परिमित-अंतर और परिमित-तत्वों के बीच चयन करने के लिए क्या मानदंड हैं

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मैं परिमित-तत्वों के एक विशेष मामले के रूप में परिमित-मतभेदों के बारे में सोचता हूं, बहुत विवश ग्रिड पर। तो संख्यात्मक अंतर के रूप में परिमित अंतर विधि (FDM) और परिमित तत्व विधि (FEM) के बीच चयन करने की शर्तें क्या हैं?

परिमित अंतर विधि (FDM) के पक्ष में, कोई भी गणना कर सकता है कि वे परिमित तत्व विधि (FEM) की तुलना में वैचारिक रूप से सरल और सरल हैं। एफईएम में बहुत लचीला होने का लाभ है, उदाहरण के लिए, ग्रिड बहुत ही गैर-समान हो सकते हैं और डोमेन में मनमाना आकार हो सकता है।

एकमात्र उदाहरण मुझे पता है कि जहां FDM FEM से बेहतर निकला है , वह Celia, Bouloutas, Zarba में है , जहां समय व्युत्पन्न के एक अलग विवेक का उपयोग करके FD विधि के कारण लाभ होता है, जो, तथापि, परिमित तत्व विधि के लिए तय किया जा सकता है ।

pde finite-element

— shuhalo
स्रोत

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अधिकांश विशिष्ट परिमित अंतर विधियों को लिखना संभव है, जैसे कि पेट्रोव-गेलरकिन परिमित तत्व विधियां स्थानीय पुनर्निर्माण और चतुर्भुज के कुछ विकल्प के साथ, और अधिकांश परिमित तत्व विधियों को भी कुछ परिमित अंतर विधि के बराबर माना जा सकता है। इसलिए, हमें एक ऐसी पद्धति चुननी चाहिए जिसके आधार पर हम उस विश्लेषण ढांचे का उपयोग करना चाहते हैं, जिसे हम पसंद करते हैं, जिसे हम पसंद करते हैं, जिसे हम पसंद करते हैं, और किस तरह से हम सॉफ्टवेयर की संरचना करना चाहते हैं। निम्नलिखित सामान्यीकरण व्यावहारिक उपयोग में विविधताओं के विशाल बहुमत में सही हैं, लेकिन कई बिंदुओं को दरकिनार किया जा सकता है।

परिमित अंतर

पेशेवरों

कुशल द्विघात-मुक्त कार्यान्वयन
पहलू अनुपात स्वतंत्रता और कुछ योजनाओं के लिए स्थानीय संरक्षण (उदाहरण के लिए अतुलनीय प्रवाह के लिए मैक)
परिवहन के लिए मजबूत nonlinear तरीके (जैसे ENO / WENO)
कुछ समस्याओं के लिए एम-मैट्रिक्स
कुछ समस्याओं के लिए असतत अधिकतम सिद्धांत
विकर्ण (आमतौर पर पहचान) द्रव्यमान मैट्रिक्स
सस्ती नोडल अवशिष्ट कुशल nonlinear मल्टीग्रिड (FAS) की अनुमति देता है
सेल-वार वेंका स्मूम्स असंगत प्रवाह के लिए कुशल मैट्रिक्स-मुक्त स्मूदी देते हैं

विपक्ष

"भौतिकी" को लागू करने के लिए और अधिक कठिन
कंपित ग्रिड कभी-कभी काफी तकनीकी होते हैं
असंरचित ग्रिड पर दूसरे क्रम से अधिक कठिन है
कोई गैलेरकिन ऑर्थोगोनलिटी नहीं है, इसलिए अभिसरण को साबित करना अधिक कठिन हो सकता है
गैलरकिन विधि नहीं है, इसलिए विवेक और विशेषणों का अनुकूलन (अनुकूलन और उलटा समस्याओं के लिए प्रासंगिक) नहीं होता है
स्व-स्थिरांक सातत्य समस्याएं अक्सर गैर-सममित मैट्रिक प्राप्त करती हैं
समाधान केवल बिंदुवार परिभाषित किया गया है, इसलिए मनमाने स्थानों पर पुनर्निर्माण विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है
सीमा की स्थिति को लागू करने के लिए जटिल हो जाते हैं
असंतुलित गुणांक आमतौर पर तरीकों को पहले क्रम में बनाते हैं
स्टैंसिल बढ़ता है अगर भौतिकी में "क्रॉस शब्द" शामिल हैं

