रेफरेंस स्क्वायर पर रविर्ट-थॉमस तत्व

मैं सीखना चाहूंगा कि कैसे Raviart-Thomas (RT) तत्व काम करता है। उस अंत तक मैं विश्लेषणात्मक रूप से वर्णन करना चाहूंगा कि संदर्भ स्क्वायर पर आधार फ़ंक्शन कैसे दिखते हैं। यहां लक्ष्य इसे स्वयं लागू करना नहीं है, बल्कि सिर्फ तत्व की सहज समझ प्राप्त करना है।

मैं इस काम की चर्चा कर रहा हूँ , यहाँ चर्चा की गई त्रिकोणीय तत्वों की , शायद इसे चतुर्भुजों तक पहुँचाना अपने आप में एक गलती है।

मैंने कहा, मैं पहले RK तत्व RK0 के लिए आधार कार्यों को परिभाषित कर सकता हूं:

ϕ_{i} (x) = a + b x = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x \\ a_{2} + b_{2} y \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$ लिए

i = 1, \dots, 4.

$i = 1,\dots,4.$

पर स्थिति है कि कर रहे हैं: $\mathbf{\phi}_i$

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

जहाँ नीचे दर्शाई गई इकाई सामान्य है, और इसका समन्वय है। $\mathbf{n}_j$ $\mathbf{x}_j$

RT0

यह संदर्भ वर्ग , इसलिए इससे प्रत्येक आधार फ़ंक्शन के समीकरणों की एक प्रणाली बन जाती है। के लिए यह है: $[-1,1]\times[1,1]$ $\mathbf{\phi}_1$

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ b_{1} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$

जिसे देने के लिए हल किया जा सकता है:

ϕ_{1} (x) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + x \\ 0 \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$

अन्य आधार कार्यों को इसी तरह पाया जा सकता है।

इसे सही मानते हुए, अगला कदम RK1 के लिए आधार फ़ंक्शन ढूंढना है। यह वह जगह है जहां मैं खुद को थोड़ा अनिश्चित कर रहा हूं। उपरोक्त लिंक के अनुसार, जिस स्थान में हम रुचि रखते हैं:

P_{1} (K) + x P_{1} (K)

$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$

के लिए एक आधार होगा $P_1$ $\{ 1, x, y\}$

मुझे लगता है कि इसका मतलब है कि आरके 1 आधार कार्यों को फॉर्म लेना चाहिए:

ϕ_{i} (x) = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x + c_{1} y + d_{1} x^{2} + e_{1} x y \\ a_{2} + b_{2} x + c_{2} y + d_{2} x y + e_{2} y^{2} \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$

यह प्रत्येक आधार फ़ंक्शन के लिए 10 अज्ञात छोड़ता है। यदि हम RK0 मामले में वैसी ही शर्तें लागू करते हैं, जैसे:

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$ , जहां इकाई सामान्य है जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

n_{j}

$\mathbf{n}_j$

RK1

इससे हमें 8 समीकरण मिलते हैं। मुझे लगता है कि अन्य 2 कुछ क्षणों से मिल सकते हैं। मैं वास्तव में निश्चित नहीं हूं कि वास्तव में कैसा है। उपरोक्त लिंक लिए एक आधार के खिलाफ एकीकृत करने के बारे में बात करता है , लेकिन मुझे इसका मतलब निकालने में परेशानी हो रही है। क्या मैं सही रास्ते पर हूँ, या मैं पूरी तरह से यहाँ कुछ याद कर रहा हूँ? $[P_1]^2$

pde finite-element

— लुकास बिस्ट्रिकी
स्रोत

सामान्य तौर पर, आप केवल बहुपत्नी आधार को चतुर्भुज से चतुर्भुज तत्वों में स्थानांतरित नहीं कर सकते। ¹ विशेष रूप से, चतुर्भुज तत्वों का पूरा बिंदु एक आयामी बहुपद के दसियों उत्पादों के साथ काम करना है, जो टेट्राहेड्रल तत्वों के लिए संभव नहीं है।

वास्तव में चतुर्भुज रविर्ट-थॉमस तत्व हैं, लेकिन उनकी परिभाषा अलग है। दो आयामों में, के लिए बहुपद अंतरिक्ष द्वारा दिया जाता है जहां लिए एक विशिष्ट बहुपद इस प्रकार होगा जैसा कि आपने लिखा है, लेकिन यह इसलिए, , और सामान्य रूप से, $RT_k$

P_{k + 1, k} \times P_{k, k + 1},

$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$

P_{k, l} = {\sum_{i = 0}^{k} \sum_{j = 0}^{l} a_{i j} x^{i} y^{j} : a_{i j} \in R} .

$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$

k = 0

$k=0$

k = 1

$k=1$

(\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x + c_{1} x^{2} + d_{1} y + e_{1} x y + f_{2} x^{2} y \\ a_{2} + b_{2} y + c_{2} y^{2} + d_{2} x + e_{2} x y + f_{2} x y^{2} \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$

\dim R T_{1} = 12

$\dim RT_1 = 12$

\dim R T_{k} = 2 (k + 1) (k + 2)

$\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$ । इसका मतलब है कि आपको दो अतिरिक्त डिग्री की आवश्यकता है, जो तत्व के आंतरिक भाग पर स्थित होना चाहिए। (सामान्य तौर पर, आप प्रत्येक पहलू पर सामान्य डेरिवेटिव लेते हैं , और इंटीरियर से स्वतंत्रता की शेष डिग्री।)

