निर्धारक गिना जा रहा है को सुलझाने, जबकि

11

मैं संयुग्म ढाल (CG) विधि का उपयोग कर एक विशाल विरल धनात्मक निश्चित मैट्रिक्स लिए को हल कर रहा हूं । समाधान के दौरान उत्पादित जानकारी का उपयोग करके के निर्धारक की गणना करना संभव है ? $Ax=b$ $A$ $A$

— मैनुअल श्मिड्ट
स्रोत

आप निर्धारक की गणना क्यों करना चाहेंगे? इस तरह का परिणाम निश्चित रूप से या तो एक बड़ी मैट्रिक्स के लिए एक अंडरफ़्लो या अतिप्रवाह होगा। मैं और अधिक धर्मार्थ हो सकता था आपने शर्त संख्या की गणना करने के लिए कहा था, लेकिन निर्धारक पर अपना समय बर्बाद न करें!

आप शायद पहले से ही जानते हैं, लेकिन संयुग्म ढाल प्रक्रिया के दौरान रिट्ज मूल्य मैट्रिक्स के आइगेनवेल्यूज में परिवर्तित हो जाते हैं, और आप इस से निर्धारक के लिए सरल अनुमान प्राप्त कर सकते हैं।

— शुहालो

10

एक विरल मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करना आम तौर पर एक प्रत्यक्ष समाधान के रूप में महंगा है, और मुझे संदेह है कि सीजी इसे कंप्यूटिंग में बहुत मदद करेगा। पुनरावृत्तियों के लिए CG को चलाना संभव होगा (जहां , ) है, ताकि के संपूर्ण स्पेक्ट्रम की जानकारी उत्पन्न हो सके और फिर निर्धारक को eigenvalues के उत्पाद के रूप में गणना की जा सके, लेकिन यह केवल बहुत धीमा होगा। संख्यात्मक रूप से अस्थिर। $n$ $A$ $n \times n$ $A$

अपने मैट्रिक्स के विरल-प्रत्यक्ष चोल्स्की कारक की गणना करना एक बेहतर विचार होगा, , जहां लोअर-त्रिकोणीय है। फिर जहां केवल त्रिभुजाकार मैट्रिक्स के eigenvalues के बाद से तिरछे मैट्रिक्स मैट्रिक्स के विकर्ण प्रविष्टियों का उत्पाद है । $A = L L^H$ $L$

det (A) = det (L) det (L^{H}) = | det (L) |^{2},

$\text{det}(A) = \text{det}(L) \text{det}(L^H) = |\text{det}(L)|^2,$

det (L)

$\text{det}(L)$

L

$L$

एक सामान्य गैर विलक्षण मैट्रिक्स के मामले में, एक पिवट किए LU अपघटन इस्तेमाल किया जाना चाहिए, का कहना है कि , जहां क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है, ताकि चूँकि एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है, , और, कंस्ट्रक्शन द्वारा, $PA=LU$ $P$

det (A) = det (P^{- 1}) \cdot det (L) \cdot det (U) .

$\text{det}(A) = \text{det}(P^{-1}) \cdot \text{det}(L) \cdot \text{det}(U).$

P

$P$

det (P) = \pm 1

$\text{det}(P)=\pm 1$

L

$L$ आम तौर पर सभी लोगों का एक विकर्ण होगा, जिसका अर्थ है कि

। आप कर सकते हैं इस प्रकार गणना

के रूप में

और फिर से स्वीकार करते हैं कि एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स के निर्धारक बस अपने विकर्ण प्रविष्टियों का उत्पाद है। इस प्रकार, निर्धारक की गणना की लागत अनिवार्य रूप से केवल एक कारक के रूप में होती है।

det (L) = 1

$\text{det}(L)=1$

det (A)

$\text{det}(A)$

\pm det (U)

$\pm \text{det}(U)$

— जैक पॉल्सन
स्रोत

यदि मैट्रिक्स छोटा है, तो यह संभावनाओं में से एक होगा (हालांकि मैं चोल्स्की फैक्टराइजेशन का उपयोग करूंगा), हालांकि

का आकार ~

और इसलिए यह अपघटन करना संभव नहीं है

A

$A$

10^{6} x 10^{6}

$10^6 x 10^6$

— मैनुअल श्मिड्ट

@ManuelSchmidt परिमित-तत्व प्रकार के विवेक से उत्पन्न उस आकार के विरल मैट्रिक्स को आमतौर पर आसानी से (उदाहरण के लिए) बहुप्रचलित तरीकों से फैक्टर किया जा सकता है। मैं इस बात से सहमत हूं कि यदि आपका मैट्रिक्स एचपीडी है (और मेरे उपरोक्त तर्क का सामान्यीकरण स्पष्ट है) तो चोल्स्की फैक्टराइजेशन का उपयोग किया जाना चाहिए।

— जैक पॉल्सन

आपके तेज़ उत्तर और उत्तर के लिए धन्यवाद। दुर्भाग्य से मैट्रिक्स में कोई स्पेज़ियल संरचना नहीं है (जो एक आसान फैक्टराइज़ेशन की अनुमति देगा)।

— मैनुअल श्मिड्ट

2

मुझे इस बात की उत्सुकता है कि आपको मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता क्यों है। क्या उच्चतम और निम्नतम आइगेनवैल्यू पर्याप्त नहीं हैं?

