आसानी से समझ में आने वाला तर्क है कि सामान्य रन-कुट्टा तरीकों को एसडीई के लिए सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है?

स्टोकेस्टिक अंतर समीकरणों (एसडीई) को हल करने के लिए एक भोली दृष्टिकोण होगा:

एक नियमित मल्टी-स्टेप रन-कुत्ता विधि लें,
अंतर्निहित वीनर प्रक्रिया के पर्याप्त रूप से ठीक विवेक का उपयोग करें,
रूज-कुत्ता पद्धति के प्रत्येक चरण को एक यूलर-मारुयामा के अनुरूप बनाएं।

अब, यह कई स्तरों पर विफल रहता है और मुझे समझ में आता है कि क्यों। हालाँकि, अब मुझे इस तथ्य के लोगों को समझाने का काम सौंपा गया है, जिनके पास शुरू करने के लिए रनगे-कुट्टा तरीकों और स्टोचस्टिक अंतर समीकरणों का कम ज्ञान है। सभी तर्क जो मुझे ज्ञात हैं वे कुछ भी नहीं हैं जो मैं दिए गए संदर्भ में अच्छी तरह से संवाद कर सकता हूं। इसलिए, मैं आसानी से समझने योग्य तर्क की तलाश कर रहा हूं कि उपरोक्त दृष्टिकोण क्या है।

runge-kutta education stochastic-ode

— Wrzlprmft
स्रोत

@BiswajitBanerjee: मुझे इसकी जानकारी है और मैं वास्तव में यह दावा नहीं करता कि मैंने इसे गहराई तक संभव समझा है। फिर भी मुझे नहीं लगता कि यहां सभी तर्क प्रदान करने से उत्तर में सुधार होगा क्योंकि जो लोग उत्तर दे सकते हैं, वे इससे अवगत हैं। इसके अलावा, यह मामला कुछ खास है क्योंकि यह यह समझाने के बारे में है कि कुछ काम क्यों नहीं करता है, जिसके लिए स्वाभाविक रूप से कई उत्तर हैं, "हमने इसका परीक्षण किया और यह विफल रहा"।

— रेज़लप्रथम

मैं स्टोकेस्टिक ओडीई पर विशेषज्ञों के बारे में बात नहीं कर रहा था, लेकिन औसत पाठक जो यादृच्छिक चर और आरके को समझता है जब मैंने कहा था "हमें"। हालाँकि, मैं आपको और परेशान नहीं करूँगा अगर आप अपनी सोच का उदाहरण नहीं देना चाहते हैं।

— बिस्वजीत बनर्जी

चलो एक स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण लेते हैं:

{एक्स}_{टी} = च (टी, {एक्स}_{टी}) घ टी + जी (टी, {एक्स}_{टी}) घ {डब्ल्यू}_{टी}

$X_t = f(t,X_t)dt + g(t,X_t)dW_t$

यहाँ कुछ अलग तर्क दिए गए हैं, जो इस बात की सहज समझ पैदा करते हैं कि उच्च क्रम विधियों के पीछे गणित क्यों आवश्यक है। मैं मजबूत आदेश के संदर्भ में चर्चा करूंगा, जो कि एक दिए गए ब्राउनियन गति के लिए "जैसा ही है।" $W(t)$ , कितनी अच्छी तरह से संख्यात्मक अभिन्न उस प्रक्षेपवक्र को हल करता है? "

समीकरण की नियमितता

सबसे पहले, आपकी प्रस्तावित विधि इस तथ्य को ध्यान में रखने में विफल रहती है कि $X_t$ लगातार अलग नहीं है। वास्तव में, आप रॉसलर के परिणामों का उपयोग यह दिखाने के लिए कर सकते हैं कि आपके द्वारा सुझाए गए सामान्य आरके तरीकों का विस्तार करने के परिणामस्वरूप अभिसरण विधियां होंगी, लेकिन उनके पास केवल मजबूत आदेश 0.5 होगा। कारण यह है कि वे के साथ पथरी का उपयोग कर व्युत्पन्न थे $X_t$ वियरेबल होना और टेलर सीरीज़ होना। ब्राउनियन गति भिन्न नहीं है, और इसके बजाय धारक की निरंतरता है $\alpha < 0.5$ जैसा

