न्यूटन-राफसन से परे गैर-रेखीय संवहन-प्रसार प्रणाली को हल करने के तरीके?

मैं एक ऐसी परियोजना पर काम कर रहा हूँ जहाँ मेरे पास दो अलग-अलग युग्मित डोमेन हैं, उनके संबंधित स्रोत शब्दों के माध्यम से (एक डोमेन द्रव्यमान जोड़ता है, दूसरा घटाव द्रव्यमान)। संक्षिप्तता के लिए, मैं उन्हें स्थिर स्थिति में मॉडलिंग कर रहा हूं। समीकरण आपके मानक उत्तोलन-प्रसार परिवहन समीकरण हैं, जिसका स्रोत शब्द इस प्रकार है:

\frac{\partial {सी}_{1}}{\partial टी} = 0 = {एफ}_{1} + {क्यू}_{1} ({सी}_{1}, {सी}_{2}) \frac{\partial {सी}_{2}}{\partial टी} = 0 = {एफ}_{2} + {क्यू}_{2} ({सी}_{1}, {सी}_{2})

$\frac{\partial c_1}{\partial t} = 0 = \mathcal{F}_1 + \mathcal{Q}_1(c_1,c_2) \\ \frac{\partial c_2}{\partial t} = 0 = \mathcal{F}_2 + \mathcal{Q}_2(c_1,c_2)$

कहाँ है वाचाल और advective प्रजातियों के लिए प्रवाह , और प्रजातियों के लिए स्रोत शब्द है । $\mathcal{F}_i$ $i$ $\mathcal{Q}_i$ $i$

मैं न्यूटन-राफसन विधि का उपयोग करके अपनी समस्या के लिए एक सॉल्वर लिखने में सक्षम हूं, और एक ब्लॉक मास मैट्रिक्स का उपयोग करके दो डोमेन को पूरी तरह से युग्मित किया है, अर्थात:

{एफ}_{सी ओ यू पी एल इ घ} = [\begin{array}{cc} ए_{1} & 0 \\ 0 & ए_{2} \end{array}] \underset{{एक्स}_{मैं}}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} {सी}_{1, मैं} \\ {सी}_{2, मैं} \end{matrix}]}} - [\begin{matrix} ख_{1} ({सी}_{1, मैं}, {सी}_{2, मैं}) \\ ख_{2} ({सी}_{1, मैं}, {सी}_{2, मैं}) \end{matrix}]

$F_{coupled} = \left[\begin{array}{c c} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \\ \end{array}\right]\underbrace{ \left[\begin{array}{c} c_{1,i} \\ c_{2,i} \\ \end{array}\right] }_{x_i} - \left[\begin{array}{c} b_1(c_{1,i}, c_{2,i}) \\ b_2(c_{1,i}, c_{2,i}) \\ \end{array}\right]$

शब्द $F_{coupled}$ का उपयोग मैट्रिक्स को निर्धारित करने और $c_1$ और दोनों को अपडेट करने के लिए किया जाता है $c_2$ :

जे ({एक्स}_{मैं}) [{एक्स}_{मैं + 1} - {एक्स}_{मैं}] = - {एफ}_{सी ओ यू पी एल इ घ}

$\mathcal{J}(x_i) \left[x_{i+1} - x_i \right] = -\mathcal{F}_{coupled}$

या

{एक्स}_{मैं + 1} = {एक्स}_{मैं} - {(जे ({एक्स}_{मैं}))}^{- 1} {एफ}_{सी ओ यू पी एल इ घ}

$x_{i+1} = x_i - \left(\mathcal{J}(x_i)\right)^{-1} \mathcal{F}_{coupled}$

चीजों को गति देने के लिए, मैं हर पुनरावृत्ति की गणना नहीं करता हूं - अभी मैं हर पांच पुनरावृत्तियों के साथ खेल रहा हूं, जो कि अच्छी तरह से काम करने और समाधान को स्थिर रखने के लिए लग रहा है।

समस्या यह है: मैं एक बड़े सिस्टम में जा रहा हूं, जहां दोनों डोमेन 2D / 2.5D में हैं, और याकूबियन मैट्रिक्स की गणना मेरे उपलब्ध कंप्यूटर संसाधनों को जल्दी से समाप्त करने जा रही है। मैं इस मॉडल का निर्माण बाद में अनुकूलन सेटिंग में उपयोग करने के लिए कर रहा हूं, इसलिए मैं भिगोना कारक, आदि को ट्यूनिंग करते हुए हर पुनरावृत्ति पर पहिया के पीछे नहीं हो सकता।

