कमजोर अभिसरण कैसा लगता है, संख्यात्मक रूप से?

Question

गौर करें, आपको एक अनंत आयामी हिल्बर्ट या बानाच स्थान (पीडीई या ऐसे स्थान में अनुकूलन समस्या के बारे में सोचना) में एक समस्या है और आपके पास एक एल्गोरिथ्म है जो एक समाधान के लिए कमजोर रूप से परिवर्तित होता है। यदि आप समस्या को हल करते हैं और समस्या के लिए संगत विरूपित एल्गोरिथ्म लागू करते हैं, तो कमजोर अभिसरण हर समन्वय में अभिसरण है और इसलिए मजबूत भी है। मेरा सवाल यह है कि:

क्या इस तरह के मजबूत अभिसरण को मूल अनंत एल्गोरिथ्म के अच्छे पुराने सादे मजबूत अभिसरण से प्राप्त अभिसरण से अलग या महसूस किया जाता है?

या, अधिक ठोस:

"विवेकाधीन कमजोर रूप से अभिसरण विधि" के साथ किस तरह का बुरा व्यवहार हो सकता है?

मैं खुद आमतौर पर तब बहुत खुश नहीं होता जब मैं केवल कमजोर अभिसरण साबित कर सकता हूं, लेकिन अब तक मैं तरीकों के परिणाम के साथ कुछ समस्या का निरीक्षण नहीं कर सका, भले ही मैं समस्या को उच्च आयामों के लिए समस्याग्रस्त करता हूं।

ध्यान दें कि मैं "अनुकूलन से पहले विवेकाधिकार" में दिलचस्पी नहीं रखता हूं "बनाम" पहले से समझ से अधिक अनुकूलन करें "समस्या और मुझे उन समस्याओं के बारे में पता है जो अगर आप एक एल्गोरिथ्म को विवेकपूर्ण समस्या पर लागू करते हैं जो समस्या के साथ सभी गुणों को साझा नहीं करता है जिसके लिए एल्गोरिथ्म डिजाइन किया गया था।

अद्यतन: एक ठोस उदाहरण के रूप में में एक चर के साथ एक अनुकूलन समस्या पर विचार करें और इसे हल कर रहे हैं जैसे (जड़ता) आगे-पिछड़े विभाजन या कुछ अन्य विधि जिसके लिए में केवल कमजोर अभिसरण ज्ञात है। विवेकाधीन समस्या के लिए आप एक ही विधि का उपयोग कर सकते हैं और सही विवेक के साथ आप एक ही एल्गोरिथ्म प्राप्त कर सकते हैं यदि आप सीधे एल्गोरिथ्म को अलग कर देते हैं। जब आप विवेक की सटीकता बढ़ाते हैं तो क्या गलत हो सकता है?$L^2$$L^2$

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अनंत-आयामी समस्या के विवेक से पहले अभिसरण का विश्लेषण किस तरह की विधि से किया जाता है? आप अनुकूलन का उल्लेख करते हैं, तो क्या आप पीडीई-विवश अनुकूलन समस्याओं के बारे में सोच रहे हैं, ज्यादातर, या कुछ और है?

— बिल बर्थ

पीडीई ऑप्टिमाइज़ेशन के अलावा, मेरे पास ज्यामितीय वैरिएबल समस्याएं (जैसे न्यूनतम सतहों) और इमेजिंग समस्याएं (जैसे टीवी denoising, ममफोर्ड-शाह विभाजन) को ध्यान में रखते हैं।

— डिर्क

Answer 1

यह सही है कि निरंतर अभिसरण सीमा रूप में सबसे महत्वपूर्ण है (उदाहरण के लिए, किसी भी अभिसरण दर का निरीक्षण करने में सक्षम नहीं होने से)। कम से कम हिल्बर्ट रिक्त स्थान में, यह भी सीमा की गैर-विशिष्टता के साथ निकटता से जुड़ा हुआ है और इसलिए केवल बाद के अभिसरण (उदाहरण के लिए, जहां आप विभिन्न सीमा बिंदुओं के निकट जाने के बीच वैकल्पिक कर सकते हैं, फिर से दरों को नष्ट कर सकते हैं), और प्रभाव को अलग करना मुश्किल है अभिसरण पर दो।$h\to 0$

