसे कठिन हिस्सा ग्रिड के बीच का अनुमान है। @ChristianClason द्वारा सुझाए गए ब्रिग्स ट्यूटोरियल इस विषय को जितना मैं कर सकता हूं, उससे बेहतर तरीके से संभालता हूं।
यह साइट संभवतः pududocode के साथ विस्तृत विवरण पूछने के लिए एक अच्छी जगह नहीं है (जैसा कि FAQ में कहा गया है , "यदि आप एक पूरी पुस्तक की कल्पना कर सकते हैं जो आपके प्रश्न का उत्तर दे रही है, तो आप बहुत अधिक पूछ रहे हैं।"), इसलिए आप चाहते हो सकते हैं। इस विषय पर शास्त्रीय पुस्तकों में से एक के साथ शुरू करने के लिए (नीचे सूचीबद्ध) और उन ठोस विवरणों के बारे में विशिष्ट प्रश्नों के साथ वापस आएं जिनसे आपको परेशानी है।
ब्रिग्स, मल्टीग्रिड ट्यूटोरियल , एसआईएएम, 2000 (आप यहां और यहां स्लाइड डाउनलोड कर सकते हैं ) यह एक आकस्मिक स्रोत है, जो बहुधा सिद्धांतों के लिए एक सौम्य परिचय प्रदान करता है, ज्यादातर अण्डाकार समस्याओं के लिए।
ब्रांट, मल्टीग्रिड तकनीक , संशोधित संस्करण, सियाम 2011 , (या पीडीएफ डाउनलोड करें )। यह मल्टीग्रिड दर्शन और मल्टीस्केल मॉडलिंग का एक शानदार विकास है और निहित सॉल्वरों के बारे में आपके सोचने के तरीके को गहराई से बदलने का एक अच्छा मौका है। Achi Brandt की वेबसाइट में कई और संदर्भ शामिल हैं, जिसमें उनके 2000 की समीक्षा मल्टीस्कैल साइंटिफिक कम्प्यूटेशन शामिल हैं ।
Trottenberg, Oosterlee, और Schueller, multigrid , शैक्षिक प्रेस, 2001 यह और अधिक विशेष रूप से तरल गतिकी के संदर्भ में ब्रांट से उदाहरण काम किया है, कई प्रयोगों और विशिष्ट विधियों पर विवरण भी शामिल है।
Hackbusch, Multigrid Methods and Applications , Springer, 1985 यह एक कठोर अभिसरण सिद्धांत प्रदान करता है, जिसमें फ्रेडहोम इंटीग्रल ऑपरेटर्स के लिए "दूसरी तरह का मल्टीग्रिड" भी शामिल है।