क्या मैं अपनी समस्या के लिए कहीं अधिक मजबूत और एल्गोरिथ्म के लिए कहीं और देखने का अधिकार हूं, या क्या यह उतना ही अच्छा है जितना इसे प्राप्त करना है? मैंने Quasi-linearization में थोड़ा सा देखा है, लेकिन यह सुनिश्चित नहीं है कि यह मेरे सिस्टम के लिए कितना लागू है।

क्या कोई अन्य चालाक एल्गोरिदम है जो मुझे याद हो सकता है जो जैकोबियन को फिर से गणना करने का सहारा लेने के बिना नॉनलाइनियर समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकता है?

— cbcoutinho
स्रोत

क्या आपने एएमजी के रूप में पुनरावृत्त सॉल्वर माना है - बीजीय बहुआयामी विधियां। आपको अच्छे पूर्व-छात्रों के साथ आने की आवश्यकता हो सकती है जो भौतिकी आधारित है।

— NameRakes

क्या आप एक कंप्यूटिंग क्लस्टर तक पहुँच प्राप्त कर सकते हैं जहाँ आप एक समानांतर रैखिक बीजगणित पैकेज का उपयोग करके याकूबियन गठन और समाधान वितरित कर सकते हैं?

— बिल बर्थ

नहीं, मैंने एएमजी पर विचार नहीं किया है, मैंने सोचा कि वे केवल सममित प्रणालियों के लिए हैं और संवहन-वर्चस्व वाली समस्याओं में इस्तेमाल नहीं किया जा सकता है। मैं एएमजी के लिए साहित्य में फिर से देखूंगा।

— cbcoutinho

समानांतर गणना मुश्किल है क्योंकि इस परियोजना को उन सहयोगियों के लिए एक स्टैंडअलोन एप्लिकेशन के रूप में विकसित किया जा रहा है जिनके पास उन प्रकार के संसाधनों तक पहुंच नहीं है। मैंने अपने स्वयं के लिए प्रोजेक्ट में एमपीआई को विकसित करने पर विचार किया, लेकिन इससे दूसरों के लिए प्रवेश की बाधा बढ़ जाएगी, जो पूरे मामले में पहली जगह थी ..

— cbcoutinho

याकूब की गणना इतनी समस्याग्रस्त क्यों है? यदि आप परिमित अंतर / मात्रा / तत्वों का उपयोग कर रहे हैं, तो इसमें एक विरल हिस्सा होना चाहिए जो हमेशा समान और एक विकर्ण भाग होता है जो बदलता है लेकिन गणना करने के लिए तुच्छ है।

— डेविड केचेसन

जवाबों:

मैं 2 डी और 3 डी में सीमा मान रहा हूँ याकूब का भंडारण कर रहा हूँ।

एक विकल्प टाइम डेरिवेटिव को बनाए रखना है और एक स्पष्ट "छद्म" टाइम-स्टेप का उपयोग करके स्थिर स्थिति में चलना है। आम तौर पर सीएफएल संख्या जो आपको विसरित और प्रतिक्रियाशील प्रणालियों के लिए आवश्यक होती है, निषेधात्मक रूप से छोटी हो सकती है। आप अभिसरण को गति देने के लिए नॉनलाइनियर मल्टीग्रिड (इसे पूर्ण स्वीकृति संग्रहण मल्टीग्रिड भी कहा जाता है) और स्थानीय समय-कदम की कोशिश कर सकते हैं।

अन्य विकल्प पूरी तरह से अंतर्निहित योजना का उपयोग करना है जैसा कि आप अभी कर रहे हैं, लेकिन वैश्विक याकूब को संग्रहीत नहीं करते हैं। आप एक मैट्रिक्स मुक्त अंतर्निहित योजना का उपयोग कर सकते हैं। (जहां जैकबियन है) को GMRES और BiCGStab जैसे Krylov उप-सॉल्वर के साथ हल किया जा सकता है, इस तथ्य का उपयोग करके ऐसा इसलिए है क्योंकि GMRES और BiCGStab को LHS मैट्रिक्स आवश्यकता नहीं है , उन्हें केवल अपने उत्पाद को वेक्टर दिए गए कंप्यूटर की गणना करने में सक्षम होना चाहिए ।

D F (u^{n}) δ u^{n} = - F (u^{n})