— जैक पॉल्सन

यह एक जटिल संभाव्यता वितरण समारोह का हिस्सा है और न केवल एक सामान्यीकरण स्थिरांक है। मैं जानता हूं कि वितरणों को फैक्टर किया जा सकता है (और इस समय हम जो कर रहे हैं), लेकिन हमारे पास मॉडल के लिए टन डेटा है और प्रत्येक कारक विशाल हो जाते हैं।

— मैनुअल श्मिट

6

$A$ $B$ $\textrm{dim}A \ll \textrm{dim} B$ $\textrm{dim}B=\infty$

$B$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\textrm{det}A$ $\textrm{det}B$ $A$ $B$

det A = \prod_{j = 1 \dots dim A} λ_{i} (A) \approx \prod_{j = 1 \dots dim A} λ_{i} (B) \prod_{j = dim A + 1 \dots dim B} λ_{i} (B)

$\textrm{det}A = \prod_{j=1\ldots \textrm{dim}A} \lambda_i(A) \approx \prod_{j=1\ldots \textrm{dim}A} \lambda_i(B) \prod_{j=\textrm{dim}A+1\ldots \textrm{dim}B} \lambda_i(B)$

B

$B$

A

$A$

dim B = \infty

$\textrm{dim}B=\infty$

det A

$\textrm{det}A$

det B

$\textrm{det}B$

— वोल्फगैंग बंगर्थ
स्रोत

यह पता चला है कि हमारे कुछ सही मायने में सुंदर और व्यावहारिक एल्गोरिदम हैं, जिसमें बड़े आकार के निर्धारकों की गणना शामिल है। की जाँच करें www-m3.ma.tum.de/foswiki/pub/M3/Allgemeines/...

— मैट Knepley

2

निर्धारक क्यों और कैसे होते हैं (फिर से) प्राप्त किए बिना, मान लेते हैं कि आपका ऑपरेटर या तो आसानी से कारक नहीं है या बस मैट्रिक्स के रूप में उपलब्ध नहीं है और आपको वास्तव में इसके निर्धारक का अनुमान लगाने की आवश्यकता है।

$A$ $A$

आप शायद रिवर्स-इंजीनियर हो सकते हैं कि पुस्तक के खंड 6.7.3 का बारीकी से पालन करके सीजी के मानक कार्यान्वयन के बारे में निर्धारक का यह अनुमान कैसे आता है।

— डोमिनिक
स्रोत

2

d e t (A) = \prod_{i = 1}^{n} α_{k}^{- 1},

$det(A) = \prod_{i = 1}^n \alpha_k^{-1},$

α_{k} = \frac{r_{k}^{T} r_{k}}{p_{k}^{T} A p_{k}}

$\alpha_k = \cfrac{r_k^Tr_k}{p_k^TAp_k}$

r_{k} \neq 0 \forall k = 1, \dots, n

$r_k \ne 0 \;\,\forall k=1, \ldots, n$

R

$R$

r_{k}

$r_k$

P

$P$

p_{k}

$p_k$

p_{k} = - r_{k} + \sum_{i = 1}^{k - 1} γ_{i} r_{i} .

$p_k = -r_k + \sum_{i=1}^{k-1}\gamma_i r_i.$

d e t (P) = (- 1)^{n} d e t (R)

$det(P) = (-1)^n det(R)$

r_{k}

$r_k$

p_{k}

$p_k$

A

$A$

\prod_{k = 1}^{n} α_{k} = \prod_{k = 1}^{n} \frac{r_{k}^{T} r_{k}}{p_{k}^{T} A p_{k}} = \frac{d e t (R^{T} R)}{d e t (P^{T} A P)} = \frac{d e t (R^{T} R)}{d e t (A) d e t (P^{T} P)} = (d e t (A))^{- 1} .

$\prod_{k = 1}^n \alpha_k = \prod_{k = 1}^n \frac{r_k^T r_k}{p_k^TAp_k} = \frac{det(R^TR)}{det(P^TAP)} = \frac{det(R^TR)}{det(A)det(P^TP)}= (det(A))^{-1}.$

— Yermek
स्रोत