फिक्स्ड पॉइंट समस्या में गैर-मोनोटोनिक अभिसरण

पृष्ठभूमि

मैं तरल सिद्धांत से ऑर्नस्टीन-ज़र्निक समीकरण के एक संस्करण को हल कर रहा हूं । संक्षेप में, समस्या को निर्धारित बिंदु समस्या को हल करने के रूप में दर्शाया जा सकता है , जहां एक पूर्णांक-बीजीय ऑपरेटर है और समाधान फ़ंक्शन (OZ प्रत्यक्ष सहसंबंध समारोह) है। मैं पिकार्ड पुनरावृत्ति द्वारा हल कर रहा हूं, जहां मैं एक प्रारंभिक परीक्षण समाधान प्रदान करता हूं और योजना द्वारा नए परीक्षण समाधान उत्पन्न करता जहां एक समायोज्य पैरामीटर है जो और के मिश्रण को नियंत्रित करता है $A c(r)=c(r)$ $A$ $c(r)$ $c_0(r)$

c_{j + 1} = α (A c_{j}) + (1 - α) c_{j},

$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$

α

$\alpha$

c

$c$

A c

$Ac$ अगले परीक्षण समाधान में इस्तेमाल किया। इस चर्चा के लिए, मान लें कि का मान महत्वहीन है। मैं तब तक दोहराता हूं जब तक कि पुनरावृत्ति वांछित सहिष्णुता में परिवर्तित नहीं हो जाती, : समस्या के मेरे संस्करण में, पैरामीटर पर निर्भर करता है , और मेरा सवाल यह है कि का अभिसरण इस पैरामीटर पर कैसे निर्भर करता है।

α

$\alpha$

ϵ

$\epsilon$

Δ_{j + 1} \equiv \int d \vec{r} | c_{j + 1} (r) - c_{j} (r) | < ϵ .

$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$

A

$A$

λ

$\lambda$

A c = c

$Ac=c$

लिए मानों की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए , ऊपर दी गई पुनरावृति योजना तेजी से तेज़ी से परिवर्तित होती है। हालाँकि, जैसा कि मैं घटाता हूं , मैं अंततः एक ऐसे शासन तक पहुंचता हूं जिसमें अभिसरण गैर-मोनोटोनिक है, जो नीचे चित्रित है। $\lambda$ $\lambda$

मुख्य सवाल

फिक्स्ड-पॉइंट समस्याओं के पुनरावृत्त समाधानों में, गैर-मोनोटोनिक अभिसरण का कोई विशेष महत्व है? क्या यह संकेत देता है कि मेरी पुनरावृत्ति योजना अस्थिरता के कगार पर है? सबसे महत्वपूर्ण बात , क्या गैर-मोनोटोन अभिसरण से मुझे संदेह हो सकता है कि "अभिसरण" समाधान निश्चित बिंदु समस्या का एक अच्छा समाधान नहीं है?

iterative-method convergence

— Endulum
स्रोत

मान लीजिए कि , के विलयन में अज्ञात स्वतंत्र चर है , तो निश्चित बिंदु विधि एक बिंदु से परिवर्तित होगी, बशर्ते कि याकूबियन , जहां एक स्थिर है । सामान्य रूप से एक एकल बिंदु नहीं है, लेकिन पुनरावृत्ति योजना द्वारा ट्रेस किया गया डोमेन। $x$ $x=f(x)$ $x^*$ $\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$ $\alpha$ $<1$ $x^*$

आपका समाधान गैर-नीरस रूप से परिवर्तित हो रहा है। अगर आप यह देखने के लिए संतुष्ट नहीं हैं कि आप क्या देख रहे हैं, तो यह समझाने के लिए कि संतोषजनक अभिसरण मानदंड से जाएं, तो और समाधान चर के विभिन्न मूल्यों के लिए अपने जेकबियन की जाँच करें । $\lambda$
यदि आपका समाधान एक अच्छी तरह से स्थापित रिश्तेदार सहिष्णुता में परिवर्तित हो गया है, जो छोटी संख्या के लिए भी जिम्मेदार है, तो यह है।

— NameRakes
स्रोत

क्या आप अपने दूसरे बिंदु को स्पष्ट कर सकते हैं?

— एंडुलम

अंतरलगातार दो पुनरावृत्तियों के बीच तुलना की जा सकती है जहाँ एक सापेक्ष सहिष्णुता है।

| x_{j + 1} - x_{j} |

$|x_{j+1}-x_j|$

| x_{j} | ϵ

$|x_j| \thinspace \epsilon$

ϵ

$\epsilon$

— NameRakes