हैमिल्टनियन मैट्रिक्स का मैट्रिक्स घातांक

Question

चलो असली, वर्ग, घने मैट्रिक्स हो। G और Q सममित हैं। चलो$A, G, Q$$G$$Q$

$$H = \begin{bmatrix} A & -G \\ -Q &-A^T \end{bmatrix}$$

हैमिल्टनियन मैट्रिक्स हो। मैं के मैट्रिक्स घातांक की गणना करना चाहता हूं । मुझे केवल मैट्रिक्स-वेक्टर उत्पाद ही नहीं , पूर्ण मैट्रिक्स घातांक, ई टी एच की आवश्यकता है । हैमिल्टनियन मैट्रिक्स के घातांक की गणना करने के लिए कोई विशेष एल्गोरिदम या पुस्तकालय उपलब्ध हैं?$H$$e^{tH}$

Comments

आप मैट्रिक्स ही घातांकी, या आप वास्तव में सिर्फ स्तोत्र का समाधान करना चाहते हैं चाहते हैं ? $\dot z = Hz$

— डैनियल शेपरो

मुझे मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल की आवश्यकता है। लेकिन समान रूप से मैं ODE हल कर सकता हूं । $\dot{Z} = H Z,\ Z(0)=I$

— मैक्स बेहर

बेनिन की संरचना को संरक्षित करने वाले आइगेंसोल्वर मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल कम्पूटिटॉन को कम करने के लिए समानता परिवर्तन से निपट सकते हैं।

— पर्क्यूस

@ रीचर्ड झांग क्रूर तरीका QZ अपघटन है। अधिक जानकारी के लिए link.springer.com/article/10.1007/s002110050315 से शुरू होने वाले उदाहरण के लिए जाँच करें ।

— पर्क्यूस

मैट्रिक्स के घातांक की गणना करने के लिए पेपर 19 डब्युअस तरीके, 25 साल बाद मैट्रिक्स घातीय की गणना करने के लिए कई बुरे (और कुछ अच्छे) तरीके शामिल हैं। यह हैमिल्टन की समस्याओं के लिए विशिष्ट नहीं है लेकिन फिर भी यदि आप इस प्रकार की समस्याओं पर काम कर रहे हैं तो वास्तव में मूल्यवान हैं।

— डैनियल शेपरो

Answer 1

बहुत जल्दी जवाब ...

एक हैमिल्टनियन मैट्रिक्स का घातीय सहानुभूति है, एक संपत्ति जिसे आप संभवतः संरक्षित करना चाहते हैं, अन्यथा आप बस एक गैर-संरचना-संरक्षण पद्धति का उपयोग करेंगे। वास्तव में, संरचित विधि का उपयोग करने में कोई वास्तविक गति लाभ नहीं है, बस संरचना संरक्षण है।

आपकी समस्या को हल करने का एक संभावित तरीका निम्नलिखित है। सबसे पहले एक symplectic मैट्रिक्स इस तरह लगता है कि एच = एम - 1 एच एम = [ एक - जी 0 - एक टी ] ऊपरी त्रिकोणीय ब्लॉक Hamiltonian है और, और एक बाईं आधा विमान में eigenvalues है। उदाहरण के लिए आपको यह मैट्रिक्स मिलता है [ I 0 X I ] , जहां X , H से जुड़े रिक्ती समीकरण को हल करता है$\hat{H}=M^{-1}HM=\begin{bmatrix} \hat{A} & -\hat{G}\\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$$\hat{A}$$\begin{bmatrix}I & 0\\ X & I\end{bmatrix}$$X$$H$, या (और अधिक स्थिर है, क्योंकि यह orthogonal है) की शुर अपघटन का क्रम बदल कर यानी, एकात्मक शुर कारक की जगह और Laub चाल को लागू करने ( [ यू 11 यू 12 यू 21 यू 22 ] के साथ [ यू 11 - यू 12 यू 12 यू 11 ]] । यदि हैमिल्टन की काल्पनिक धुरी पर स्वदेशी गुण हैं, तो आपको इसे करने में परेशानी हो सकती है, लेकिन यह एक लंबी कहानी है और अब के लिए मुझे लगता है कि यह आपकी समस्या में नहीं होगा।$H$$\begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22}\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}U_{11} & -U_{12} \\ U_{12} & U_{11}\end{bmatrix}$

$M$$\exp(H)=M\exp(\hat{H})M^{-1}$

$$\exp(\hat{H}) = \begin{bmatrix} \exp(\hat{A}) & X\\ 0 & \exp(-\hat{A}^T) \end{bmatrix},$$ $X$ $$\hat{A} X + X \hat{A}^T = -\exp(\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp(-\hat{A}^T)$$ $\exp(\hat{H})\hat{H}=\hat{H}\exp(\hat{H})$

फिर तीन कारक बिल्कुल सहानुभूतिपूर्ण हैं। बस उन्हें अलग से उपयोग करें: उत्पाद की गणना न करें या आप इस संपत्ति को संख्यात्मक रूप से खो देंगे।

Comments

$H$$\tilde{H}= \begin{bmatrix} \hat{A} & -G \\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$$X_L$$\hat{A} X_L + X_L \hat{A}^T = -G$$M_2=\begin{bmatrix} I & X_L \\ 0 & I \end{bmatrix}$$\hat{H}$$\hat{\hat{H}}$$\hat{A}$$\hat{-A^T}$

Answer 2

$\mathcal H$

$A$$G$$Q$$\mathcal H$$H$$\mathcal H$$A$$G$$Q$$A$$G$$Q$ एक अभिन्न समीकरण से आते हैं जो संपीड़न के लिए उनकी घनी संरचना और क्षमता (कर्नेल के आधार पर) की व्याख्या करेगा।

$(H-\lambda I)^{-1}$$\mathcal H$$\mathcal H$$A$$G$$Q$

$\mathcal H$

• $\mathcal{H}$

$\mathcal H$$\mathcal H$

इस दृष्टिकोण के नीचे:

• के कुशल प्रतिनिधित्व पर निर्भर करता है $A$$G$$Q$
• हैमिल्टन संरचना का लाभ नहीं उठाता है

सकारात्मक:

• मैट्रिक्स घातीय का संकुचित प्रतिनिधित्व, हालांकि यह अभी भी एक मैट्रिक्स है, न कि केवल एमवीपी करने का एक तरीका है
• रैखिक-लघुगणकीय जटिलता (बशर्ते निम्न-श्रेणी की धारणा हो)
• पुस्तकालय ब्लॉकों में परिवर्तन और समरूपता का लाभ ले सकता है