पीडीई के मजबूत बनाम कमजोर समाधान

पीडीई के मजबूत रूप के लिए आवश्यक है कि अज्ञात समाधान । लेकिन कमजोर रूप के लिए केवल यह आवश्यक है कि अज्ञात समाधान । $H^2$ $H^1$

आप इसे कैसे समेटेंगे?

pde weak-solution

— मोहम्मद चेड्डी
स्रोत

कमजोर समाधानों का वर्ग मजबूत समाधानों के वर्ग से बड़ा है (प्रत्येक मजबूत समाधान भी एक कमजोर समाधान है, लेकिन हर कमजोर समाधान भी एक मजबूत समाधान नहीं है)।

— ईसाई क्लासन

लेकिन एक ही उपाय है।

— मोहम्मद चेदिदी

प्रत्येक (उपयुक्त) दाहिने हाथ की ओर कार्य या (उपयुक्त) सीमा स्थितियों के सेट के लिए एक समाधान है। उपयुक्त आरएचएस या बीसी के रिक्त स्थान मजबूत लोगों की तुलना में कमजोर समाधानों के लिए बड़े हैं।

— बिल बर्थ

आइए पॉइज़न के समीकरण का सबसे सरल मामला देखें एक डोमेन एक साथ सजातीय डिरिचलेट शर्तों के साथ सीमा के पर । हम अब मान लेते हैं कि उतना ही सुचारू है जितना हम चाहते हैं (जैसे, फ़ंक्शन द्वारा पैरामीट्रिक किया जा सकता है) - यह बाद में महत्वपूर्ण होगा।

\begin{matrix} (1) & - Δ यू = च \end{matrix}

$-\Delta u = f \tag{1}$

Ω \subset R^{n}

$\Omega\subset \mathbb{R}^n$

\begin{matrix} (2) & यू |_{\partial Ω} = 0 \end{matrix}

$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$

\partial Ω

$\partial\Omega$

Ω

$\Omega$

\partial Ω

$\partial\Omega$

C^{\infty}

$C^\infty$

अब सवाल यह है कि (विशुद्ध रूप से औपचारिक) पीडीई व्याख्या कैसे की जाए । आमतौर पर, इसका उत्तर व्युत्पन्न व्याख्या करने के तरीके के रूप में दिया जाता है , लेकिन हमारे उद्देश्य के लिए समीकरण की व्याख्या कैसे करें, इस पर ध्यान देना बेहतर है । $(1)$ $\Delta$

PDE को हर ओ _ के लिए पॉइंटवाइज रखने के लिए माना जाता है । यह समझ में आने के लिए, दाहिने हाथ की ओर निरंतर होना चाहिए, अन्यथा हम पॉइंट वाइज मानों के बारे में नहीं बोल सकते हैं । इस का मतलब है समाधान की दूसरी (शास्त्रीय) डेरिवेटिव कि निरंतर होना चाहिए, यानी, हम के लिए देखो करने के लिए है । एक समारोह कि संतुष्ट करता है सीमा शर्त के साथ एक साथ $(1)$ $x\in\Omega$ $f$ $f(x)$ $u$ $u\in C^2(\Omega)$

$u\in C^2(\Omega)$ $(1)$ $(2)$ पॉइंटवाइज़ कोशास्त्रीय समाधानकहा जाता है(कभी-कभी, दुर्भाग्य से,मजबूत समाधानभी)।
आवश्यकता है कि $f$ निरंतर है व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक है। अगर हम केवल यह मान $(1)$ पकड़ के लिए लगभग हर के लिए pointwise $x\in \Omega$ (यानी, हर जगह Lebesgue उपाय शून्य के सेट को छोड़ कर), तो हम साथ भाग प्राप्त कर सकते हैं $f\in L^2(\Omega)$ । इसका मतलब है कि दूसरे डेरिवेटिव में कार्य हैं $L^2$ , जो समझ में आता है कि अगर हम ले कमजोर डेरिवेटिव और इसलिए देखने के $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ । (याद रखें कि कार्यों के लिए $u$ कि निरंतर नहीं हैं, हम नहीं कर सीमा शर्त ले जा सकते हैं $(2)$ pointwise। के बाद से $\partial \Omega$ शून्य Lebesgue उपाय के एक सबसेट के रूप में है $\bar\Omega$ , pointwise लगभग हर जगह मतलब नहीं है या तो।)

