पीडीई बहाव-प्रसार और संबंधित मॉडल के लिए हल करता है

मैं बुनियादी उद्देश्यों के लिए बुनियादी अर्धचालक मॉडल को अनुकरण करने की कोशिश कर रहा हूं - बहाव-प्रसार मॉडल से शुरू। हालाँकि मैं एक ऑफ-द-शेल्फ सेमीकंडक्टर सिम्युलेटर का उपयोग नहीं करना चाहता - मैं अन्य (सामान्य, हाल या अस्पष्ट) मॉडल सीख रहा हूं, मैं ऑफ-द-शेल्फ पीडीई सॉल्वर का उपयोग करना चाहता हूं।

लेकिन यहां तक कि सरल 1D मामले के लिए, बहाव-प्रसार मॉडल में कई युग्मित nonlinear PDEs शामिल हैं:

वर्तमान घनत्व समीकरण

{जे}_{n} = क्ष n (एक्स) μ_{n} इ (एक्स) + क्ष {डी}_{n} \nabla n

$J_n = q n(x) \mu_n E(x) + qD_n \nabla n$

{जे}_{पी} = क्ष पी (एक्स) μ_{पी} इ (एक्स) + क्ष {डी}_{पी} \nabla पी

$J_p = q p(x) \mu_p E(x) + qD_p \nabla p$

निरंतरता समीकरण

\frac{\partial n}{\partial टी} = \frac{1}{क्ष} \nabla \cdot {जे}_{n} + {यू}_{n}

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_n + U_n$

\frac{\partial पी}{\partial टी} = \frac{1}{क्ष} \nabla \cdot {जे}_{पी} + {यू}_{पी}

$\frac{\partial{p}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_p + U_p$

पॉइसन समीकरण

\nabla \cdot (ε \nabla वी) = - (पी - n + {एन}_{डी}^{+} - {एन}_{ए}^{-})

$\nabla \cdot (\epsilon \nabla V) = -(p - n + N_D^+ - N_A^-)$

और कई सीमा की स्थिति।

मैंने कुछ अजगर FEM सॉल्वर्स , FEniCS / डॉल्फिन और SfePy की कोशिश की है , लेकिन कोई भाग्य के साथ, उन्हें परीक्षण कार्यों के साथ कमजोर रूप में तैयार करने में असमर्थ होने के कारण।

बेशक स्क्रैच से संख्यात्मक समाधान को लागू करने का विकल्प है, लेकिन मैंने अभी तक FEM / न्यूमेरिकल का गहराई से अध्ययन नहीं किया है, इसलिए मुझे आशा है कि यह मेरा एकमात्र विकल्प नहीं है क्योंकि मैं संख्यात्मक मुद्दों से अभिभूत नहीं होना चाहता।

तो क्या कोई पैकेज (पूर्व खुला स्रोत) है जो इन समीकरणों को उस रूप में ले जाएगा, और उन्हें हल करेगा? या शायद औजारों के लिए आवश्यक रूपांतर उतना कठिन नहीं है? किसी भी मामले में, मेरे विकल्प क्या हैं?

धन्यवाद

संपादित करें: FEniCS / डॉल्फिन या SfePy के लिए कमजोर परिवर्तनशील रूप तैयार करने का प्रयास

तीन पीडीई (पोइसन + जे के साथ दो निरंतरता समीकरणों का उपयोग करके), हम वी, एन, और पी की तलाश कर रहे हैं। समीकरण (परीक्षण फ़ंक्शन का उपयोग करके ) सीधे आगे है। हालांकि, मुझे निरंतरता समीकरणों के साथ कठिनाई हो रही है। $u_V$

दूसरा पीडीई (मजबूत रूप) जहां स्थिरांक हैं, स्केलर फ़ंक्शंस हैं

\frac{\partial n}{\partial टी} = \nabla \cdot ({सी}_{1} n \nabla वी + {सी}_{2} \nabla n) + यू

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \nabla \cdot (C_1 n \nabla V +C_2\nabla n) + U$

C_{1}, C_{2}

$C_1, C_2$

U, n, p, V

$U, n, p, V$

बता दें कि दूसरी पीडीई के लिए एक परीक्षण फ़ंक्शन को दर्शाता है। फिर $f_n$

\int_{Ω} च_{n} \frac{n - n_{1}}{Δ टी} घ Ω - {सी}_{1} \int_{Ω} च_{n} \nabla \cdot (n \nabla वी) घ Ω - {सी}_{2} \int_{Ω} च_{n} \nabla^{2} n घ Ω - \int_{Ω} च_{n} यू घ Ω

$\int_{\Omega}f_n\frac{n - n_1}{\Delta t}d\Omega - C_1 \int_{\Omega}f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega - C_2 \int_{\Omega}f_n \nabla^2 n d\Omega - \int_{\Omega}f_n U d\Omega$

विशेष रूप से चिंता का विषय है:

{सी}_{1} \int_{Ω} च_{n} \nabla \cdot (n \nabla वी) घ Ω

$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega$

लेकिन एक वेक्टर है, और स्केलर हैं। फिर पहचान $\mathbf{\nabla V}$ $V, u_n, n$ $\nabla \cdot \phi \mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla \phi} + \phi \nabla \cdot \mathbf{A}$

