ODE के रैखिक प्रणाली के लिए एल्गोरिदम

Question

मुझे आश्चर्य होता है: को हल करने के लिए सबसे अच्छा एल्गोरिथ्म क्या है जहां वास्तविक मैट्रिक्स है। ए स्पष्ट रूप से समय-निर्भर नहीं है, आमतौर पर विरल लेकिन जरूरी नहीं कि बैंडेड हो। इसके आइजनवेल्स में गैर-सकारात्मक वास्तविक भाग होते हैं। A विकर्ण भी है लेकिन कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल होने के लिए पूर्ण विकर्ण के लिए बहुत बड़ा हो सकता है।

$$\begin{equation} \frac{du}{dt} = Au \end{equation}$$ $A$$n\times n$

निहित ट्रेपोज़ाइडल नियम है जो मुझे एक अच्छा अनुभव मिला है।

$$\begin{equation} \left(I-\frac{\Delta t}{2} A\right) u_{n+1} = \left(I+\frac{\Delta t}{2} A\right) u_{n} \end{equation}$$

स्पष्ट तरीकों या पेड सन्निकटन के बारे में क्या? इसके अलावा, यह कैसे बदलता है यदि एक मजबूर शब्द को आरएचएस में जोड़ा जाता है?

Comments

हमें वास्तव में A. के बारे में अधिक जानकारी की आवश्यकता है। eigenvalues ​​के स्थान के आधार पर, स्थिरता स्पष्ट या अंतर्निहित तरीकों के बीच चुनाव को प्रभावित करने वाला एक मुद्दा हो सकता है। यह भी मायने रखता है कि आप क्या आदेश पसंद करेंगे और क्या ए या समय के साथ बदलता है / यू के रूप में क्या आपको एक सख्त सॉल्वर की आवश्यकता है। एक सूचित जवाब देने के लिए वास्तव में पर्याप्त जानकारी नहीं है।

— गोड्रिक सीर

@GodricSeer धन्यवाद गॉडरिक। मैंने बारे में कुछ धारणाएँ जोड़ी हैं । $A$

— गेब्रियल लैंडी सेप

@GabrielLandi आपको एक विशिष्ट उत्तर प्राप्त करने के लिए उससे अधिक जानकारी जोड़ने की आवश्यकता होगी। कितना बड़ा है ? क्या सामान्य है? क्या वास्तविक, काल्पनिक या जटिल के स्वदेशी हैं? वे कितने बड़े (सबसे बड़े और सबसे छोटे परिमाण) हैं? $A$$A$$A$

— डेविड केचेसन

Answer 1

जैसा कि आपका मैट्रिक्स से स्वतंत्र है , परिणाम एक वेक्टर घातीय समय है जो कि सदिश वेक्टर है। रीलेवेंट विधि की मानक चर्चा http://scholar.google.at से '' उन्नीस संदिग्ध तरीके '' की खोज करके की जा सकती है ।$u$

स्केलिंग-एंड-स्क्वैरिंग एल्गोरिदम (कम से कम संदिग्ध) के लिए, http://blogs.mathworks.com/cleve/2012/07/23/a-balancing-act-for-the-matrix-exponential/ भी देखें