अंतरिक्ष और समय दोनों में समानता का उपयोग करते हुए पीडीई संगणना के उदाहरण


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प्रारंभिक सीमा मूल्य PDEs के संख्यात्मक समाधान में, अंतरिक्ष में समानता को नियोजित करना बहुत आम है । यह समय के विवेकाधिकार में समानता के कुछ प्रकार को नियोजित करने के लिए बहुत कम आम है , और यह समानता आमतौर पर बहुत अधिक सीमित है। मुझे कोड और प्रकाशित कार्यों की बढ़ती संख्या के बारे में पता है, जो सामयिक समानता को प्रदर्शित करता है, लेकिन उनमें से कोई भी स्थानिक समानता शामिल नहीं है।

क्या ऐसे क्रियान्वयन के उदाहरण हैं जिनमें अंतरिक्ष और समय दोनों में समानता शामिल है? मुझे प्रकाशन और उपलब्ध कोड दोनों में दिलचस्पी है।


मुझे यह पूर्व संकेत मिला, 2048 प्रोसेसर पर असंगत नवियर
डेविड केचेसन

जवाबों:


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PFASST और (समांतर पूर्ण सन्निकटन अंतरिक्ष और समय में योजना) PEPC (सुंदर कुशल समानांतर कूलम्ब) एल्गोरिदम हाल ही में एक साथ इस्तेमाल किया गया है दोनों स्थान और समय में समानांतरवाद प्राप्त करने के लिए।

PFASST समय समानतावाद करता है, PEPC अंतरिक्ष समानतावाद करता है। इसके परिणाम हाल ही में DD21 सम्मेलन में प्रस्तुत किए गए थे , और हमने PF12ST / PPC के संयोजन का वर्णन करते हुए SC12 के लिए एक सबमिशन तैयार किया है ।

4 मिलियन कणों (पीईपीसी एक समानांतर एन-बॉडी सॉल्वर है) से युक्त एक "छोटी" समस्या को केवल पीईपीसी (यानी, केवल समानांतर में) का उपयोग करके जुगेन पर 8192 कोर तक अच्छी तरह से पैमाने पर दिखाया गया था । इसके अलावा, संचार लागत महत्वपूर्ण हो गई और समानांतर दक्षता कम होने लगी। PFASST के अलावा इस निश्चित आकार की समस्या को 262,144 कोर पर चलाने की अनुमति देता है (यानी, हमने JUGENE को भरा) 32 "समय" प्रोसेसर (जिनमें से प्रत्येक में 8192 "स्थानिक कोर" हैं) का उपयोग करके।

यद्यपि समय-समानांतर एल्गोरिदम की समानांतर दक्षता 100% नहीं है, हम इस PFASST + PEPC कॉन्फ़िगरेशन के साथ 32 PFASST प्रोसेसर का उपयोग करके लगभग 6.5x के स्पीडअप प्राप्त करने में सक्षम थे।

यहां एक प्रीपेयर की एक कड़ी दी गई है: एक बड़े पैमाने पर स्पेस-टाइम समानांतर एन-बॉडी सॉल्वर


मैट जो बहुत साफ-सुथरा लगता है, कृपया तैयार होने पर ड्राफ्ट के लिंक के साथ अपडेट करें।
एरन अहमदिया

बहुत बढ़िया, बस मैं क्या देख रहा था। और अच्छा काम, वैसे।
डेविड केचेसन

धन्यवाद! मैं जल्द ही एक लिंक पोस्ट करने की कोशिश करूंगा। BTW, मैंने PyPFASST के अंदर एक उथले पानी के पानी के स्थानिक डोमेन को वितरित करने के लिए एक PETS DA का सफलतापूर्वक उपयोग किया है।
मैथ्यू एम्मेट

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@ AronAhmadia, छाप से जुड़ा लिंक!
मैथ्यू एम्मेट

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अंतरिक्ष-समय के महानिदेशक और निरंतर गैलेरकिन विधियां भी हैं। क्वाडरेचर की पसंद के बाद, समय-दिशा में एक संरचित ग्रिड के साथ अंतरिक्ष-समय डीजी एक अंतर्निहित रन-कुंटा विधि के बराबर है। अंतरिक्ष-समय डीजी विधि, हालांकि, डोमेन के विभिन्न हिस्सों में अलग-अलग चरण आकार की अनुमति देती है, एक ऐसा मामला जो अंतर्निहित आरके विधियों के लिए विश्लेषण करना मुश्किल है। स्पेस-टाइम मल्टीग्रिड तरीकों को भी इस संदर्भ में लागू किया जा सकता है।


