न्यूटन की विधि के लिए आकर्षण का आधार

Question

नाइलिनियर समीकरणों को हल करने के लिए न्यूटन की विधि को द्विघात रूप से अभिसरण करने के लिए जाना जाता है जब प्रारंभिक अनुमान समाधान के लिए "पर्याप्त रूप से करीब" होता है।

"पर्याप्त रूप से करीब" क्या है?

क्या आकर्षण के इस बेसिन की संरचना के बारे में साहित्य है?

Comments

रूट को अलग-थलग किया जाना चाहिए (एकाधिक नहीं)। यदि हेसियन क्षेत्र में समान रूप से निश्चित (अवतल या नीचे) है, तो आपको जाने के लिए अच्छा होना चाहिए। बेशक इन स्थितियों की गारंटी या परीक्षण करना आमतौर पर अव्यवहारिक होता है।

— हार्डमैथ

मैंने दूसरे दिन एनए-डाइजेस्ट में प्रश्न देखा और इसे पेचीदा समझा। जाहिरा तौर पर मैं केवल एक ही :-) नहीं था

— वोल्फगैंग बंगर्थ

Answer 1

जटिल डोमेन में एकल तर्कसंगत समीकरण के लिए, आकर्षण का आधार भग्न है, एक तथाकथित जूलिया सेट का संकलन। http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set । कुछ अच्छे ऑनलाइन आंकड़ों के साथ सिद्धांत के लिए, देखें, उदाहरण के लिए,
http://mathlab.mathlab.sunysb.edu/~scott/Papers/Newton/Published.pdf http:
//hera.ugr.es.doi/15019160.pdf

यहां तक ​​कि लिए '' ग्लोबलाइज्ड '' नम न्यूटन पद्धति में आकर्षण का एक भग्न बेसिन है; http://www.jstor.org/stable/10.2307/2653002 देखें ।$x^3-1=0$

इस प्रकार विस्तार से निर्दिष्ट करने का कोई मतलब नहीं है कि समाधान के लिए "पर्याप्त रूप से करीब" क्या है। यदि कोई दूसरे डेरिवेटिव पर सीमा जानता है, तो न्यूटन - कांटोरोविच प्रमेय है जो एक गेंद की त्रिज्या पर कम सीमा देता है जिसमें न्यूटन की विधि परिवर्तित होती है, लेकिन 1 डी को छोड़कर, ये काफी निराशावादी होते हैं।

कम्प्यूटेशनल रूप से उपयोगी सीमाएं अंतराल अंकगणित का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती हैं; उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, मेरा पेपर
शेन ज़ूहे और ए। न्यूमाइर, द क्रॉसिक ऑपरेटर और कांटोरोविच का प्रमेय, जे। मैथ। गुदा। Appl। 149 (1990), 437-443।
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/61.pdf

Comments

यह केवल जटिल विमान में है कि में आकर्षण का एक भग्न बेसिन है। वास्तविक रेखा पर, कोई भी प्रारंभिक अनुमान करेगा (एक बार अभिसरण से मोनोनटोन कम हो जाएगा और द्विघात दर जल्दी प्रकट होगी)। x > 0 x > $x^3 - 1 = 0$$x > 0$$x > 1$

— हार्डमैथ

@hardmath: हाँ, लेकिन जटिल समीकरण 2 चर में दो वास्तविक समीकरण बन जाते हैं, जिसके लिए वही लागू होता है।

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

Answer 2

"पर्याप्त रूप से करीब" यह विचार करना मुश्किल है कि यह भग्न वर्ग को जन्म देता है । वैश्वीकरण की रणनीतियों जैसे लाइन खोज और विश्वास क्षेत्र के साथ न्यूटन विधियां आकर्षण के बेसिन का विस्तार करती हैं। यदि अतिरिक्त समस्या संरचना उपलब्ध है, जैसे अनुकूलन में, अभिसरण के लिए आवश्यक धारणाएं और कमजोर हो सकती हैं।

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बस जिज्ञासा के लिए, क्या आपके पास "यदि अतिरिक्त समस्या संरचना उपलब्ध है, जैसे कि अनुकूलन में कोई उदाहरण है, तो अभिसरण के लिए आवश्यक धारणाएं और कमजोर हो सकती हैं?"

— वैनकॉम्यूट

@vanCompute ऑप्टिमाइज़ेशन से संबंधित एक उदाहरण के लिए यह उदाहरण देखें , जहाँ ऑब्जेक्ट फ़ंक्शनल जानकारी प्रदान करता है जो पहले क्रम की अनुकूलता स्थितियों में खो जाती है। एक अन्य रूप यह ज्ञान होगा कि एक निश्चित निरंतरता (pseudotransient, पैरामीटर, ग्रिड, आदि) हमेशा रूपांतरित होती है, लेकिन अगर समस्या को सीधे हल करने का प्रयास किया जाता है, तो समाधान तक पहुंचने से पहले अवशिष्ट को बढ़ाना पड़ सकता है।

— जेड ब्राउन

Answer 3

न्यूटन के जटिल बहुपद के लिए लागू विधि के लिए कुछ उपयोगी परिणाम हैं।

जोएल फ्रीडमैन ऑन द कन्वर्सेशन ऑफ न्यूटन की विधि (प्रमेय 2.2) एक बहुपद के प्रत्येक मूल के आकर्षण के तत्काल बेसिन में निहित एक डिस्क के लिए एक स्पष्ट त्रिज्या देता है : जहाँ है के दो जड़ों के बीच न्यूनतम दूरी और की डिग्री है ।r = $f$ ηएफडी डी

$$r=\frac{\eta}{2d}$$ $\eta$$f$$d$$f$

अन्य स्पष्ट सीमाएँ एंथनी मैनिंग द्वारा दी गई हैं कि न्यूटन की विधि (प्रमेय 1.2) का उपयोग करके एक जटिल बहुपद की जड़ का पता कैसे लगाया जा सकता है ।

हब्बार्ड एट अल द्वारा न्यूटन की विधि द्वारा जटिल बहुपद की सभी जड़ों को खोजने के लिए कैसे देखें ।
आविष्कार। गणित। 146 (2001), नहीं। १, १-३३। पीडीएफ

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Math.stackexchange.com/a/1038487/589 से अनुकूलित ।

— lhf