क्या स्वायत्त होने पर सामान्य अंतर समीकरणों के संख्यात्मक रूप से सन्निकटन प्रणाली के लिए शॉर्टकट हैं?

Question

ODEs को हल करने के लिए मौजूदा एल्गोरिदम फ़ंक्शंस हैंडल करते हैं , जहाँ । लेकिन कई भौतिक प्रणालियों में, अंतर समीकरण स्वायत्त है, इसलिए , , के साथ छोड़ दिया। इस सरल अनुमान के साथ, मौजूदा संख्यात्मक तरीकों में क्या सुधार देखे जा सकते हैं? उदाहरण के लिए, यदि , तो समस्या बदल जाती है और हम एक आयामी इंटीग्रल को एकीकृत करने के लिए एल्गोरिदम के एक पूर्ण भिन्न वर्ग में बदल जाते हैं। के लिए , अधिकतम संभव सुधार के आयाम को कम करने हैy∈आरएनडी$\frac{dy}{dt} = f(y, t)$$y \in \mathbb R^n$y∈आरएनटीएन=1टी=∫घ$\frac{dy}{dt} = f(y)$$y \in \mathbb R^n$$t$$n=1$ n>1$t = \int \frac{dy}{f(y)}$$n>1$$y$1 से, क्योंकि समय पर निर्भर मामले जोड़कर नकली किया जा सकता है करने के लिए , का डोमेन बदल रहा से करने के लिए ।y y R n R n + $t$$y$$y$$\mathbb R^n$$\mathbb R^{n+1}$

Answer 1

मैं कहूंगा कि एक महत्वपूर्ण सुधार यह है कि समय-कदम दृष्टिकोण के दायरे में, जहां आप का एक समाधान मैप का उपयोग करके करते हैं , आप कर सकते हैं एक बार प्रचारक (या इसके कम से कम भागों) को निर्धारित करें और फिर हर समय कदम पर इसे फिर से उपयोग करें।$y_n \rightarrow y_{n+1}=\mathcal{U}(y_n)$$\mathcal{U}$

उदाहरण के लिए, रैखिक मामले में आपके पास , जहाँ एक मैट्रिक्स है। समाधान ऑपरेटर में मुख्य रूप से एक मैट्रिक्स घातीय होता है। स्वायत्त प्रणालियों के लिए, यह महंगा मैट्रिक्स घातीय मूल्यांकन केवल एक बार पूर्ण-प्रसार के लिए आवश्यक है - एक समय-निर्भर प्रणाली के विपरीत, जहां आपको हर समय कदम पर इस मूल्यांकन को करना होगा।$\partial_t y = A y$$A$$\mathcal{U}(y) = \exp(A \Delta t)y$

गैर-रेखीय प्रणालियों के लिए यह इतना आसान नहीं है, लेकिन एल्गोरिथ्म के आधार पर कुछ महंगे मूल्यांकन फिर से उपयोग किए जा सकते हैं।