मुझे समझ नहीं आ रहा है कि यह समय-समानांतर कैसे है। क्या आप एक उदाहरण की ओर इशारा कर सकते हैं या अधिक समझा सकते हैं?
डेविड केचेसन

जब आप डोमेन को बड़ा करते हैं, तो आप दिए गए आकार के अधिक डोमेन में विघटित हो जाते हैं। स्पेस-टाइम विधियाँ समय आयाम को डोमेन में जोड़ती हैं, इस प्रकार समानता बढ़ती है। ध्यान दें कि मामूली आकार के समय के स्लैब के साथ अधिकतम प्रदर्शन के लिए एक साथ कई संबंधित चीजें करने के लिए बड़े कम्प्यूटेशनल फायदे हैं, आप अभी भी केवल अंतरिक्ष में विघटित हो सकते हैं और समय आयाम में स्थानीय रूप से वेक्टर कर सकते हैं।
जेड ब्राउन

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एक बार जब आप स्पेस-टाइम समानता को मानते हैं, तो सबडोमेन कई टाइम लेवल पर स्पेस-टाइम होता है। वेवफॉर्म विश्राम नामक एक विधि अंतरिक्ष-समय के उप-डोमेन का शोषण करती है, लेकिन केवल अंतरिक्ष में समानांतर होती है (समय आयाम में कोई विभाजन नहीं)। तो अंतरिक्ष विभाजन और समय विभाजन का एक कार्टेशियन एक तरह का स्पेस-टाइम समानता देता है। आप यहां इस तरह के कार्टेशियन पद्धति पर एक पेपर पा सकते हैं । जैसा कि जेड ब्राउन ने अपने जवाब में उल्लेख किया है, अंतरिक्ष-समय की विधि न केवल अधिक लचीला समानताएं देती है, बल्कि विवेक के लिए अनुकूलता भी है। उत्तरार्द्ध विषय पर, आप श्वाब के काम कर सकते हैं, उनकी परियोजना भी देखें । समानता और अनुकूलन दोनों का फायदा उठाने वाले काम के लिए, आप आर। हेन्स के होमपेज पर देख सकते हैं ।


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Parareal एल्गोरिथ्म और इसके संबंधित कार्यों पर एक नज़र डालें जैसे वर्णक्रमीय आस्थगित सुधार (एक साधारण Google खोज सामग्री का एक बहुत बदल जाता है)। मूल विचार समय में एक मोटे "मेष" का उपयोग करना है और एक कठिन समय कदम रखना है, लेकिन फिर उस पर वापस जाएं और बेहतर समय के पैमाने पर सुधार करें। यह ज्यादातर द्रव सिमुलेशन में उपयोग किया जाता है, लेकिन मैं इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स के क्षेत्र में हूं, इसलिए मैं वास्तव में इसके बारे में अधिक नहीं कह सकता। इसका एकमात्र कारण मुझे इसके बारे में पता है क्योंकि मैंने आस्थगित सुधार दृष्टिकोण पर एक सेमिनार में भाग लिया था और यह बहुत दिलचस्प लग रहा था कि किसी भी तरह का समानांतर समय में किया जा सकता है।


मैं उन लोगों के बारे में जानता हूं, लेकिन क्या आप ऐसे मामले की ओर इशारा कर सकते हैं जहां उनका उपयोग स्थानिक समानता के साथ किया जाता है?
डेविड केचेसन

स्पष्ट होना, आस्थगित या दोष सुधार योजनाएं अपने आप में Parareal और / या समय-समानांतर योजनाओं से कोई लेना-देना नहीं है।
मैथ्यू एम्मेट

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इष्टतम नियंत्रण में उपयोग की जाने वाली कई शूटिंग विधि इस तरह से डिज़ाइन की गई है कि प्रत्येक शूटिंग अंतराल पर उप-समस्याओं को समानांतर में हल किया जा सकता है। मुझे ऐसे कागजात की जानकारी नहीं है, जो इसे स्थानिक समानता से जोड़ते हैं (ऐसी कई इष्टतम नियंत्रण समस्याएं नहीं हैं जो अतीत में हल हो गई हैं जहां समीकरण एक समय-निर्भर स्थानिक पीडीई है) लेकिन यह स्पष्ट होगा कि समानांतरवाद कैसे करना है अंतरिक्ष और समय दोनों।

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