Eigenvalue समस्याओं में सत्यापन

हमें फॉर्म की समस्या के साथ शुरू करते हैं

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

दी गई सीमा स्थितियों ( ड्यूरिचलेट , न्यूमैन , रॉबिन , आवधिक , बलोच-आवधिक ) के एक सेट के साथ । यह कुछ ऑपरेटर $\mathcal{L}$ के लिए कुछ जियोमेट्री और सीमा स्थितियों के तहत आइजेनवल और ईजीनवेक्टर्स को खोजने के साथ मेल खाता है । उदाहरण के लिए, ध्वनिकी, विद्युत चुंबकत्व, इलास्टोडायनामिक्स, क्वांटम यांत्रिकी में इस तरह की एक समस्या प्राप्त कर सकते हैं।

मुझे पता है कि एक ऑपरेटर विभिन्न तरीकों का उपयोग करके विवेक कर सकता है, उदाहरण के लिए, परिमित अंतर तरीके प्राप्त करने के लिए

[A] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

या उपयोग, परिमित तत्व तरीके प्राप्त करने के लिए

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

एक मामले में एक eigenvalue समस्या और दूसरे में एक सामान्यीकृत eigenvalue समस्या हो रही है। समस्या के असतत संस्करण को प्राप्त करने के बाद व्यक्ति आइजेनवेल्यू समस्या के लिए एक सॉल्वर का उपयोग करता है।

कुछ विचार

निर्मित समाधान की विधि इस मामले में उपयोगी नहीं है क्योंकि समीकरण को संतुलित करने के लिए कोई स्रोत शब्द नहीं है।
कोई सत्यापित कर सकता है कि मैट्रिक्स और अच्छी तरह से स्रोत शब्द, जैसे आवृत्ति डोमेन समस्या का उपयोग करके कैप्चर किए गए हैं $[K]$ $[M]$

$[\nabla^{2} + ω^{2} / c^{2}] u (ω) = f (ω), \forall ω \in [ω_{min}, ω_{max}]$ $[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$
के बजाय

$[\nabla^{2} + k^{2}] u = 0 .$ $[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$
लेकिन यह सॉल्वर मुद्दों की जाँच नहीं करेगा।
हो सकता है, कोई FEM और FDM जैसे विभिन्न तरीकों के समाधानों की तुलना कर सकता है।

सवाल

Eigenvalue समस्याओं के लिए FEM और FDM जैसे संख्यात्मक तरीकों के कारण विवेकाधीन योजनाओं के लिए समाधान (eigenvalue-eigenvector जोड़े) को सत्यापित करने का तरीका क्या है?

— निकोगुआरो
स्रोत

क्या आप अपने परिणामों की तुलना स्पेक्ट्रा में ज्ञात मामलों (वर्ग, घन, वृत्त, गोला) के लिए कर सकते हैं? उपयुक्त मानदंडों में आइजनवेक्टरों और आइगेनवेल्स के लिए अपेक्षित अभिसरण दरें भी हैं, जिन्हें आप जांच सकते हैं (हालांकि ये दरें आवृत्ति के आधार पर भिन्न हो सकती हैं - journalnals.cambridge.org/action/… ) देखें

— जेसी चैन

हां, आप विश्लेषणात्मक समाधानों के साथ तुलना कर सकते हैं। लेकिन आम तौर पर वे वास्तव में सरल मामलों के लिए प्रदान किए जाते हैं। सवाल यह है कि सत्यापन प्रक्रिया कैसे की जाए। यदि विधि ओह निर्मित समाधान के समान कुछ है। या यदि आपको विश्लेषणात्मक समस्याओं के साथ अन्य समस्याओं के लिए इस पद्धति को संयोजित करना चाहिए।

— nicoguaro

एक आयाम में, यदि आप वांछित शुरू करते हैं और , तो आप को विघटित करने का प्रयास कर सकते हैं , यदि ऐसा मौजूद है , और फिर । यह के समरूपता और अन्य गुणों को गड़बड़ कर सकता है , मुझे लगता है। यहाँ और को रैखिक रूप से स्वतंत्र होना चाहिए, और एक ही बिंदु पर लुप्त नहीं हो सकता।