R T_{k}

$RT_k$

k + 1

$k+1$

अपने वास्तविक प्रश्न का उत्तर देने के लिए: रवियार्ट-थॉमस तत्वों के लिए, आप आमतौर पर बिंदु मूल्यांकन के बजाय क्षण लेते हैं, अर्थात, शेष स्थितियां स्थितियां जहां के आधार हैं ( जैसे, लिए । पूर्ण नोडल आधार प्राप्त करना आसान बनाने के लिए, स्वतंत्रता के पहलू की डिग्री को आमतौर पर बिंदु मूल्यांकन के रूप में नहीं लिया जाता है, बल्कि पल की स्थिति के रूप में भी लिया जाता है: जहां चार किनारों में से एक है, संबंधित बाहरी सामान्य है, और प्रत्येक

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} ϕ_{i} (x, y) q_{j} (x, y) d x d x = δ_{i j},

$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$

{q_{j}}

$\{q_j\}$

P_{k - 1, k} \times P_{k, k - 1}

$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$

{1, x, y}

$\{1,x,y\}$

k = 1

$k=1$

\int_{e_{m}} ϕ_{i} (s)^{T} ν_{e_{m}} q_{m, j} (s) d s,

$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$

e_{m}

$e_m$

ν_{e_{m}}

$\nu_{e_m}$

m

$m$ , एक आधार (जैसे, या लिए किनारे के अभिविन्यास पर निर्भर करता है)। एक साथ, स्वतंत्रता की ये डिग्रियां असमान हैं (यानी, आधार कार्यों की संगत प्रणाली हमेशा उलटी होती है)।

q_{m, j}

$q_{m,j}$

P_{k} (e_{m})

$P_k(e_m)$

{1, x}

$\{1,x\}$

{1, y}

$\{1,y\}$

k = 1

$k=1$

आप Boffi, Brezzi, Fortin के अध्याय 2.4.1 में चतुर्भुज रैवियर्ट-थॉमस-एलिमेंट्स पर एक चर्चा पा सकते हैं : मिश्रित परिमित तत्व विधियाँ और अनुप्रयोग , स्प्रिंगर 2013 , अर्नोल्ड, बोफ़ी, फ़ॉक: चतुर्भुज परिमित तत्व $H(div)$ , SINUM 42 (५), २००५, पीपी २४२ ९ -२४५१ , और अध्याय ३.२.३ रोनाल्ड हॉपी के व्याख्यान नोट्स ।

_{1. एक सामान्य नियम के रूप में, आदेश की एक बहुपद अंतरिक्ष चतुष्फलकीय तत्वों पर एकपदीयों जिसका शक्तियों में शामिल है योग करने के लिए जबकि आदेश के एक अंतरिक्ष, चतुर्भुज तत्वों पर एकपदीयों जिसका शामिल अधिक से अधिक शक्ति है । उदाहरण के लिए, tetrahedrals पर क्रम का होगा , लेकिन केवल आदेश चतुर्भुज पर।
$k$ $k$ $k$ $k$ $x^2y$ $3$ $2$}

— ईसाई क्लासन
स्रोत

आपके उत्तर के लिए बहुत-बहुत धन्यवाद, आपने स्पष्ट रूप से इसमें बहुत प्रयास किया है। मुझे लगता है कि मेरी कई भ्रांतियों को दूर करता है।

— लुकास बिस्ट्रिके

मैंने ऊपर बताए गए इंटीग्रल का उपयोग करते हुए लिए फंक्शन को किया और । इसे सही मानते हुए, क्या आप बता सकते हैं कि कॉम्पैक्ट सपोर्ट कहां से आता है? चूंकि में स्थिर है , यह ऊपर और नीचे के सभी तत्वों पर गैर-शून्य होगा।

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

k = 0

$k=0$

\frac{1}{4} ⟨ 1 + x, 0 ⟩^{T}

$\frac{1}{4}\langle 1+x, 0\rangle^T$

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

y

$y$

— लुकास बिस्ट्रीक

खुशी है कि आपने इसे मददगार पाया; आपका प्रश्न दिलचस्प है और आपने बहुत प्रयास भी किया है। कॉम्पैक्ट समर्थन इस तथ्य से आता है कि बहुपद केवल संदर्भ तत्व पर परिभाषित किए जाते हैं - याद रखें कि रवियार-थॉमस एच (डिव) -फॉर्मिंग तत्व हैं, और इस प्रकार वैश्विक परिमित तत्व अंतरिक्ष में कार्य निरंतर नहीं होने चाहिए।

— क्रिश्चियन क्लैसन

वास्तव में, यह केवल स्वतंत्रता के आंतरिक डिग्री से जुड़े आधार कार्यों के लिए सच है: स्वतंत्रता के किनारे डिग्री से जुड़े (वैश्विक) आधार कार्यों में किनारे से जुड़े दो तत्वों पर (केवल) समर्थन है; हर दूसरे तत्व पर, वे शून्य पर सेट हैं।

— ईसाई क्लैसन

वास्तव में: किनारे के तत्वों के लिए केवल सामान्य ट्रेस को निरंतर होना चाहिए, न कि बहुपद को। इसलिए, यहां तक कि समर्थन का विस्तार किए बिना स्वचालित रूप से देखभाल की जानी चाहिए। यदि आपको वैश्विक रवियार-थॉमस स्थान के बारे में अधिक जानकारी चाहिए , तो मैं आपको अपने प्रश्न का विस्तार करने का सुझाव दूंगा, और मैं अपने उत्तर का विस्तार करने का प्रयास करूंगा।

— क्रिश्चियन क्लैसन