प्रत्यक्ष तरीकों का उपयोग करते समय बीमार कंडीशनिंग के लक्षण क्या हैं?

मान लीजिए कि हमारे पास एक रैखिक प्रणाली है और हम इसके कंडीशनिंग के बारे में कुछ नहीं जानते हैं और समाधान के बारे में कोई प्रारंभिक जानकारी नहीं है। हम नेत्रहीन रूप से गाऊसी उन्मूलन लागू करते हैं और कुछ समाधान प्राप्त करते हैं । क्या यह निर्धारित करना संभव है कि क्या यह समाधान भरोसेमंद है (यानी कि सिस्टम अच्छी तरह से वातानुकूलित है) मैट्रिक्स के पूरी तरह से प्रारंभिक विश्लेषण के बिना ? क्या पिवोट्स का परिमाण विश्वसनीय जानकारी देता है? $x$

और आमतौर पर, "मक्खी पर" बीमार कंडीशनिंग का पता लगाने के लिए मुख्य दिशानिर्देश क्या हैं?

linear-solver condition-number conditioning

— faleichik
स्रोत

जवाबों:

मैट्रिक्स कब बीमार होता है ? यह उस समाधान की सटीकता पर निर्भर करता है जिसे आप खोज रहे हैं, जितना कि "सुंदरता देखने वाले की आंखों में है" ...

हो सकता है कि आपका प्रश्न बेहतर रीफ़्रेश हो जाए क्योंकि फैक्टराइज़ेशन के आधार पर सस्ते और मजबूत स्थिति के अनुमान लगाने वाले हैं ? $LU$

मान लें कि आप वास्तविक सामान्य (घने, गैर सममित) समस्या में दोहरी सटीक अंकगणित में रुचि रखते हैं मैं आपको LAPACK विशेषज्ञ सॉल्वर DGESVX का उपयोग करने का सुझाव दूंगा जो इसके पारस्परिक, के रूप में एक शर्त का अनुमान प्रदान करता है। । एक बोनस के रूप में आपके पास समीकरण समीकरण / संतुलन, पुनरावृत्ति शोधन, आगे और पिछड़े त्रुटि घाव जैसे अन्य उपहार भी हैं। वैसे, पैथोलॉजिकल इल कंडीशनिंग ( ) एक त्रुटि के रूप में संकेतित है । $\text{RCOND}\approx 1/\kappa(A)$ $\kappa(A) > 1/\epsilon$ INFO>0

अधिक विस्तार में जाने पर, LAPACK ने 1-मानदंड (या -norm) में स्थिति संख्या का अनुमान लगाया है यदि आप DGECON के माध्यम से हल कर रहे हैं । अंतर्निहित एल्गोरिथ्म को लॉन 36 में वर्णित किया गया है: "रोबस्ट त्रिकोणीय सॉल्वेस फॉर यूज़ इन कंडीशन एस्टीमेशन" । $\infty$ $A^T x = b$

मुझे यह स्वीकार करना होगा कि मैं इस क्षेत्र का विशेषज्ञ नहीं हूं, लेकिन मेरा दर्शन है: "यदि यह LAPACK के लिए पर्याप्त है, तो यह मेरे लिए है"।

— स्टेफानो एम
स्रोत

1 मानक के मैट्रिक्स के साथ समीकरणों की एक बीमार-वातानुकूलित प्रणाली का समाधान, मानक 1 के एक यादृच्छिक दाहिने हाथ की तरफ उच्च संभावना के साथ शर्त संख्या के क्रम का एक मानक होगा। इस प्रकार कुछ ऐसे समाधानों की गणना आपको बताएगी कि क्या चल रहा है।

— अर्नोल्ड न्यूमैयर
स्रोत

यह वास्तव में डीजीईसीओएन क्या कर रहा है, परिणाम को अधिकतम करने के लिए खोज की दिशा को पुनरावृत्त करने के लिए पुनरावृति की गयी चालाकी के साथ और एक कस्टम त्रिकोणीय सॉल्वर (बीएलएएस वाले नहीं) का उपयोग करने के लिए, ताकि अंदाजे में त्रुटि न हो। इसलिए DGECON की कम्प्यूटेशनल लागत आपके सरल परीक्षण के लिए तुलनीय है। मैट्रिक्स के मानदंडों और शर्त संख्या के सरल अर्थ को याद रखने के लिए +1। यह पता लगाना दिलचस्प होना चाहिए कि क्या DGECON वास्तव में एक साधारण यादृच्छिक जांच से अधिक मजबूत है।