परिमित तत्व

पेशेवरों

गैलेर्किन ऑर्थोगोनलिटी (ज़बरदस्त समस्याओं के लिए असतत समाधान अंतरिक्ष में सबसे अच्छा समाधान के एक निरंतरता के भीतर है)
सरल ज्यामितीय लचीलापन
असंतत गैलरकिन मजबूत परिवहन एल्गोरिथ्म प्रदान करता है, असंरचित ग्रिड पर मनमाना आदेश
सेलवाइज़ एन्ट्रापी असमानता की गारंटी देते हुए स्थिरता मेष, आयाम, सटीकता के क्रम और बिना विलयन सीमा की आवश्यकता के बिना असंतोषजनक समाधानों की उपस्थिति से स्वतंत्र रखती है। $L^2$
सीमा शर्तों को लागू करने में आसान
परीक्षण स्थान का चयन करके संरक्षण कथन चुन सकते हैं
विवेकीकरण और विशेषण (गैलेरकिन विधियों के लिए)
कार्यात्मक विश्लेषण में सुरुचिपूर्ण नींव
उच्च क्रम में, स्थानीय गुठली दसियों उत्पाद संरचना का शोषण कर सकती है जो एफडी के साथ गायब है
लोबैटो क्वाड्रैचर विधियों को ऊर्जा-संरक्षण योग्य बना सकता है (सहानुभूतिपूर्ण समय को एकीकृत करने वाला)
उच्च क्रम सटीकता भी बंद गुणांक के साथ, जब तक आप सीमाओं के लिए संरेखित कर सकते हैं
तत्वों के अंदर के गुणांक को XFEM के साथ समायोजित किया जा सकता है
कई inf-sup परिस्थितियों को संभालना आसान है

विपक्ष

कई तत्वों को उच्च पहलू अनुपात में परेशानी होती है
निरंतर FEM को परिवहन में परेशानी होती है (SUPG डिफ्यूसिव और ऑसिलेटरी है )
डीजी के पास आमतौर पर समान सटीकता के लिए स्वतंत्रता की अधिक डिग्री होती है (हालांकि एचडीजी बहुत बेहतर है)
निरंतर एफईएम सस्ते नोडल समस्याएं प्रदान नहीं करता है, इसलिए नॉनलाइनियर स्मोअर्स में बहुत अधिक गरीब स्थिरांक होते हैं
आमतौर पर इकट्ठे मैट्रिस में अधिक नॉनजेरो
सुसंगत द्रव्यमान मैट्रिक्स के बीच चयन करना है (कुछ अच्छे गुण, लेकिन पूर्ण उलटा है, इस प्रकार प्रति समय कदम के लिए एक अंतर्निहित समाधान की आवश्यकता होती है) और द्रव्यमान मैट्रिक्स मैट्रिक्स।

— जेड ब्राउन
स्रोत

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यह एक अच्छा सामान्यीकरण है, हालांकि लगभग हर बिंदु के लिए प्रतिपक्ष हैं।

— डेविड केचेसन

अच्छी बात है, मैंने उस प्रभाव में एक परिचय जोड़ा।

— जेड ब्राउन

3

मुझे पता नहीं था HDG का संक्षिप्त नाम। किसी और को इस बारे में सोचकर, यह "हाइब्रिडेबल डिसकंट्रेस्स गॉलकिन" के लिए खड़ा है।

— अकीद

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यह प्रश्न सार्थक उत्तर देने के लिए बहुत व्यापक हो सकता है। जवाब देने वाले अधिकांश लोग केवल एफडी और एफई के सभी प्रकारों के कुछ सबसेट से परिचित होंगे जिनका उपयोग किया जा सकता है। ध्यान दें कि FD और FE दोनों

संरचित या असंरचित ग्रिड पर लागू किया जा सकता है ( एक असंरचित ग्रिड पर एफडी विधि के सिर्फ एक उदाहरण के लिए यह पेपर देखें )
सटीकता के मनमाने ढंग से उच्च क्रम तक बढ़ाया जा सकता है (कई मायनों में!)
अंतरिक्ष और / या समय में विवेक के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है , शायद संयोजन में
स्थानीय या वैश्विक आधार फ़ंक्शंस का उपयोग करें (बाद में FD और FE दोनों प्रकार के वर्णक्रमीय तरीके)
एक सतत या बंद समारोह अंतरिक्ष पर आधारित हो सकता है
स्थानिक रूप से स्पष्ट या अंतर्निहित हो सकता है
अस्थायी रूप से स्पष्ट या निहित हो सकता है

