संवर्धित लैग्रैजियन के लिए कुशल पूर्ववर्ती

Question

मैं गैर-रेखीय समानता अवरोधों के साथ एक गैर-रेखीय समस्या को हल करना चाहता हूं और एक दंड नियमितीकरण शब्द के साथ संवर्धित लैग्रैजेंसी का उपयोग कर रहा हूं, जो कि ज्ञात है, मेरे रैखिक प्रणालियों की स्थिति संख्या को बिगाड़ता है (प्रत्येक न्यूटन पुनरावृत्ति अर्थ में) । पेनल्टी शब्द जितना बड़ा होगा, हालत नंबर उतना ही बुरा होगा। किसी को उस विशिष्ट मामले में इस खराब कंडीशनिंग से छुटकारा पाने का एक कुशल तरीका पता होगा?

अधिक विशिष्ट होने के लिए, मैं शास्त्रीय संवर्धित लैग्रेन्जिव का उपयोग कर रहा हूं क्योंकि मेरे पास बहुत सारी बाधाएं हैं जो आमतौर पर बेमानी हो सकती हैं। अतः आँख बंद करके प्राणिक चरों में अड़चनों को शामिल करना बहुत सुविधाजनक है। मैंने चर खत्म करने या सीधे केकेटी सिस्टम पर कुशल पूर्ववर्ती के आधार पर अन्य अधिक परिष्कृत दृष्टिकोणों की कोशिश की, लेकिन बाधाओं के कारण, मुझे कुछ परेशानियां हैं।

वेरिएबल्स के संबंध में समस्या मेरे को फॉलो करने के रूप में तैयार की गई है जैसे कि फॉर्म $\mathbf u =[u_1,\cdots,u_n]$

$$\mathcal L(\mathbf u,\lambda):= \mathcal W(\mathbf u) + \rho \lambda^T \,c(\mathbf u) + \frac{\rho}{2} c^2(\mathbf u)$$

इसलिए आम तौर पर प्रत्येक न्यूटन पुनरावृत्ति पर लक्ष्य साथ समस्या की समस्या को हल करना है (हम बाधा के हेसियन ड्रॉप) और और राजधानी का अर्थ ।

$$A \Delta u = b$$ $$A(\mathbf u,\rho): = \nabla_{\mathbf u}^2 \mathcal W(\mathbf u) + \rho C^T(\mathbf u)C(\mathbf u)$$ $$b(\mathbf u,\rho) :=- \big(\nabla_{\mathbf u}\mathcal W(\mathbf u) +(\rho +\lambda^Tc(\mathbf u)) \nabla_{\mathbf u}(\mathbf u)\big)$$ $C$$C(\mathbf u) := \nabla_{\mathbf u} c(\mathbf u)$

धन्यवाद।

Comments

नमस्ते टॉम। Scicomp में आपका स्वागत है। अपने प्रश्न का उत्तर देने में हमारी सहायता करने के लिए, क्या आप उन समीकरणों को लिख सकते हैं जिन्हें आप हल करने का प्रयास कर रहे हैं?

— पॉल

क्या आपका मतलब है ? $A\Delta u=b$

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

अरे! माफ़ करना। हां, पक्का।

— टॉम

Answer 1

समस्या संरचना पर निर्भर करते हुए, आप सीधे बीमार संवर्धित लैग्रैजियन प्रणाली को हल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, BDDC / FETI-DP, पॉइज़न अनुपात से स्वतंत्र रूप से अभिसरण दर (उप-डोमेन पर टुकड़ावार स्थिर, लेकिन मनमाने छलांग के साथ) के साथ मौलिक रूप में लगभग-अचिंतनीय लोच को हल कर सकता है। इसी तरह, बहुविधि तरीके जो वास्तव में वॉल्यूमेट्रिक मोड को पुन: उत्पन्न करते हैं, में यह गुण हो सकता है। इस तरह के तरीके समस्या-विशिष्ट हैं और सामान्य तौर पर, बड़े दंड का परिणाम उन प्रणालियों में होता है जो पूर्व शर्त के लिए मुश्किल हैं।

पूर्व-चयनकर्ता की पसंद में अधिक लचीलेपन की अनुमति देने के लिए, मैं स्पष्ट दोहरे चर पेश करने और बड़े काठी बिंदु प्रणाली को लिखने की सलाह देता हूं

$$\begin{pmatrix}A & C^T \\ C & -\rho^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix}$$

$A - \tilde\rho C^T C$$\tilde \rho \le \rho$ "अनुमानित कम्यूटेटर" तर्कों का उपयोग करते हुए। काठी बिंदु समस्याओं को हल करने के लिए तरीकों की एक बहुत ही विविध रेंज है,बेनजी, गोलूब, और लिसेन,सैडल प्वाइंट समस्याओं का संख्यात्मक समाधान(2005)एक समीक्षा के लिए देखें। यदि आप पेट्सक का उपयोग कर रहे हैं, तो उपरोक्त समीक्षा में वर्णित कई विधियों का निर्माणघटक केमाध्यम से रन-टाइम विकल्पों का उपयोग करके किया जा सकता है।$-\rho^{-1} - C A^{-1} C^T$PCFIELDSPLIT

यदि आप अपनी समस्या के स्रोत के बारे में अधिक विशिष्ट हो सकते हैं (आप क्या कम कर रहे हैं और क्या बाधा है), तो मैं अधिक विशिष्ट संदर्भों का सुझाव देने में सक्षम हो सकता हूं।

Comments

नियमित प्रणाली के लिए पूर्व शर्त मेरे लिए कुछ नए तरीके खोलते हैं! हालाँकि, मुझे उस सब को पचाने के लिए कुछ समय की आवश्यकता होगी, अगर आप बुरा नहीं मानते हैं तो मैं थोड़ी देर बाद आपके पास वापस आ सकता हूं। अपने जवाब के लिए आप दोनों को बहुत धन्यवाद।

— टॉम

Answer 2

केटी स्थिति में खराब होने वाले शब्दों के लिए अतिरिक्त चर का परिचय दें, और आप एक बड़ा सममित प्रणाली पा सकते हैं जो संख्यात्मक रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है, केवल मैट्रिक्स में प्रवेश करने वाले दंड कारक के व्युत्क्रम के साथ।

$(A+\rho C^TC)x=b~$$\rho$$y=\rho Cx$$Ax+C^Ty=b$$Cx-\rho^{-1}y=0$

Comments

$c(\mathbf u) = 0$$\mathbf u$$c(x_s,x_1,x_2)= (x_2-x_1) \mathbf n$$x_s$$\[x_1,x_2\]$

@ टोम: मेरा मतलब नॉनलाइनर प्रॉब्लम से नहीं था, लेकिन आपके साथ ख़त्म होने वाले अनचाही समीकरण हैं। कृपया नीचे लिखें (अपने प्रश्न को संपादित करके) जिस रैखिक प्रणाली को आप हल करना चाहते हैं, उसका रूप और पेनल्टी पैरामीटर कैसे प्रवेश करता है।

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

मैं यह पता लगाने की कोशिश कर रहा हूं कि अतिरिक्त-चर को शुरू करने से चाल कैसे चलेगी ... क्या आप मुझे एक संदर्भ भेज सकते हैं? आपका बहुत बहुत धन्यवाद!

— टॉम

@Tom: संपादित उत्तर देखें।

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

$\rho$$\rho^{-1} \approx 0$