— स्टेफानो एम

A x = b

$Ax=b$

A x

$Ax$

A x = b

$Ax=b$

A

$A$

‖ A ‖ = 1

$\| A \| = 1$

κ (A) = ‖ A ‖ \cdot ‖ A^{- 1} ‖ = ‖ A^{- 1} ‖

$\kappa(A) = \| A \| \cdot \| A^{-1} \| = \| A^{-1} \|$

A

$A$

A x

$Ax$

‖ A ‖

$\| A \|$

‖ A^{- 1} ‖

$\| A^{-1} \|$

यह बताने के लिए लगभग असंभव है कि क्या आपका सिस्टम सिर्फ एक परिणाम से बीमार है। जब तक आप अपने सिस्टम के व्यवहार में कुछ दूरदर्शिता नहीं रखते हैं (यानी पता है कि समाधान क्या होना चाहिए), तो आप एक समाधान से बहुत कुछ नहीं कह सकते हैं।

यह कहने के बाद, यदि आप एक ही साथ एक से अधिक सिस्टम को हल करते हैं, तो आप अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं । मान लीजिए कि आपके पास फॉर्म की एक प्रणाली है । एक विशिष्ट A के लिए जिसे आपको इसकी कंडीशनिंग के बारे में कोई पूर्व ज्ञान नहीं है, आप निम्नलिखित परीक्षण कर सकते हैं: $A$ $Ax=b$

विशिष्ट दाहिने हाथ की ओर वेक्टर लिए को हल करें । $Ax=b$ $b$
जहाँ द्वारा अपने दाहिने हाथ की सदिशकी तुलना में बहुत छोटा है। $b_{new}=b+\mathbf{\varepsilon}$ $||\mathbf{\epsilon}||$ $||b||$
हल करें । $Ax_{new}=b_{new}$
यदि आपकी प्रणाली अच्छी तरह से वातानुकूलित है, तो आपका नया समाधान आपके पुराने समाधान के काफी करीब होना चाहिए (अर्थात छोटा होना चाहिए)। यदि आप अपने नए समाधान के लिए एक नाटकीय परिवर्तन का निरीक्षण करते हैं (यानी बड़ा है), तो आपका सिस्टम संभवतः बीमार है। $||x-x_{new}||$ $||x-x_{new}||$

सिस्टम के बीमार होने के बारे में आपको बेहतर संकेत देने के लिए आपको अलग-अलग दाएं हाथ के वैक्टर के साथ कई रैखिक प्रणालियों को हल करने की आवश्यकता हो सकती है। बेशक, यह प्रक्रिया पहले समाधान के लिए थोड़ा महंगा ( संचालन है और प्रत्येक क्रमिक समाधान के लिए संचालन, यह मानते हुए कि आपका प्रत्यक्ष सॉल्वर अपने कारकों को बचाता है)। यदि आपका मैट्रिक्स A काफी छोटा है, तो यह कोई समस्या नहीं है। यदि यह बड़ा है, तो आप ऐसा नहीं करना चाह सकते हैं। इसके बजाय, आप हालत संख्या की गणना करने में बेहतर हो सकते हैंएक सुविधाजनक आदर्श में। $\Theta(n^3)$ $\Theta(n^2)$ $||A||\cdot||A^{-1}||$

— पॉल
स्रोत

आपका दावा सत्य से बहुत दूर है। यहां तक कि अगर घना है, के साथ एक बार कारक जा सकती है काम और उसके बाद प्रत्येक का समाधान केवल आवश्यकता है काम करते हैं।

Θ (k n^{3})

$\Theta(kn^3)$

A

$A$

A

$A$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— जैक पॉल्सन

@JackPoulson: आप बिल्कुल सही कह रहे हैं ... मुझे लगता है कि मैं इसके बारे में पूरी तरह से अवगत हूं। कोई चिंता नहीं :) मैं अपने जवाब को अपडेट कर देंगे

— पॉल

क्या कोई भी परिणामी हल के अवशिष्ट का मूल्यांकन कर सकता है? चूँकि तराजू के रूप मेंलगभग एक विलक्षण एक सार्थक अवशिष्ट दे सकता है, भले ही इसका समाधान बहुत बुरा हो।

| | A x - b | |

$||Ax - b ||$

| | A | | \cdot | | x | |

$||A||\cdot||x||$

A

$A$

— रीड.टेकसन

@ रीड.एक्टसन: वास्तव में नहीं। एक बीमार हालत के लिए अनुमानित समाधान अभी भी एक छोटे अवशिष्ट का उत्पादन कर सकता है। यह वास्तव में आपको कोई संकेत नहीं देता है कि यह सही समाधान से कितनी दूर है।

— पॉल

हो सकता है यह स्पष्ट रूप से राज्य के लिए और अधिक बुद्धिमान है सम्मान के साथ बहुत छोटा। इस क्षेत्र में सब कुछ सापेक्ष है ... अधिकांश पाठकों को पता होगा, लेकिन किसी को खतरनाक पानी में गुमराह किया जा सकता है।

‖ ε ‖

$\|\varepsilon\|$

‖ b ‖

$\|b\|$

— स्टेफानो एम