मेष-निर्भर स्थिरता वाले तत्वों की उपयोगिता

3 डी स्टोक्स समस्या में तत्वों की स्थिरता से संबंधित कुछ गणित करने के बाद मुझे यह महसूस करने के लिए थोड़ा झटका लगा कि एक मनमाना टेट्राहेड्रल मेष के लिए स्थिर नहीं है। अधिक सटीक रूप से, यदि आपके पास एक ऐसा तत्व है जहां सभी नोड्स और चार में से तीन पहलू एक डिरिचलेट स्थिति के साथ डोमेन की सीमा पर स्थित हैं, तो आप एक विलक्षण मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं। यह वास्तव में स्टोक्स प्रणाली के कमजोर रूप से निष्कर्ष निकालने के लिए काफी तुच्छ है। $P_2-P_1$

मैंने एकमात्र वाणिज्यिक स्टोक्स कोड का परीक्षण किया, जिसकी मुझे (COMSOL) तक पहुँच है और इसने मुझे इस तरह का जाल बनाने की अनुमति दी। हल पर क्लिक करने पर मुझे उम्मीद के मुताबिक 'त्रुटि: विलक्षण मैट्रिक्स' मिलता है। (मैं इस धारणा के तहत हूं कि COMSOL अपने रेंगने वाले प्रवाह मॉड्यूल के लिए का उपयोग करता है ।) $P_2-P_1$

आगे के परीक्षण के लिए कि समस्या अन्य विन्यास से संबंधित नहीं थी, मैंने निम्नलिखित जाल की कोशिश की और सब कुछ उम्मीद के मुताबिक काम करता है।

प्रश्न: क्या इस तरह की बाधा को (अनुकूली या गैर-अनुकूली) जाल जनरेटर में ध्यान में रखा जाता है? मैं विभिन्न शोध पत्रों से देखता हूं कि यह तत्व काफी लोकप्रिय है। क्या इस तरह की सीमा अस्थिरता आम तौर पर उपयोग के लिए एक विधि का चयन करते समय महत्वहीन के रूप में अवहेलना की जाती है? इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि वास्तव में एक स्थिर परिमित तत्व होने का क्या मतलब है , यानी किस तरह के मेष-निर्भर अस्थिरताएं बहुत अधिक हैं ताकि हम निष्कर्ष निकाल सकें कि विधि खराब है?

stability navier-stokes unstructured-mesh

— knl
स्रोत

दिलचस्प सवाल! जहां तक मैं देखता हूं, ये तत्व आमतौर पर क्यूब्स पर संरचित टेट्राहेड्रल जाल पीढ़ी से उत्पन्न होते हैं और ऐसे वास्तविक अनुप्रयोगों में केवल एक छोटी भूमिका निभाते हैं, जहां आपके पास असंरचित नोडल एल्गोरिदम है। मैंने थोड़ी देर पहले लगभग कोशिश की है और पूरी तरह से असंरचित मेषों का उत्पादन करने वाले मेष जनरेटर के साथ इस तरह के जाल का उत्पादन करने में सक्षम नहीं था। मुझे संदेह है कि वे ऐसे अति-विवश तत्वों से बचने के लिए एक तंत्र का उपयोग करते हैं। हालांकि मुझे COMSOL तक कोई पहुंच नहीं है, लेकिन मुझे लगता है कि ज्यादातर सॉल्वरों के लिए ये तत्व एक महत्वपूर्ण समस्या नहीं है।

— ईसाई वालुगा

मुझे आश्चर्य है कि अगर यह भी मिनी तत्व के साथ एक समस्या है?

— डैनियल शेपरो

(\nabla \cdot v, p) = 0 \forall v \in V_{h} \Rightarrow p = global const.

$(\nabla\cdot v, p)=0~\forall v \in V_h \Rightarrow p =\text{global const.}$

p (x, y) = a + b x + c y

$p(x,y)=a+bx+cy$

v = (b ϕ, c ϕ)

$v=(b\phi,c\phi)$

ϕ

$\phi$

p

$p$

$p$ $p$

आमतौर पर मेष जनरेटर के पास इसे संभालने का एक विकल्प होता है, उदाहरण के लिए 2D जाल जनरेटर bamgके freefem++पास एक -splitpbedgeविकल्प होता है जो किसी भी किनारे के बीच में एक नोड जोड़ता है जिसके दोनों छोर सीमा पर होते हैं। bamgप्रलेखन के अनुसार , असंरचित मेष पीढ़ी ऐसे त्रिकोणों को वापस कर सकती है ।

— Joce
स्रोत

क्या आपको यकीन है कि यह 2 डी स्टोक्स में उदाहरण के लिए टेलर-हूड के साथ है? मेरा अंतर्ज्ञान मुझे बताता है कि किनारे से संबंधित डीओएफ वहां की स्थिति को बचाता है। 3 डी टेलर-हूड में, फेस से संबंधित कोई डीओएफ नहीं है और इसलिए अस्थिरता होती है।

— kn

आप सही हैं, यह मामला हो सकता है। मुझे लगता है कि टेलर-हुड के लिए inf-sup की स्थिति का वेरफू्रट प्रमाण इस की जाँच करने के लिए पर्याप्त रचनात्मक है, लेकिन अभी समय नहीं है।

— Joce