$DF(u^n)\, \delta u^n = -F(u^n)$

D F

$DF$

D एफ ({यू}^{n}) δ यू \approx \frac{एफ ({यू}^{n} + ε \frac{δ यू}{‖ δ यू ‖}) - एफ ({यू}^{n})}{ε} ।

$DF(u^n)\, \delta u \approx \frac{F(u^n+\epsilon\frac{\delta u}{\Vert\delta u\Vert}) - F(u^n)}{\epsilon}.$

A

$A$

A x

$Ax$

x

$x$

अब एक उचित मूल्य (आमतौर पर लगभग डबल-सटीक फ़्लोट्स के लिए) के साथ आप न्यूटन लूप को कभी भी कंप्यूटिंग या एक याकूब के भंडारण के बिना निष्पादित कर सकते हैं। मैं एक तथ्य के लिए जानता हूं कि इस तकनीक का उपयोग कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी में कुछ गैर-तुच्छ मामलों को हल करने के लिए किया जाता है। ध्यान दें, हालांकि, फ़ंक्शन- के मूल्यांकन की संख्या मैट्रिक्स-वेक्टर उत्पाद की आवश्यकता के बजाय, मैट्रिक्स-स्टोरेज तकनीक से अधिक होगी। $\epsilon$ $10^{-7}$ $F$

एक और बात ध्यान देने योग्य है कि यदि आपका सिस्टम ऐसा है, जिसमें एक शक्तिशाली प्रीकॉन्डिशनर की जरूरत है (यानी जैकोबी या ब्लॉक-जैकोबी पर्याप्त नहीं होगी), तो आप एक मल्टीगैस स्कीम में एक स्मूथ के रूप में उपर्युक्त विधि का उपयोग करने की कोशिश कर सकते हैं। यदि आप एक बिंदु- या ब्लॉक-जैकोबी प्रीकॉन्डिशनर की कोशिश करना चाहते हैं, तो आप केवल जैकबियन के विकर्ण तत्वों या विकर्ण ब्लॉकों की गणना और भंडारण कर सकते हैं, जो बहुत ज्यादा नहीं है। मैं यह भी उल्लेख करूंगा कि एक गॉस-सीडेल या एसएसओआर पूर्वनिर्देशक एक जैकबियन को स्पष्ट रूप से संग्रहीत किए बिना लागू करना संभव हो सकता है। यह पत्र कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी के संदर्भ में मैट्रिक्स मुक्त सममित गौस-सेडेल के साथ पूर्ववर्ती मैट्रिक्स मुक्त GMRES के कार्यान्वयन का वर्णन करता है।

— आदित्य काशी
स्रोत

नवियर-स्टोक्स समीकरणों के साथ मेरे अनुभव से, कोई भी पूरी तरह से निहित योजनाओं के बिना बहुत अच्छा कर सकता है।

यदि आप समय विकास के समाधान के लिए एक त्वरित संख्यात्मक योजना चाहते हैं, तो IMEX (निहित-स्पष्ट) योजनाओं पर एक नज़र डालें; असकर, रूथ, स्पीति इंप्लांट - एक्सप्लोसिव रनज - कुट्टा मेथड्स टाइम-डिपेंडेंट पार्टिकल डिफरेंशियल इक्वेशन के लिए देखें ।

तुम भी कदम आकार नियंत्रण (Matlab की तरह ODE45) के साथ एक स्पष्ट उच्च क्रम समय एकीकरण योजना का उपयोग करने की कोशिश कर सकते हैं । हालाँकि, आप अपने सिस्टम की कठोरता के कारण परेशानी में पड़ सकते हैं, जो विसरित भाग से आता है। सौभाग्य से, विसरित भाग रैखिक होता है ताकि इसका उपचार अंतर्निहित रूप से किया जा सके (जो कि IMEX योजनाओं का विचार है)।

— जनवरी
स्रोत

पहले तो मैंने केवल एक टिप्पणी को जोड़ने के लिए विचार किया, लेकिन अंतरिक्ष पर्याप्त नहीं था, इसलिए मैं इस विषय के साथ अपने अनुभवों का कुछ संक्षिप्त विवरण जोड़ता हूं।

सबसे पहले, आपके अंकन को देखते हुए, मैं युग्मित फ़ॉर्म नहीं देखता, मुझे लगता है कि और दोनों और पर निर्भर होंगे । इसके अलावा अगर और और के सन्निकटन के मैट्रिक्स निरूपण हैं, तो उन्हें केवल पर ही नहीं , बल्कि पड़ोसी मूल्यों पर भी निर्भर होना चाहिए , लेकिन यह केवल आपके अंकन की गलत समझ हो सकती है। । $F_{coupled}$ $b_1$ $b_2$ $c_{1,i}$ $c_{2,i}$ $A_1$ $A_2$ $\mathcal{F}_1$ $\mathcal{F}_2$ $c_i$

