बंद करने के लिए संख्यात्मक तरीके ODEs Rs

ODEs के संख्यात्मक समाधान के लिए कला की स्थिति क्या है? मैं ज्यादातर रुचि रखने वाले टुकड़े-दाएं-दाएँ पक्ष के कार्यों में रुचि रखता हूँ, उदाहरण के लिए।

मैं निम्नलिखित प्रकार के समीकरण को हल करने की कोशिश कर रहा हूं:

\begin{aligned} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = {\begin{cases} (| F_{external} | - | F_{friction} |) sign (F_{external}) & : | F_{external} | < | F_{friction} | \\ 0 & : अन्यथा \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} \dot x &= v\\ \dot v &= \begin{cases} (|F_\text{external}| - |F_\text{friction}|) \mathop{\rm sign} (F_\text{external}) & :|F_\text{external}| < |F_\text{friction}|\\ 0 & : \text{otherwise} \end{cases} \end{align*}$

ode

— एंड्री शेव्लाकोव
स्रोत

हाय @AndreyShevlyakov और Scicomp में आपका स्वागत है! क्या ODE का कोई विशेष वर्ग है जिसमें आप रुचि रखते हैं?

— पॉल

हाय पॉल! हां, मैं वर्तमान में एक प्रकार का स्टिक-स्लिप घर्षण मॉडल लागू करने की कोशिश कर रहा हूं।

— एंड्री शेवलीकोव

क्या आप अपने प्रश्नों को हल करना चाहते हैं? यह आपकी समस्या के लिए लागू विशेष तरीकों को कम करने में मदद करेगा।

— पॉल

मैंने पोस्ट में उदाहरण जोड़ा है

— एंड्री शेव्लाकोव

जब मैंने एसीएसएल पर काम किया, तो इसमें रूट-फाइंडर शामिल था, इसलिए आप इसे उस समय के लिए खोज सकते हैं जब वेग शून्य के बराबर हो, और फिर नए सिरे से उस बिंदु से नए सिरे से शुरू करें।

— माइक डनलैवी

जवाबों:

देखें डेविड स्टीवर्ट इस विषय, पर नया (2011) पुस्तक प्रभाव और हार्ड प्रतिबंध: के साथ गतिशीलता असमानता । विश्लेषण अध्यायों में कूलम्ब घर्षण की समस्याओं का कई बार उल्लेख किया गया है।

अध्याय 8 गैर-चिकनी ODE और DAE के लिए संख्यात्मक विधियों के लिए समर्पित है। यह ज्यादातर बकवास के विशेष उपचार के साथ पूरी तरह से निहित रन-कुटा तरीकों की वकालत करता है। नोट खंड accurately.४.४ जो बताता है कि यदि आप गैर-चिकनाई के बिंदुओं का सही-सही पता नहीं लगाते हैं, तो सभी विधियां पहले क्रम में आती हैं {गणित सटीकता अभ्यास करते हैं। इसके अलावा, अनंत आयामी असमानताओं के साथ समस्याओं का समाधान आम तौर पर आसान नहीं होता है, इसलिए सिद्धांत केवल अभिसरण प्रदान करता है, हालांकि व्यवहार में, अक्सर होता है देखे गए। $\mathcal{O}(h)$ $\mathcal{O}(h^{1/2})$ $\mathcal{O}(h)$

— जेड ब्राउन
स्रोत

बहुत धन्यवाद! क्या आप जानते हैं कि कहीं कहीं कार्यान्वयन उपलब्ध हैं?

— एंड्री शेव्ल्याकोव

ऐसा नहीं है कि मुझे पता है, लेकिन यदि आप स्थिर वैचारिक असमानताओं के लिए एक सॉल्वर हैं तो सरल योजनाओं का कार्यान्वयन बहुत कठिन नहीं होना चाहिए।

— जैड ब्राउन

सबसे महत्वपूर्ण संदर्भ मुझे पता है कि डेविड स्टीवर्ट की थीसिस, जो 20 वर्ष से अधिक पुरानी है:

डिस्चार्ज राइट राईट साइड के साथ साधारण डिफरेंशियल इक्वेशन के लिए हाई एक्यूरेसी न्यूमेरिकल मेथड

सार पहले के कई महत्वपूर्ण कामों का संदर्भ देता है। यहाँ एक खोजशब्द अंतर समावेश है ।

— डेविड केचेसन
स्रोत

$g(t, x(t)) \in \mathbb{R}$ $>0$ $<0$

उदाहरण के लिए यदि आपके पास एक ब्लॉक के साथ एक चलती द्रव्यमान है तो द्रव्यमान और ब्लॉक के बीच की दूरी को शून्य-क्रॉसिंग फ़ंक्शन के रूप में उपयोग किया जा सकता है।

कई ODE सॉल्वर (जैसे SUNDIALS CVODE) स्वचालित रूप से जांचते हैं कि किसी भी शून्य-क्रॉसिंग फ़ंक्शन ने अंतिम समय चरण के दौरान अपना संकेत बदल दिया है या नहीं। यदि यह मामला है, तो रूट का सटीक स्थान निर्धारित करने के लिए एक रूट खोज विधि का उपयोग किया जाता है। सॉल्वर को उस विशेष स्थिति में फिर से शुरू किया जा सकता है। यह या तो सॉल्वर द्वारा या कॉलिंग कोड द्वारा मैन्युअल रूप से किया जाता है।

— फ्लोरियन ब्रूकर
स्रोत

खोज उद्देश्यों के लिए: कोई "ईवेंट स्थान" भी बोल सकता है; Hairer / Nørsett / Wanner ने इसकी एक अच्छी चर्चा की है।

— JM