ज्ञात सीमाओं के साथ बहु-आयामी अभिन्न का संख्यात्मक एकीकरण

Question

मेरे पास एक (2-आयामी) अनुचित अभिन्न है

$$I=\int_A \frac{W(x,y)}{F(x,y)}\,\mbox{d}x\mbox{d}y$$

जहाँ एकीकरण का डोमेन x = [ - 1 , 1 ] , y = [ - 1 , 1 ] से छोटा है, लेकिन आगे F ( x , y ) > 0 द्वारा प्रतिबंधित है । के बाद से एफ और डब्ल्यू चिकनी और कर रहे हैं डब्ल्यू ≠ $A$$x=[-1,1]$$y=[-1,1]$$F(x,y)>0$$F$$W$$W \ne 0$सीमाओं पर, बाद के संबंध से तात्पर्य यह है कि सीमा पर समाकल एकवचन हो सकता है। अभिन्न परिमित है, हालांकि। मैं, अब तक, इस अभिन्न को नेस्टेड संख्यात्मक एकीकरण के साथ गणना करता हूं। यह सफल है लेकिन धीमी है। मैं इंटीग्रल, शायद मोंटे-कार्लो विधि को संबोधित करने के लिए एक अधिक उपयुक्त (तेज) विधि खोजता हूं। लेकिन मुझे एक की आवश्यकता है जो गैर-घन डोमेन ए की सीमा पर अंक नहीं डालती है और अनुचित अभिन्न की सीमा को सही ढंग से लेती है। क्या इस सामान्य अभिव्यक्ति के लिए एक अभिन्न परिवर्तन मदद कर सकता है? नोट मैं हल कर सकते हैं कि के लिए y के एक समारोह के रूप में एक्स और यहां तक कि गणना मैं कुछ विशेष वजन कार्यों के लिए डब्ल्यू $F(x,y)$$y$$x$$I$ ।$W(x,y)$

Comments

$F(x,y) \ne 0$$A$$F(x,y)$

GSL एल्गोरिथ्म QAGS: gnu.org/software/gsl/manual/html_node/… । संपादन के लिए धन्यवाद (समीकरण टाइप करने का विकल्प नहीं देखा)!

— highsciguy

Answer 1

डिस्क्लेमर: मैंने अपने पीएचडी थीसिस को एडेप्टिव क्वैडचर पर लिखा है, इसलिए यह जवाब मेरे अपने काम के प्रति गंभीर रूप से पक्षपाती होगा।

GSL के QAGS पुराना है QUADPACK एकीकरण, और यह पूरी तरह से मजबूत नहीं है, विशेष रूप से विशिष्टता की उपस्थिति में। यह आमतौर पर उपयोगकर्ताओं को सटीकता के अधिक अंकों का अनुरोध करने की ओर ले जाता है, जिनकी उन्हें वास्तव में आवश्यकता होती है, इस प्रकार एकीकरण काफी महंगा हो जाता है।

यदि आप GSL का उपयोग कर रहे हैं, तो आप इस पेपर में वर्णित मेरे कोड, CQUAD को आज़माना चाहेंगे । यह अंतराल के किनारों पर और डोमेन के भीतर दोनों विलक्षणताओं का सामना करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। ध्यान दें कि त्रुटि अनुमान काफी मजबूत है, इसलिए केवल उतने ही अंकों के लिए पूछें जितने की आपको वास्तव में आवश्यकता है।

मोंटे-कार्लो एकीकरण के संबंध में, यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप किस तरह की सटीकता की तलाश कर रहे हैं। मैं यह भी पूरी तरह से निश्चित नहीं हूं कि यह विलक्षणताओं के पास कितनी अच्छी तरह काम करेगा।

Comments

मैं निश्चित रूप से इस पर एक नज़र डालूंगा क्योंकि इसे लागू करना सबसे सरल होगा। वास्तव में मैंने अनुभव किया कि QAGS दिनचर्या इस समस्या के लिए सुपर-स्थिर नहीं थी।