हालांकि, गड़बड़ी सिद्धांत की तरह, प्रक्रियाएं जो नियमित रूप से पर्याप्त नहीं हैं, टेलर श्रृंखला के संदर्भ में विस्तार योग्य नहीं हैं, लेकिन सुंदरता के साथ $\alpha$ वे एक पुइसेक्स श्रृंखला के संदर्भ में विस्तारित किए जा सकते हैं $\alpha$ , यानी ब्राउनियन गति के लिए टेलर श्रृंखला धारणा का विस्तार है जो कुछ इस तरह से विस्तारित है $\frac{1}{2}$ डेरिवेटिव। नियमित गणना की तरह, पहला शब्द "रैखिक शब्द" है, अर्थात परिवर्तन $dt$ सेवा $\Delta t$ तथा $dW_t$ सेवा $N(0,dt)$ और आपको अधिकार के बारे में कुछ मिलता है। यही कारण है कि Euler-Maruyama जैसी चीजों सहित विधियाँ, मजबूत आदेश 0.5 के साथ अभिसिंचित होती हैं: उन्हें टेलर के पहले कार्यकाल को सही माना जाता है। हालांकि, उच्च आदेश की शर्तों को इस तथ्य के लिए सुधार करने की आवश्यकता है कि $X_t$ लगातार भिन्न नहीं है, यही वजह है कि सामान्य तरीके ऐसा करने में विफल होते हैं।

तात्कालिक सहसंबंध और Iterated इंटीग्रल

यह एक त्वरित व्याख्यात्मक व्याख्या है, लेकिन इसके लिए थोड़ा अधिक है। आइए कुछ अन्य विवरण देखें। टेलर सीरीज़ केवल डेरिवेटिव के संदर्भ में विस्तार नहीं है, बल्कि इसे एकीकृत करने के लिए नंबर उच्च आदेश शर्तों के रूप में भी सोचा जा सकता है। $X_t = X_0 + \Delta t f(t,X_t)$ एक बार एकीकृत कर रहा है। लेकिन अगर आप जोड़ते हैं $dt^2$ टर्म, यूनिट्स को सही पाने के लिए आपको डबल इंटीग्रल करने की जरूरत है। $dt^2$ दो बार एकीकृत करना आसान है, लेकिन क्या है $dW_t^i dW_t^j$ ? ये ब्राउनियन गतियों के बीच तात्कालिक सहसंबंध हैं। दोहरे अभिन्न की गणना करने के लिए आपको यह जानना होगा। यदि आप केवल औसत देख रहे हैं, तो आप इसे बंद कर सकते हैं। लेकिन किसी भी प्रक्षेपवक्र में अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के विभिन्न ब्राउनियन गतियों के बीच सहसंबंध होते हैं। यह मानते हुए कि ब्राउनियन गतियों के बीच कोई संबंध नहीं हैं, निर्धारक तरीकों के मारुयामा विस्तार को चिह्नित करने का एक और तरीका है, लेकिन श्रृंखला में अगला शब्द (1.0 अवधि) प्राप्त करने के लिए आपको यह अधिकार प्राप्त करना होगा। मिलस्टीन सुधार इन सहसंबंध शर्तों को ठीक से जोड़ रहा है। जब शोर विकर्ण होता है, तो यह समझने के बराबर है कि स्वयं के अलावा कोई सहसंबंध नहीं है, लेकिन स्वयं के साथ सहसंबंध केवल विचरण है जो है $dt$ , और इसलिए इसमें सुधार होना चाहिए $dW_t^2$ बनाम $dt$ , अर्थात $dW^2 - dt$ । जब गैर-विकर्ण शोर होता है, तो इन दोहरे अभिन्नों को अनुमानित किया जाना चाहिए ताकि ब्राउनियन गतियों के तात्कालिक सहसंबंधों को ध्यान में रखा जाए, और यहां आम सन्निकटन विकर्सनसन सन्निकटन है जो तब गैर-विकर्ण शोर सिमुलेशन इतना जटिल है (चूंकि डबल इंटीग्रल्स के लिए भी कोई विश्लेषणात्मक समाधान नहीं है)।

प्रसार का औसत प्रभाव

लेकिन यह हमें समस्या के बारे में सोचने के दूसरे तरीके की ओर ले जाता है। क्षणों के संदर्भ में विस्तार करने की सोच, कुछ अनुमानी अर्थों में पहला आदेश शब्द, मजबूत आदेश 1.0 या $\mathcal{O}(\Delta t)$ अवधि, औसत आंदोलनों को सही, सही प्राप्त करना चाहिए? यहाँ एक सवाल है: क्या व्युत्पन्न है $g$ समय के भीतर? सबसे आसान उत्तर व्युत्पन्न को सामान्य तरीके से परिभाषित करना होगा:

