एक सरल पर्याप्त प्रश्न: एक बहुआयामी अभिन्न करने के लिए, यह देखते हुए कि किसी ने तय किया है कि मोंटे कार्लो विधि का कोई विकल्प उपयुक्त है, क्या कोई फायदा है कि छद्म आयामी संख्याओं का उपयोग करने वाले एक नियमित एमसी एकीकरण में एक अर्ध-मोंटे कार्लो का उपयोग किया गया है जो एक अर्धचालक क्रम का उपयोग कर रहा है ? यदि हां, तो मैं उन परिस्थितियों को कैसे पहचानूंगा जहां यह फायदा होगा? (और यदि नहीं, तो कोई भी कभी भी पुराने मोंटे कार्लो एकीकरण का उपयोग क्यों नहीं करता है?)
जवाबों:
मोंटे कार्लो सिमुलेशन इलेक्ट्रॉन बिखरने की गणना के लिए पसंद की विधि है। महत्वपूर्ण नमूने जैसे ट्रिक्स कभी-कभी उपयोग किए जाते हैं, इसलिए आप कह सकते हैं कि यह पुराना मोंटे कार्लो नहीं है। लेकिन मुख्य बिंदु शायद यह है कि एक अंतर्निहित स्टोकेस्टिक प्रक्रिया यहां नकली है, जबकि आप केवल एकीकरण के लिए मोंटे कार्लो का उपयोग करने के बारे में पूछ रहे हैं।
क्योंकि किसी और ने उत्तर देने की कोशिश नहीं की, इसलिए मुझे अपने उत्तर को थोड़ा विस्तार देने की कोशिश करें। मान लें कि हमारे पास एक इलेक्ट्रान स्कैटरिंग सिमुलेशन है, जहां बैकस्कैटरिंग गुणांक की तरह केवल एक ही संख्या की गणना की जाती है। अगर हम इसे बहुआयामी अभिन्न के रूप में सुधारेंगे, तो यह शायद एक अनंत आयामी अभिन्न अंग होगा। दूसरी ओर, एकल प्रक्षेपवक्र के अनुकरण के दौरान, केवल यादृच्छिक संख्याओं की एक परिमित संख्या की आवश्यकता होती है (यदि माध्यमिक इलेक्ट्रॉन पीढ़ी को ध्यान में रखा जाए तो यह संख्या काफी बड़ी हो सकती है)। यदि हम लैटिन हाइपरक्यूब नमूने की तरह एक अर्धचालक क्रम का उपयोग करेंगे, तो हमें एक निश्चित संख्या के आयामों के साथ एक सन्निकटन का उपयोग करना होगा, और प्रत्येक नमूना बिंदु के लिए प्रत्येक आयाम के लिए एक यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करना होगा।
इसलिए मुझे लगता है कि अंतर यह है कि किसी प्रकार के उच्च आयामी इकाई-हाइपरक्यूब का नमूना लिया जाता है, या मूल के आसपास एक अनंत आयामी संभावना बादल।
मेरे कुछ शोधों में बड़े पैमाने पर स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरणों को हल करना शामिल है। जो मामले में, ब्याज की अभिन्नता के पारंपरिक मोंटे कार्लो का सन्निकटन धीरे-धीरे इसे एक व्यावहारिक अर्थ में सार्थक होने के लिए रूपांतरित करता है ... यानी मैं केवल दशमलव बिंदु अधिक सटीकता प्राप्त करने के लिए 100 गुना अधिक सिमुलेशन चलाना नहीं चाहता हूं। अभिन्न करने के लिए। इसके बजाय, मैं विरल स्मोलाइक ग्रिड जैसे अन्य तरीकों का उपयोग करता हूं क्योंकि वे कम फ़ंक्शन मूल्यांकन में बेहतर सटीकता प्रदान करते हैं। यह केवल इसलिए संभव है क्योंकि मैं फ़ंक्शन में चिकनाई की एक निश्चित डिग्री मान सकता हूं।
यह अनुमान लगाने के लिए उचित है कि यदि आप अपेक्षा करते हैं कि जिस फ़ंक्शन को आप निश्चित संरचना (जैसे चिकनाई) के लिए एकीकृत कर रहे हैं, तो यह सबसे अच्छा होगा कि यह शोषण करने वाली क्वासी-मोंटे कार्लो योजना का उपयोग करे। यदि आप वास्तव में फ़ंक्शन के बारे में बहुत अधिक अनुमान नहीं लगा सकते हैं, तो मोंटे कार्लो एकमात्र उपकरण है जिसे मैं इसे संभालने के लिए सोच सकता हूं।
कोसी और व्हिटेन के पेपर में अर्ध-मोंटे कार्लो एकीकरण पर पारंपरिक मोंटे-कार्लो एकीकरण के लाभों पर चर्चा की गई है । वे निम्नलिखित कारणों को सूचीबद्ध करते हैं:
QMC एकीकरण की त्रुटि कोकस्मा-हलावा असमानता से बंधी है, जहां और की भिन्नता है विसंगति का तारा है। लेकिन कोकिस के पेपर से उद्धृत करते हुए, वी [ च ] च डी * एन
दुर्भाग्य से, मौजूदा अनुक्रमों से जुड़ी सैद्धांतिक विसंगति मध्यम और बड़े मूल्यों के लिए उपयोग करने योग्य नहीं है। अन्य विकल्प, बड़े एस के लिए एक अनुक्रम की स्टार विसंगति का एक संख्यात्मक मूल्यांकन, एक अत्यधिक कम्प्यूटेशनल प्रयास की आवश्यकता होती है, और यहां तक कि ऐसी विसंगतियों का उचित संख्यात्मक अनुमान प्राप्त करना बहुत मुश्किल है।
पारंपरिक मोंटे-कार्लो एकीकरण के साथ, हम एक त्रुटि लक्ष्य निर्दिष्ट कर सकते हैं और प्रतीक्षा कर सकते हैं क्योंकि त्रुटि बाउंड आसानी से गणना योग्य है। QMC के साथ, हमें कई फ़ंक्शन मूल्यांकन निर्दिष्ट करने होंगे और आशा है कि त्रुटि हमारे लक्ष्य के भीतर है। (ध्यान दें कि इसे दूर करने की तकनीकें हैं, जैसे कि यादृच्छिक क्वैसी-मोंटे कार्लो, जहां त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए मल्टी-क्वैसी-मोंटे कार्लो का अनुमान लगाया जाता है।)
कई कम-विसंगति अनुक्रमों के लिए त्रुटि सीमा के "निरंतर शब्द" के बाद से हम वास्तव में आयाम के साथ तेजी से बढ़ते हैं, कोकिस और व्हिटेन त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए एक अन्य मीट्रिक का उपयोग करते हैं: नमूना बिंदुओं के बीच अधिकतम दूरी। यह एक त्रुटि अनुमान देता है , और वे दावा करते हैं कि यह कई पूर्णांकों के देखे गए व्यवहार पर फिट बैठता है।
अर्ध-मोंटे कार्लो के लिए पारंपरिक मोंटे-कार्लो को मात देने के लिए, इंटीग्रांड में "कम प्रभावी आयाम" होना चाहिए। इस विषय पर आर्ट ओवेन का पेपर यहाँ देखें ।