— highsciguy

क्या 'GSL_EDIVERGE' के प्रभाव को प्रभावित करने का एक तरीका है? यह कुछ मापदंडों के लिए प्रकट होता है।

— highsciguy

@highsciguy: एल्गोरिथ्म GSL_EDIVERGE को लौटाता है जब यह मानता है कि अभिन्न परिमित नहीं है। यदि आप मुझे एक उदाहरण दे सकते हैं जिसके लिए यह विफल हो जाता है, तो मैं इसे करीब से देख सकता था।

— पेड्रो

यह एक साधारण दिनचर्या को अलग करने के लिए थोड़ा मुश्किल है, क्योंकि यह एन-डिमेन्सिनल इंटीग्रल्स के लिए एक सामान्य कोड में एम्बेड किया गया है। मैं देखूंगा ... लेकिन निश्चित y के लिए, 1 / sqrt (F (x, y)) को 1 / sqrt (x) की तरह व्यवहार करना चाहिए क्योंकि x, F (x, y) के बाद से F (x, y) के शून्य के निकट आता है। तब एक्स में एक बहुपद के रूप में लिखा जा सकता है। लेकिन यह हो सकता है कि 1 / sqrt (x) व्यवहार देर से शुरू हो। यह भी हो सकता है कि इंटीग्रांड का संख्यात्मक प्रसार बहुत अच्छा नहीं है।

— highsciguy

@highsciguy: हाँ, यह एक बुरा विचार है। अधिकांश द्विघात नियम यह मानते हैं कि इंटीग्रैंड में कुछ हद तक चिकनाई होती है, और यदि आप इसे कुछ मनमाने बिंदु के रूप में शून्य पर सेट करते हैं, तो आप एक असंतोष का परिचय दे रहे हैं। यदि आप वास्तविक अंतराल का उपयोग करते हैं तो आपको बहुत बेहतर परिणाम मिलेंगे!

— पेड्रो

Answer 2

मोंटे कार्लो विधियाँ सामान्य रूप से अनुकूली चतुर्भुज के साथ प्रतिस्पर्धा नहीं कर सकती हैं जब तक कि आपके पास एक उच्च आयामी अभिन्न अंग नहीं है जहां आप आयाम के साथ द्विघात बिंदुओं के दहनशील विस्फोट को बर्दाश्त नहीं कर सकते हैं।

$\int_{[0,1]^n} f(x)\; d^nx$$n$$M$$M^n$$k$$N=(kM)^n$$k$$(2k-1)$$e = {\cal O}(h^5)={\cal O}(M^{-(2k-1)})$

$$e = {\cal O}(N^{-(2k-1)/n}).$$ $$e = {\cal O}(N^{-1/2})$$ $k>n/4+1/2$

$k\le 8$$n=30$$M=1$$N=8^{30}$एकीकरण अंक, जीवन भर के मूल्यांकन में आप जितना कर सकते हैं, उससे कहीं अधिक। दूसरे शब्दों में, जब तक आप पर्याप्त एकीकरण बिंदुओं का मूल्यांकन कर सकते हैं, तब तक आपके एकीकरण डोमेन के उपखंडों पर द्विघात हमेशा अधिक कुशल दृष्टिकोण होता है। यह ऐसे मामले हैं जहां आपके पास एक उच्च आयामी अभिन्न अंग है जिसके लिए आप किसी भी अधिक उपखंड पर एकीकरण अंक का मूल्यांकन नहीं कर सकते हैं कि लोग अपने खराब अभिसरण आदेश के बावजूद मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग करते हैं।

Answer 3

नेस्टेड डबल-एक्सपोनेंशियल क्वैडचर ( Ooura के कार्यान्वयन देखें ) की कोशिश करें। यह तकनीक एक परिवर्तनशील परिवर्तन का उपयोग करती है जो सीमाओं में बहुत आसानी से व्यवहार करने के लिए रूपांतरित अभिन्न बनाता है और सीमा पर विलक्षणताओं को संभालने के लिए बहुत कुशल है। उनकी वेबसाइट पर DE quadrature पर संदर्भों की एक बहुत अच्छी सूची है।