एक सामान्य टिप्पणी के रूप में, मैं यह जोड़ना चाहूंगा कि विश्लेषणात्मक जैकोबियान का उपयोग नॉनलाइनर पुनरावृत्त सॉल्वर (यानी आपके मामले में न्यूटन-राफसन सॉल्वर) के द्विघात अभिसरण को प्राप्त करने का एकमात्र तरीका प्रतीत होता है। क्या आपने इसे अपने मामले में देखा था? यह काफी महत्वपूर्ण है, क्योंकि अन्यथा आपके सन्निकटन (रैखिककरण) में कुछ गलतफहमी हो सकती है।

सभी अनुप्रयोगों में मैं शामिल था (उनमें से कुछ में बड़े पैमाने पर संगणनाएं शामिल थीं) हमने कभी भी जैकबियन को इकट्ठा करने के समय की खपत के साथ जारी नहीं किया था, सबसे अधिक समय लेने वाला मुद्दा हमेशा एक रैखिक सॉल्वर लागू होता था। विश्लेषणात्मक जैकबियन (यदि उपलब्ध है) हमेशा उन अनुप्रयोगों में रहा है जो मैं द्विघात अभिसरण के कारण पसंदीदा विकल्प पर काम कर रहा था। कुछ मामलों में ऐसे नेलिनियर सॉल्वर एक मैट्रिक्स का निर्माण करते हैं जो पुनरावृत्त लीनियर सॉल्वर के अभिसरण का कारण बनता है, इसलिए हमने लीनियर सॉल्वर की मदद करने के लिए विश्लेषणात्मक जेकबियन की तुलना में सरल रेखीयकरण का उपयोग करने की कोशिश की। Nonlinear बीजीय प्रणाली के रैखिककरण के आधार पर nonlinear और रैखिक बीजगणितीय सॉल्वर के व्यवहार के बीच ऐसा व्यापार हमेशा मुश्किल था और मैं एक सामान्य सिफारिश नहीं दे सकता था।

लेकिन आप सही हैं कि पीडीई की प्रणाली के लिए विश्लेषणात्मक जैकबियन की खामी (या संपत्ति) यह है कि यह युग्मित बीजीय प्रणाली का उत्पादन करता है, इसलिए यदि आप किसी भी तरह से इस तरह की प्रणाली को अपघटित करते हैं, उदाहरण के लिए, प्रत्येक पीडीई के अलग-अलग हल करके, यह कहें कि पुनरावृत्ति विभाजन विधि, फिर आप वैश्विक सॉल्वर के द्विघात अभिसरण को ढीला करते हैं। लेकिन फिर कम से कम यदि आप प्रत्येक अलग-अलग विघटित (डिकॉउड) पीडीई को हल करते हैं, तो आप न्यूटन-राफसन विधि का उपयोग करके फिर से इस विशेष समस्या के समाधान को गति दे सकते हैं।

— पीटर फ्रोलकोविक
स्रोत

Howdy @Peter, आप युग्मन के बारे में सही हैं, मैंने दिखाने के लिए मुख्य समीकरण को संपादित किया है और

b_{1}

$b_1$ तथा

b_{2}

$b_2$ के दोनों कार्य हैं

c_{1}

$c_1$ तथा

c_{2}

$c_2$ । मेट्रिसेस

A_{1}

$A_1$ तथा

A_{2}

$A_2$ इस मामले में दोनों प्रणालियों की कठोरता परिपक्वता है, जो परिमित तत्व विधि का उपयोग करके विकसित की जाती है। वे केवल नोड्स के निर्देशांक के कार्य हैं, न कि राज्य के चर के।

F_{1}

$F_1$ तथा

F_{2}

$F_2$ वैक्टर हैं, इसलिए वे केवल एक वेरिएबल नहीं, बल्कि स्टेट वैरिएबल के वेक्टर के कार्य हैं। मैं सूक्ष्म अंतर का उपयोग करते हुए एक याकूब को संख्यात्मक रूप से गणना करता हूं। मैंने अब तक एक विश्लेषणात्मक जैकबियन की जांच नहीं की है।

— cbcoutinho