{सी}_{1} \int_{Ω} च_{n} \nabla \cdot (n \nabla वी) घ Ω = {सी}_{1} \int_{Ω} च_{n} (\nabla वी \cdot \nabla n) + {सी}_{1} \int_{Ω} च_{n} n \nabla \cdot \nabla वी

$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega = C_1 \int_{\Omega} f_n (\nabla V \cdot \nabla n) + C_1 \int_{\Omega} f_n n \nabla \cdot \nabla V$

चूंकि वी पॉसों समीकरण द्वारा हल किया गया है, क्या हम हाल ही में गणना किए गए मूल्य का उपयोग सॉफ्टवेयर डॉल्फिन / एफईएनएनसीएस में अनुमति दे सकते हैं और सरल कर सकते हैं कि हम इस दूसरे युग्मित समीकरण में वी का इलाज कैसे करते हैं? इस प्रकार की तकनीकें विवेकशील होते हुए काम करती हैं (जैसे गममेल, ...), जो मैं इन तैयार सॉल्वरों में नहीं करता हूँ!

इसके अलावा सीमा की स्थिति के संदर्भ में दिया जाता है नहीं , तो आप इस प्रयोग कैसे करूं? क्या मुझे पांच चर लिए हल करना चाहिए , भले ही V और n द्वारा निर्धारित किया गया हो? $J_n$ $n$ $J_n, J_p, n, p, V$ $J_n$

pde

— Weaam
स्रोत

आप उनके कमजोर रूपों को क्यों नहीं लिख सकते?

— बिल बर्थ

@BillBarth मैंने अपना प्रश्न संपादित किया है, कृपया देखें। धन्यवाद।

— बुनम

भागों द्वारा आपका एकीकरण गलत है। सूत्र की जांच करें, संकेत गायब हैं, आपके पास बाईं ओर की तुलना में दाईं ओर अधिक डेरिवेटिव हैं, और आप सीमा अभिन्न के बारे में भूल गए।

— वोल्फगैंग बैंगर्थ

इसके अलावा, क्या आप द्वारा गुणन का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक डॉट उत्पाद का उपयोग कर रहे हैं ? यह एक अदिश राशि है, है ना?

u_{n}

$u_n$

— बिल बैर्थ

हां, मुझे अधिक सावधान रहना चाहिए था। कृपया मेरे संपादन की जांच करें, विशेष रूप से मेरा प्रश्न कि हम वी का इलाज कैसे करते हैं क्योंकि इसे पहले से ही पहले से ही हल किया जाना चाहिए था। क्या इसका वैचारिक रूप पर कोई प्रभाव पड़ता है? धन्यवाद।

— वीएएम

Scharfetter-Gummel (SG) सूत्रीकरण का उपयोग आमतौर पर वर्तमान घनत्व समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। यह एक विशेष सूत्रीकरण है जो संभावित और वर्तमान घनत्व के बीच गैर-निर्भरता को हल करने में कठिनाइयों पर काबू पाता है।

एक मानक पाठ इस बात पर चर्चा कर रहा है कि बॉक्स एकीकरण विधियों का उपयोग करके ये समीकरण इस पुस्तक में कैसे हैं: सेलेब्रहेर, एस।, विश्लेषण और अर्धचालक उपकरणों का अनुकरण। स्प्रिंगर-वर्लग 1984

इस प्रकार के सिमुलेशन को टेक्नोलॉजी कंप्यूटर एडेड डिजाइन (टीसीएडी) कहा जाता है। जैसा कि परिमित तत्व विधि (FEM) का विरोध किया जाता है, Finite Volume Method (FVM) का उपयोग धाराओं की गणना के लिए किया जाता है। यह तब से है जब यह एसजी फॉर्मूलेशन में फिट बैठता है जिसे वर्तमान घनत्व समीकरणों को हल करने के लिए काम करने के लिए (इस पद्धति के चिकित्सकों द्वारा) दिखाया गया है।

यदि आप सामान्यीकृत पीडीई का उपयोग करके इसे हल करना चाहते हैं, तो COMSOL में एक सेमीकंडक्टर मॉड्यूल है जो हाइब्रिड FEM / FVM विधि का उपयोग करके इस समस्या को हल करता है।

इसके अलावा, वाणिज्यिक और खुले स्रोत टीसीएडी सिमुलेटर यहां सूचीबद्ध हैं: http://www.tcadcentral.com

मेरी जानकारी के लिए सामान्यीकृत-पीडीई टीसीएड सॉल्वर डीईवीआईएसआईएम, फ्लोपीएस, प्रॉफेट हैं। कमर्शियल टूल में ज्यादातर शारीरिक समीकरण होते हैं, जिन्हें C ++ जैसी संकलित भाषा में हार्ड कोडित किया जाता है।

— जुआन
स्रोत

मैं बहुत देर से जवाब के लिए माफी माँगता हूँ। मुझे एहसास हुआ कि डीडी के इस तरह के प्रत्यक्ष आवेदन (एसजी के साथ भी) काफी अस्थिर थे (कम से कम फेनिक्स में मेरा कार्यान्वयन), इस प्रकार मैंने इसे छोड़ दिया। बाद में वीएलएसआई कोर्स में, मैंने वास्तव में कॉमसोल और टीसीएडी टूल्स का इस्तेमाल किया। आपके व्यापक उत्तर के लिए धन्यवाद।

— बुनम