मैं एक अनुचित अभिन्न कैसे अनुमानित कर सकता हूं?

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मेरे पास एक फ़ंक्शन जो कि परिमित है, और मैं इस अभिन्न को अनुमानित करना चाहता हूं। $f(x,y,z)$
$\int_{R^3} f(x,y,z)dV$

मैं चतुर्भुज नियमों और इंटीग्रल के मोंटे कार्लो सन्निकटन से परिचित हूं, लेकिन मैं उन्हें अनंत डोमेन में लागू करने में कुछ कठिनाइयों को देखता हूं। मोंटे कार्लो मामले में, एक अनन्त क्षेत्र के नमूने के बारे में कैसे जाना जाता है (विशेषकर यदि अभिन्न अंग में अधिक योगदान देने वाले क्षेत्र अज्ञात हैं)? चतुर्भुज मामले में, मैं सबसे इष्टतम अंक कैसे खोजूं? क्या मुझे मूल रूप से केंद्रित एक मनमाने ढंग से बड़े क्षेत्र को ठीक करना चाहिए और विरल नियम लागू करना चाहिए? मैं इस अभिन्न के बारे में कैसे अनुमान लगा सकता हूं?

monte-carlo quadrature

— पॉल
स्रोत

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एक आयाम में, आप प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण का उपयोग करके अपने अनंत अंतराल को परिमित अंतराल में मैप कर सकते हैं, जैसे

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{u^{- 1} (a)}^{u^{- 1} (b)} f (u (t)) u^{'} (t) d t

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad \int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}f(u(t))u'(t)\,\mathrm dt$

जहाँ कुछ फ़ंक्शन है जो कुछ परिमित सीमा में अनंत तक जाता है, जैसे : $u(x)$ $\tan(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 2 \int_{- π / 2}^{π / 2} f (\tan (t)) \frac{1}{\cos (2 t) + 1} d t

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\tan(t))\frac{1}{\cos(2t)+1} \,\mathrm dt$

फिर आप संशोधित, परिमित अभिन्न के लिए किसी भी नियमित संख्यात्मक द्विघात दिनचर्या का उपयोग कर सकते हैं।

कई चरों के लिए प्रतिस्थापन थोड़ा मुश्किल है, लेकिन यहाँ बहुत अच्छी तरह से वर्णित है ।

— पेड्रो
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यह बहुत दिलचस्प है ... मैंने कभी भी प्रतिस्थापन की संभावना पर विचार नहीं किया! लेकिन क्या फ़ंक्शन की पसंद का अनुमान की सटीकता पर कोई प्रभाव पड़ता है?

u (t)

$u(t)$

— पॉल

@Paul: हां, निश्चित रूप से! फ़ंक्शन जितना संभव हो उतना आसान होना चाहिए जैसे कि को जितना संभव हो उतना सुचारू रखना , इस प्रकार अधिक सटीक एकीकरण की अनुमति देना।

u (t)

$u(t)$

f (u (t))

$f(u(t))$

— पेड्रो

यह सच है, लेकिन मेरे मन में क्या था जिस दर पर आप (टी) अनंत में परिवर्तित हो गए? क्या यह भी सटीकता को प्रभावित करता है?

— पॉल

1

@ पाओल: मुझे नहीं पता कि मैं आपके सवाल को सही ढंग से समझ पा रहा हूं, लेकिन इस फंक्शन को अनंत को एक बिंदु या किसी अन्य पर समाप्त करना होगा। यदि यह अपना समय लेता है और फिर तेजी से बढ़ता है, तो यह

में कुछ बड़े ग्रेडिएंट्स पेश करेगा , जिससे इसे एकीकृत करना अधिक कठिन हो जाता है और इस प्रकार सटीकता को प्रभावित कर सकता है।

f (u (t))

$f(u(t))$

— पेड्रो

1

स्पर्शरेखा के लिए आपकी व्युत्पत्ति गलत थी; मैंने ठीक कर दिया।

— जेएम

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$f(x)$ $e^{-x^2}$ $f$

$R^3$ $e^{-|x|^2}$

ऑनलाइन सूत्र http://nines.cs.kuleuven.be/ecf/ पर हैं

— अर्नोल्ड न्यूमैयर
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2

अगर आपका इंटीग्रेशन लगभग (-x ^ 2) है तो यह अच्छी तरह से काम करता है। यदि आपका अभिन्न अंग लगभग सामान्य है, लेकिन मूल से दूर केंद्रित है, तो यह दृष्टिकोण खराब काम कर सकता है।

— जॉन डी। कुक

1

e^{- x^{2}}

$e^{−x^2}$

7

एक आयामी चतुर्भुज के लिए, आप क्वाडपैक (एक स्वर्णिम पुराना लेकिन अभी भी एक आयामी चतुर्भुज में बहुत प्रासंगिक) पर पुस्तक की जांच कर सकते हैं और एक अनंत श्रेणी के लिए एक स्वचालित इंटीग्रेटर एल्गोरिथम QAGI में उपयोग की जाने वाली तकनीकें।

एक अन्य तकनीक डबल-एक्सपोनेंशियल क्वैडचर फॉर्मूला है, जो कि ऊरा द्वारा अनंत अंतराल के लिए लागू किया गया है ।

घनाक्षरी के लिए, आप रोनाल्ड कूल द्वारा शुन्य सूत्र के विश्वकोश की सलाह ले सकते हैं ।

— GertVdE
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2

ध्यान दें कि डबल-एक्सपोनेंशियल क्वाड्रैचर संक्षेप में एक प्रतिस्थापन विधि है; आप एक प्रतिस्थापन बनाते हैं जो आपकी अनंत-सीमा अभिन्न को एक अन्य अनंत-सीमा अभिन्न में बदल देता है, जिसका क्षय दर, अच्छी तरह से, डबल-एक्सपोनेंशियल है ...

— JM

1

@ जेएम सही। और आप इसे आईपोर-म्लेकौरिन योग सूत्र से बाहर निकालने के लिए ट्रैपेज़ॉइड नियम के रूप में प्राप्त करते हैं, जैसा कि आईएमटी रूपांतरित करता है और टैन ट्रांसफ़ॉर्म करता है। संस्थापक पिता में से एक द्वारा लिखित DE के इतिहास पर एक अच्छा पेपर यहाँ

— GertVdE

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$f(x)$ $\tilde f(x)$ $\tilde f$ $f$

$f(x)$ $\tilde f(x)=e^{-x^2}p(x)$ $p(x)$ $f(x)e^{x^2}$ $\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(x) dx$

— वोल्फगैंग बंगर्थ
स्रोत

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यदि आप मोंटे कार्लो एकीकरण का उपयोग करना चाहते हैं, तो आप एक नमूना के साथ महत्व के नमूने का उपयोग करके शुरू कर सकते हैं जो आपके इंटीग्रैंड का अनुमान लगाता है। आपका बेहतर नमूना आपके अभिन्न से मेल खाता है, आपके अभिन्न अनुमानों में कम विचरण। यह मायने नहीं रखता कि आपका डोमेन अनंत है जब तक कि आपके नमूने में एक ही डोमेन है।

— जॉन डी। कुक
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