एक समारोह $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ कि संतुष्ट करता है $(1)$ pointwise लगभग हर जगह कहा जाता है एकमजबूत समाधान। ध्यान दें कि यह सामान्य रूप से आवश्यक और गैर-तुच्छ है कि ऐसा समाधान मौजूद है और अद्वितीय है (जो कि यहां उदाहरण के लिए मामला है)।
यदि हम पहले से ही कमजोर डेरिवेटिव से निपट रहे हैं, तो हम $f$ पर मान्यताओं को और भी शिथिल कर सकते हैं । अगर हम ले $(1)$ एक के रूप में पकड़ करने के लिए में सार ऑपरेटर समीकरण $H^{-1}(\Omega)$ , की दोहरी अंतरिक्ष $H^1_0(\Omega)$ , तो यह सभी के लिए समझ में आता है $f\in H^{-1}(\Omega)$ (एक है जो $L^2(\Omega)$ से बड़ा स्थान । दोहरी जगह और कमजोर व्युत्पन्न की परिभाषा से बहुत ज्यादा, $(1)$ इस अर्थ में के बराबर है परिवर्तन संबंधी समीकरण
$\begin{matrix} (3) & \int_{Ω} \nabla u (x) \cdot \nabla v (x) d x = \int_{Ω} f (x) v (x) d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}$ $\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$
एक समारोह $u\in H^1_0(\Omega)$ कि संतुष्ट करता है $(3)$ एक कहा जाता हैकमजोर समाधान। फिर, यह सामान्य रूप से आवश्यक और गैर-तुच्छ है कि ऐसा समाधान मौजूद है और यह अद्वितीय है (जो कि यहां उदाहरण के लिए मामला है)।

अब, चूंकि शास्त्रीय व्युत्पन्न भी कमजोर व्युत्पन्न हैं, इसलिए प्रत्येक शास्त्रीय समाधान भी एक मजबूत समाधान है। इसी तरह, एम्बेड करके $H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$ , एक कमजोर समाधान हर मजबूत समाधान भी है। अन्य दिशाएँ अधिक सूक्ष्म हैं।

अगर $(3)$ एक अनूठा समाधान, जो इसके अलावा संतुष्ट $u\in H^2(\Omega)$ के लिए $f\in L^2(\Omega)$ (बल्कि सिर्फ तुलना में $H^{-1}(\Omega)$ ), तो कमजोर समाधान भी एक मजबूत समाधान है (और के लिए $n=2$ भी इस मामले में के बाद से एक शास्त्रीय समाधान $H^2(\Omega)$ में एम्बेड करता है $C(\bar\Omega)$ )। इस गुण को कभी-कभी कहा जाता हैमैक्सिमल (अण्डाकार) नियमितता , और सीमा मान $\partial\Omega$ (और सीमा डेटा) को संभालने वाले समीकरण के लिए पर्याप्त चिकनी है। (यह वह जगह है जहाँ उपरोक्त धारणा आती है।)
अन्यथा, यह भी के लिए भी हो सकता है $f\in L^2(\Omega)$ PDE एक कमजोर समाधान नहीं बल्कि एक मजबूत समाधान है।
यदि अधिकतम नियमितता धारण नहीं करती है, तो यह भी हो सकता है कि पीडीई का एक अनूठा मजबूत समाधान है (जो कि एक कमजोर समाधान भी है), लेकिन एक अद्वितीय कमजोर समाधान नहीं है। इस का अर्थ है कि में, जैसे कई कमजोर समाधान मौजूद है कि, $H^1_0(\Omega)$ , लेकिन जिनमें से केवल एक में भी है $H^2(\Omega)$ और इसलिए एक मजबूत समाधान। (वास्तविक उदाहरणों में अधिक जटिल रिक्त स्थान की आवश्यकता है; देखें, उदाहरण के लिए, मेयर, क्रिश्चियन; पेंजि, लूसिया; शियाला, एंटोन , राज्य-विवश दीर्घवृत्त इष्टतम नियंत्रण , न्यूमेर। समीपवर्ती समीकरण के लिए विशिष्टता मानदंड । । 9, 983-1007 (2011)। ZBL1230.35041, या अधिक जटिल, गैर-रेखीय, समीकरण; देखें, उदाहरण के लिए, http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/ ।)

— ईसाई क्लैसन
स्रोत

मुझे यह उत्तर वास्तव में उपयोगी लगा। क्या आप अपने उत्तर के अपने अंतिम भाग का संदर्भ प्रदान कर सकते हैं? मैं एक उदाहरण देखना चाहूंगा जहां एक पीडीई के पास एक अनूठा मजबूत समाधान है, लेकिन कई कमजोर समाधानों की अनुमति देता है। धन्यवाद!

— इंडक्शन