लेकिन यह वास्तव में डालते समय सही नहीं है $g$ एसडीई के संदर्भ में। यदि हम व्युत्पन्न के बारे में सोचते हैं $g$ यह कितना बदलता है $X_t$ , यह हमेशा से एक ही दिशा में इंगित नहीं होता है क्योंकि यह हमेशा इस यादृच्छिक कारक से गुणा होता है $dW_t$ । सवाल यह है: इसका औसत आकार क्या है $dW_t$ ? डिफ्यूजन के पैमाने पर औसतन बदलाव होते हैं $\sqrt{\Delta t}$ , तो वास्तव में प्रभावित है कि $g(t,X_t)$ अधिक पसंद है

\frac{जी (टी + Δ टी, {एक्स}_{टी + Δ टी}) - जी (टी, {एक्स}_{टी})}{\sqrt{Δ टी}}

$\frac{g(t+\Delta t,X_{t+\Delta t}) - g(t,X_t)}{\sqrt{\Delta t}}$

आप अधिक सख्ती दिखा सकते हैं कि संख्यात्मक व्युत्पन्न इस के साथ होना चाहिए $X_{t + \Delta t} = X_t + g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$ "समय में भविष्यवक्ता" के रूप में।

लेकिन सहज रूप से, यह सिर्फ औसत प्रभाव को समझ रहा है $g$ के प्रक्षेपवक्र पर है $X_t$ : के बारे में $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$ । एक रन-कुट्टा विधि में, समय पर एक आंतरिक कदम $c_i$ के मूल्य का एक अनुमान माना जाता है $X_{t + c_i\Delta t}$ , लेकिन यहां तक कि प्रसार के बारे में इस त्वरित भौतिक अनुमानवादी तर्क से हम देखते हैं कि एक रन-कुट्टा विधि का आसान विस्तार पहले से ही औसतन गलत है: इसके बारे में गलत है $g(t,X_t)\sqrt{c_i \Delta t}$ यह समझाने का एक और तरीका है कि यह सबसे मजबूत क्रम 0.5 पर क्यों है (यह आश्चर्य की बात है कि विधियां अभी भी काम करती हैं! लेकिन आप इसे इस तथ्य के लिए विशेषता दे सकते हैं कि आरके विधि में चरणों का योग 1 होना चाहिए, और इसलिए यह त्रुटि कुछ हद तक रद्द है बाहर)। दिलचस्प बात यह है कि यह अनुमानवादी तर्क बहुत गहरा है, क्योंकि उच्च क्रम स्टोचस्टिक रूज-कुट्टा के तरीके जैसे रॉसलर के कारण सुधार हैं, जो ठीक-ठीक संबंधित हैं $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$ ।

निष्कर्ष

यह समझने के 3 अलग-अलग तरीके हैं कि उच्च आदेश में स्टोकेस्टिक पथरी को क्यों शामिल किया जाना चाहिए। उच्च आदेशों को इस तथ्य को ध्यान में रखना चाहिए कि धारक नियमितता 1/2 है और इस प्रकार टेलर श्रृंखला में अतिरिक्त शर्तें हैं, उन्हें तात्कालिक सहसंबंधों को ध्यान में रखना चाहिए, और उन्हें कम से कम प्रसार अवधि के औसत प्रभावों को ध्यान में रखना चाहिए। । अन्यथा वे सही नहीं होने के लिए बर्बाद हैं $\mathcal{O}(\Delta t)$ , और इसके बजाय केवल पहले शब्द के "रैखिक सन्निकटन" को संतुष्ट करें और प्राप्त करें $\mathcal{O}(\sqrt{\Delta t})$ ।

बेशक, कुछ परिस्थितियों में उचित सामान्यीकरण खोजने के तरीके हैं जो उच्च क्रम के तरीके देते हैं, लेकिन मैं इसे एक झूलने वाले धागे के रूप में छोड़ूंगा क्योंकि यह एक पेपर का एक बिंदु है जिसे मैं जल्द ही प्रस्तुत करूंगा। उम्मीद है की यह मदद करेगा।

— क्रिस रैकॉकास
स्रोत