तुम्हें नया तरीका मिल गया है। बेशक, एक विशेष अनुशासन में, एफडी और एफई तरीके जो लोग आमतौर पर लागू करते हैं और उपयोग करते हैं उनमें बहुत अलग विशेषताएं हो सकती हैं। लेकिन यह आमतौर पर दो विवेकाधीन दृष्टिकोणों की किसी अंतर्निहित सीमाओं के कारण नहीं है।

मनमाने ढंग से उच्च आदेश की एफडी योजनाओं के बारे में: उच्च आदेश एफडी योजनाओं के गुणांक किसी भी आदेश के लिए स्वचालित रूप से उत्पन्न हो सकते हैं; उदाहरण के लिए, लेवेके की पुस्तक देखें । स्पेक्ट्रल कॉलेक्शन विधि, जो कि एफडी विधियां हैं, मेष रिक्ति की किसी भी शक्ति की तुलना में तेजी से अभिसरण होंगी; उदाहरण के लिए, ट्रेफेथेन की पुस्तक देखें ।

— डेविड केचेसन
स्रोत

दिलचस्प। क्या आपके पास मनमाने ढंग से उच्च आदेश एफडी योजनाओं के बारे में कुछ कागजात हैं? मैंने सोचा था कि किसी को प्रत्येक ऑर्डर के लिए कुछ उच्चतर ऑर्डर स्टैंसिल बनाने होंगे।

— ओन्ड

आपके प्रश्न का उत्तर देने के लिए मैंने ऊपर और विवरण जोड़े।

— डेविड केचेसन

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परिमित तत्वों (FE) के लाभ:

परिवर्तनशील विधि (उदाहरण के लिए श्रोएडिंगर समीकरण के लिए ऊर्जा हमेशा "पी" के साथ गिरती है, जो एफडी के लिए सही नहीं है)
उच्च आदेशों पर सटीक (p = 50 और अधिक)
एक बार लागू होने के बाद, "पी" और "एच" दोनों में व्यवस्थित अभिसरण करना आसान है (जैसा कि प्रत्येक आदेश के लिए विशेष एफडी योजनाएं होने का विरोध किया जाता है)

परिमित अंतर के लाभ (एफडी):

निचले आदेशों को लागू करना आसान है
संभवतः कम सटीकता के लिए FE की तुलना में तेज़

कभी-कभी लोग कहते हैं कि "परिमित अंतर" का अर्थ है ओडीई के लिए एक इंटीग्रेटर जैसे रनगे-कुट्टा या एडम्स विधि। उस स्थिति में, FD का एक और फायदा है:

nonlinear ODE को सीधे हल करना संभव है

जबकि FE को न्यूटन विधि की तरह कुछ अरेखीय पुनरावृत्ति की आवश्यकता है।

— Ond Oej Čertík
स्रोत

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कई अच्छे उत्तरों ने पहले से ही परिमित तत्व विधियों के पेशेवरों को लचीला और शक्तिशाली बताया, यहां मैं FEM का एक और लाभ, सोबोलेव अंतरिक्ष और अंतर ज्यामिति के दृष्टिकोण से दूंगा, यह है कि परिमित तत्व अंतरिक्ष की भौतिक निरंतरता की स्थिति विरासत में मिली है। सोबोलेव रिक्त स्थान जहां सही समाधान निहित है।

उदाहरण के लिए, विमान लोच के लिए रविर्ट-थॉमस चेहरा तत्व, और प्रसार के लिए मिश्रित विधि; कम्प्यूटेशनल इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स के लिए नेडलेक एज तत्व।

आम तौर पर एक पीडीई का समाधान, जो "एनर्जी इनटेग्रेबल" स्पेस में पड़ा एक अंतर -फॉर्म होता है: जहां बाहरी व्युत्पन्न है, और हम इस स्थान के चारों ओर de Rid cohomology का निर्माण कर सकते हैं , जिसका अर्थ है कि हम 3D स्पेस में निम्नलिखित की तरह एक सटीक डे Rham अनुक्रम का निर्माण कर सकते हैं: $k$ $L^2$

H Λ^{k} = {ω \in Λ^{k} : ω \in L^{2} (Λ^{k}), d ω \in L^{2} (Λ^{k})}

$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$

d

$\mathrm{d}$

R^{3} \overset{i d}{\to} H (g r a d, Ω) \overset{\nabla}{\to} H (c u r l, Ω) \overset{\nabla \times}{\to} H (d i v, Ω) \overset{\nabla \cdot}{\to} L^{2} (Ω)

