निम्न रैंक संशोधन क्रायलोव विधि अभिसरण को कैसे प्रभावित करते हैं?

Question

मान लें कि मेरे पास एक रैखिक प्रणाली $A x = b$ , जो सभी लिए एक उपयुक्त क्रायलोव विधि (जैसे सीजी या जीएमआरईएस) का उपयोग करके जल्दी से परिवर्तित होती है $b$। यदि $B$ कम रैंक साथ एक मैट्रिक्स है $r$, तो सिस्टम पर एक ही क्रायलोव विधि $(A + B) x = b$ भी जल्दी से परिवर्तित हो जाएगी (आदर्श रूप से पुनरावृत्तियों की एक अतिरिक्त संख्या के साथ जो मोटे तौर पर केवल पर निर्भर करती है $r$)?

इस तरह की प्रणाली का एक उदाहरण अच्छी तरह से घनीभूत विद्युत संरचना के साथ झिल्लीदार लोच और झुकने के साथ-साथ बिना दबाव वाले हवा के दबाव की शर्तों के लिए बेहतर होगा।

ध्यान दें कि प्रश्न बिना पूर्व शर्त के समान है, क्योंकि , P A Q का $P(A + B)Q = PAQ + PBQ$रैंक $r$ संशोधन है ।$PAQ$

Answer 1

यदि आपका क्रायलोव उप-समूह शक्तियों पर आधारित है $A$, तो सुधार के अधिकांश स्थान पर अभिसरण में कई पुनरावृत्तियों में देरी होगी। यदि यह की शक्तियों पर आधारित है $A^TA$तो इस संख्या में अधिकतम दो बार।

$k$$A+USV^T$$U,V$$r$$k+r$

Comments

$A$$A+B$$A$

$A+B$

$A$

हो सकता है कि आगे की रुचि के लिए आप अपने समीकरणों (या समाधान) को कुछ आवश्यकताओं के साथ से जो यदि मदद कर सकता है nilpotent या small का मानक। समस्या के समाधान पर निर्भरता को भी पहचानता है। एक्स = ( ई + Σ ∞ कश्मीर = 1 ( ए - 1 बी ) कश्मीर ) एक - 1 ख बी ए - 1$\boldsymbol{B}$$\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{E}+\sum_{k=1}^\infty\left(\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\right)^k\right) \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{b}$$\boldsymbol{B}$$\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$undisturbed

— बैस्टियन एबेलिंग