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$

L

$\mathcal{L}$

v

$v$

v^{'}

$v'$

— किरिल

@ जेसेचन, सुझाव पढने के लिए धन्यवाद। मुझे कुछ समय लगा लेकिन मैंने इसे पढ़ा। मुझे नहीं लगता कि वे वांछित उद्देश्य के लिए पर्याप्त जानकारी प्रदान करते हैं।

— nicoguaro

मैं यह सुनिश्चित करना चाहता हूं कि मैंने आपको सही तरीके से समझा है। क्या आप जानना चाहते हैं कि असतत ऑपरेटर (मैट्रिक्स या मेट्रिसेस) के लिए गणना किए गए आइजनपेयर और चिकनी ऑपरेटर के लिए संबंधित आइजनपेयर के बीच की दूरी का अनुमान कैसे लगाया जाए? या क्या आप अब उस सटीकता का अनुमान लगाना चाहते हैं जिसके द्वारा आपने असतत स्वदेशी समस्या को हल किया है?

— कार्ल क्रिश्चियन

जवाबों:

मुझे एहसास है कि यह सवाल पुराना है, लेकिन मैंने इसे देखा और इसे दिलचस्प पाया। अतीत में, मैंने इस सवाल की टिप्पणियों में पाए गए सुझावों का पालन किया है, कुछ और अधिक जटिल मामलों के साथ युग्मित है जो कि मैं साहित्य में परिचित हूं (Orr - Sommerfeld हमेशा काम करता है)।

हालाँकि, मैं कुछ साहित्य के बारे में भी जानता हूँ जो कि एक निर्मित समाधान का निर्माण करते समय उत्पन्न होने वाली अमानवीय स्वदेशी समस्याओं पर है। ऐसी समस्याओं की कुछ चर्चा यहाँ है: DOI: 10.1016 । ये लेखक पूरी तरह से इस मुद्दे से बचने के लिए निर्मित क्रॉस सेक्शन (एमएक्सएस, मुझे लगता है) की एक तथाकथित विधि का सुझाव देते हैं, जिसे मैं फिलहाल समझने का नाटक नहीं करूंगा, लेकिन यह बहुत उपयोगी हो सकता है।

— स्पेंसर ब्रिंगेल्सन
स्रोत

वे "अमानवीय स्वदेशी समस्या" के रूप में जो प्रस्ताव रखते हैं वह वह तरीका है जो मैंने अपने मूल पद में प्रस्तावित किया था। मैं अभी भी निर्मित क्रॉस सेक्शन की विधि को समझने की कोशिश कर रहा हूं, हालांकि।

— nicoguaro

मुझे लगता है कि, बस सुझाव है कि कुछ साहित्य ऐसी समस्याओं के लिए मौजूद है, तो यह एक मृत-अंत नहीं हो सकता है जैसा कि आपने सुझाव दिया: "निर्मित समाधान इस मामले में उपयोगी नहीं है क्योंकि समीकरण को संतुलित करने के लिए कोई स्रोत शब्द नहीं है।"

— २३:४५ पर स्पेन्सर ब्रिंगल्सन

यह आपके पोस्ट की आलोचना नहीं है। काफी विपरीत! मैं सिर्फ टिप्पणी कर रहा हूं कि चर्चा को बढ़ावा देने के लिए संदर्भ पढ़ने के बाद मुझे क्या मिला।

— nicoguaro

दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के लिए (और सरल डोमेन पर लाप्लासियन), असतत eigenpairs (यानी विवेक के बाद) के लिए भाव उपलब्ध हैं। उदाहरण के लिए, परिमित-भिन्नता के लिए, यहां प्रतिजन सूचीबद्ध किए गए हैं ।

एक परिमित तत्व विवेक के साथ eigenpairs के लिए अभिव्यक्ति समान रूप से पाया जा सकता है (P1 और P2 विवेक के लिए)।

— user7440
स्रोत