में से

Question

सिस्टम को देखते हुए जहाँ , मैंने पढ़ा कि, अगर मामले में जैकोबी पुनरावृत्ति को एक सॉल्वर के रूप में उपयोग किया जाता है, तो विधि अभिसरण नहीं करेगी यदि में एक गैर-शून्य है के अशक्त स्थान में घटक । तो, एक औपचारिक रूप से कैसे हो सकता है, बशर्ते कि में शून्य- का अशक्त घटक है , जैकोबी विधि गैर-अभिसरण है? मुझे आश्चर्य है कि यह कैसे गणितीय रूप से औपचारिक हो सकता है, क्योंकि समाधान के हिस्से के बाद से अशक्त अंतरिक्ष में अभिसरण होता है।

$$Ax=b,$$ $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$$b$$A$$b$$A$

इसलिए, प्रत्येक पुनरावृति में से के अशक्त-स्थान को प्रक्षेपित करके , यह अभिसरण करता है (या?)।$A$

.........

मैं विशेष रूप से के मामले में दिलचस्पी रखता हूं जहां एक वेक्टर , द्वारा फैलाया गया नल-स्थान के साथ एक सममित लैपलियन मैट्रिक्स है। में , के शून्य-स्थान में एक शून्य घटक है जहाँ केंद्रस्थ मैट्रिक्स है। क्या इसका मतलब यह है कि प्रत्येक जैकोबी पुनरावृति में का अशक्त स्थान होगा, अर्थात, प्रत्येक पुनरावृति केंद्रित होगी ? मैं यह तब से पूछ रहा हूँ जब तक जैकोबी के पुनरावृत्तियों (या, दूसरे शब्दों में, केंद्र से) के के अशक्त-स्थान को प्रोजेक्ट करने की आवश्यकता नहीं होगी।

$$Lx=b,$$ $L$$1_n=[1\dots 1]^T\in\mathbb{R}^n$$b$$L$ $$Jb=b,$$ $J=I-\frac{1}{n}1_n1_n^T$$L$$L$ iterates)।

Comments

यह प्रश्न आपके लिए भी प्रासंगिक हो सकता है: scicomp.stackexchange.com/questions/1505/…

— shuhalo

धन्यवाद। मैंने वास्तव में अपनी टिप्पणियों से एक अर्क बनाया है, क्योंकि सवाल खुद ही ध्यान देने योग्य है। हालांकि, उपरोक्त को संबोधित नहीं किया गया था (औपचारिक रूप से नहीं, कम से कम)।

— usero

ओह, मुझ पर शर्म करो, मैंने जांच नहीं की यह आपका अपना सवाल था।

— शुहालो

पर आपका जवाब @JedBrown scicomp.stackexchange.com/questions/1505/... इस सवाल को प्रेरित किया। मुझे लगता है कि यह एक स्वतंत्र विचार के योग्य है। मुझे लगता है कि आप उपरोक्त प्रश्नों पर विचार कर पाएंगे।

— 19

Answer 1

सॉल्वेबिलिटी के लिए सही स्थिति का के अशक्त स्थान (जब तक सममित नहीं है) के साथ कोई संबंध नहीं है, लेकिन के रिक्त स्थान के साथ । यदि तो तात्पर्य है कि , इसलिए को किसी भी अशक्त सदिश के लिए होना चाहिए (अन्यथा कोई समाधान नहीं है, और जैकोबी पुनरावृत्ति का कोई कारण नहीं है) एकाग्र)।$A$$A$$A^T$$A^Tu=0$$Ax=b$$u^Tb=u^TAx=0$$b$$A^T$

लेकिन अगर यह मामला है, तो एक समाधान मौजूद है, और वर्ग मामले में असीम रूप से कई हैं।

एकवचन मामले में, जैसा कि कभी नहीं पता कि क्या यह स्थिति संतुष्ट है (और वैसे भी राउंडऑफ द्वारा खराब हो जाएगी), एक आम तौर पर समस्या को कम से कम वर्गों की समस्या के रूप में हल करेगा। न्यूनतम मानक समाधान खोजने के लिए, सामान्य समीकरणों पर संयुग्मक ग्रेडिएंट का उपयोग करें; इसके लिए आवश्यक है कि आप और द्वारा गुणा करें । ( साथ गुणा करने के लिए केवल एक दिनचर्या को देखते हुए , व्यक्ति कम पूर्वानुमान योग्य अभिसरण गुणों के साथ GMRES का उपयोग कर सकता है।)$A$$A^T$$A$

Comments

बहुत धन्यवाद। ध्यान दें कि मैं विशेष रूप से जैकोबी विधि (सैद्धांतिक कारणों में रुचि रखता हूं; अन्यथा, मैं आपके सुझाव को विकल्पों पर स्वीकार करता हूं।) इसलिए: "मैं विशेष रूप से उस मामले में दिलचस्पी रखता हूं जहां में शून्य- शून्य घटक है ।" इसका मतलब यह है कि प्रत्येक जैकोबी इटरेट में प्रोजेक्टेड की अशक्तता होगी ! मैं यह पूछ रहा हूं तब से जैकोबी एटरेट्स ( , जब बी के पास अशक्त है) से के अशक्त-रिक्त स्थान को प्रोजेक्ट करने की कोई आवश्यकता नहीं होगी ? अनुमानित स्थान ))। $b$$A$$A$$A$$A$

— usero

@usero: जैसा कि मैंने कहा, की अशक्त जगह समस्या का कोई असर नहीं है। या आपका मैट्रिक्स सममित है? इसके अलावा, जैकोबी विधि के अशक्त स्थान को ऑर्थोगोनलिटी को संरक्षित नहीं करती है जब तक कि लगातार विकर्ण न हो। $A$$A^T$$A$

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

मैंने प्रश्न संपादित किया है। मैट्रिक्स एक सममित (लाप्लासियन) है जिसमें सभी लोगों के वेक्टर द्वारा फैलाया गया रिक्त स्थान है। तो, क्या प्रत्येक जैकोबी इटरेट को केस में केंद्रित किया जाएगा (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है)? मेरे द्वारा किए गए संभावित भ्रम के लिए मैं क्षमा चाहता हूँ। $A$$b$

— usero

@usero: यदि का विकर्ण स्थिर है, तो हाँ। विकर्ण प्रविष्टियाँ हैं। 1. फिर और जैकोबी पुनरावृत्ति , यदि और तो समरूपता से,$A$$A=I-B$$x_0=b$$x_{n+1}=b+Bx_n$$Au=0$$u^Tb=0$$u^TB=u^T$$u^Tx_n$

$B$$A$$diag(A)\neq c\cdot I$$c\in \mathbb{R}$