$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$

ऑपरेटर की सीमा अगले ऑपरेटर की अशक्त जगह है, और इस बारे में कई अच्छे गुण हैं, अगर हम इस डे राम के सटीक अनुक्रम को प्राप्त करने के लिए एक परिमित तत्व स्थान का निर्माण कर सकते हैं, तो इस परिमित तत्व अंतरिक्ष के आधार पर गैलेरिन विधि करेंगे स्थिर रहें और वास्तविक समाधान में जुट जाएंगे। और हम केवल डी रैम अनुक्रम से आने वाले आरेख द्वारा प्रक्षेप ऑपरेटर की स्थिरता और सन्निकटन संपत्ति प्राप्त कर सकते हैं, साथ ही हम इस अनुक्रम के आधार पर एक पश्च त्रुटि त्रुटि और अनुकूली जाल शोधन प्रक्रिया का निर्माण कर सकते हैं।

इसके बारे में अधिक जानकारी के लिए एक्टा न्यूमेरिका में डगलस अर्नोल्ड का लेख देखें: " परिमित तत्व बाहरी पथरी, होमोलॉजिकल तकनीक, और अनुप्रयोग " और एक स्लाइड विचार का संक्षिप्त परिचय

— शुआओ काओ
स्रोत

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कमोबेश यही बात तथाकथित एममैटिक एफडी विधियों का उपयोग करके हासिल की जा सकती है।

— डेविड केचेसन

@DavidKetcheson हाय, डेविड, जानकर अच्छा लगा, एफडी के बारे में मेरी जानकारी सालों से अपडेट नहीं की गई है और अब यह पुरातनता जैसा महसूस होता है।

— शुआओ काओ

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स्थानिक और लौकिक योजनाओं के बीच अंतर करना महत्वपूर्ण है।

परिमित तत्व अक्सर अस्थायी अंतर (उदाहरण के लिए स्पष्ट यूलर, अंतर्निहित, क्रैंक-निकोलसन, या क्षणिक प्रसार के लिए रूंगा कुट्टा) और स्थानिक विवेक के लिए परिमित तत्वों को एकीकृत करने के लिए परिमित अंतर का उपयोग करते हैं।

परिमित तत्व अनियमित रूप से अपने आप को अनियमित रूप से उधार देते हैं। वे परिवर्तनशील सिद्धांतों पर आधारित हो सकते हैं, लेकिन आमतौर पर भारित अवशिष्टों की विधि का उपयोग करके उन्हें सामान्यीकृत किया जाता है। ऐसे तत्वों के पुस्तकालयों को विकसित करना आसान है जो विभिन्न बहुपद आदेशों का उपयोग करते हैं और लैग्रेग मल्टीप्लायरों का उपयोग करके अड़चन जैसी बाधाओं को लागू करते हैं।

दोनों योगों के अंत के साधन हैं: समीकरणों और रैखिक बीजगणित की प्रणालियों के संदर्भ में एक अंतर समीकरण को व्यक्त करना।

एल्गोरिथ्म का वर्णन करके किसी अन्य विधि पर एक विधि की गति के बारे में कथन योग्य होना चाहिए। उदाहरण के लिए, हाइपरबोलिक डायनामिक्स समस्याओं के रूप में यांत्रिक समस्याओं को कास्टिंग करना कुछ मामलों में तेजी से परिणाम दे सकता है, क्योंकि वे मैट्रिक्स अपघटन को गुणा और जोड़ के साथ बदलते हैं।

मैं मानता हूँ कि मैं परिमित तत्व विधियों के बारे में अधिक जानता हूँ कि मैं परिमित अंतर करता हूँ। FEM वाणिज्यिक पैकेज में उपलब्ध है और ठोस यांत्रिकी और गर्मी हस्तांतरण में समस्याओं को हल करने के लिए उद्योग और शिक्षा में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। मेरा मानना है कि परिमित अंतर या परिमित मात्रा दृष्टिकोण का उपयोग कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी में किया जाता है।

— duffymo
स्रोत

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FEM के साथ CFD करने वाले बहुत सारे लोग हैं। :)

— बिल बर्थ

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माना। मैं मानता हूँ कि मुझे अब प्रत्येक तकनीक की व्यापकता का अहसास नहीं है। मैं एक बहुत ही छोटे नमूने पर अपनी राय को आधार बना रहा हूं: दोस्तों जो उद्योग में सीएफडी काम करते हैं। वे अधिकांश भाग के लिए FD का उपयोग कर रहे हैं।

— duffymo