विशेष रूप से में कमजोर अभिसरण के लिए , आपके पास यह तथ्य भी है कि अभिसरण को बिंदुवार नहीं होना चाहिए, और यह आप वास्तव में (पर्याप्त रूप से ठीक) विवेक में देख सकते हैं। यहाँ एक उदाहरण दिया गया है कि मिनिमाइज़र अनुक्रम से, जो रूप में से परिवर्तित होता है जहां कमजोर है, लेकिन पॉइंट नहीं (लेकिन बिंदु लगभग हर जगह)। निम्नलिखित आंकड़े अनुक्रम से तीन प्रतिनिधि तत्व दिखाते हैं (for पहले से ही काफी छोटा)।$L^2$$\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$$\varepsilon\to 0$

$$u(x) = \begin{cases} -1 & x<\frac13 \\ 0 &x\in [\frac13,\frac23] \\ 1 &x>\frac23\end{cases}$$ $[\frac13,\frac23]$$\varepsilon$

इस घटना को अंतर समीकरणों के लिए बैंग-बैंग नियंत्रण समस्याओं के सन्निकटन में "कड़वा" के रूप में जाना जाता है (यानी, बॉक्स की कमी के साथ समस्याएं जहां समाधान लगभग हर जगह या तो कम या ऊपरी बाध्य होता है)।

(यह विशिष्ट उदाहरण अण्डाकार प्रणालियों के मल्टी-बैंग नियंत्रण , एन। हेनरी पॉइंके (सी) 2014, 1109-1130, रेमर्क 4.2 पर हमारे पेपर से लिया गया है ।)

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बहुत बढ़िया उदाहरण! हालांकि, मुझे यह मुद्दा नहीं मिला कि कमजोर अभिसरण गैर-विशिष्टता से कैसे जुड़ा है। सामान्य में, कमजोर अभिसरण को मजबूत अभिसरण में उन्नत नहीं किया जा सकता है जब सीमा अद्वितीय है, है ना? लेकिन सहमत हूँ, अक्सर एक ही कमजोर अभिसरण और गैर-विशिष्टता दोनों हैं।

— डिर्क

क्षमा करें, कि खराब प्रदर्शन किया गया था; मेरा मतलब यह नहीं था कि हमेशा ऐसा ही होता है। मेरे मन में समस्याएँ थीं जहाँ आपको आमतौर पर आदर्श का अभिसरण मिलता है, इसलिए जब तक आपके पास पूर्ण अनुक्रम का अभिसरण होता है, आप मजबूत अभिसरण के लिए "अपग्रेड" कर सकते हैं (यानी, केवल एक चीज जो मजबूत अभिसरण को रोक सकती है, वह है बाद में अभिसरण )।

— क्रिश्चियन क्लैसन

Answer 2

आपके द्वारा पूछे जाने वाला प्रश्न अक्सर बहुत व्यावहारिक चिंता का विषय नहीं होता है क्योंकि एक मानदंड में कमजोर अभिसरण समाधान के समान अनुक्रम के लिए एक दूसरे में मजबूत अभिसरण हो सकता है।

आपको एक उदाहरण देने के लिए, आइए मान लें कि हम लाप्लास समीकरण को मानक परिमित तत्वों के साथ उत्तल बहुभुज डोमेन पर पर्याप्त रूप से चिकनी दाहिने हाथ की ओर हल करते हैं। तो फिर समाधान में है , लेकिन निश्चित रूप से परिमित तत्व समाधान केवल में है । हम जानते हैं कि दृढ़ता से और मानदंड में अधिकतम है क्योंकि अधिकतम जाल आकार क्योंकि हमारे पास एक प्राथमिक त्रुटि अनुमान है और ।$u$$H^2$$u_h$$H^1$$u_h \rightarrow u$$L_2$$H^1$$h\rightarrow 0$$\|u-u_h\|_{L_2} \le Ch^2$$\|u-u_h\|_{H^1} \le Ch$

लेकिन स्पष्ट रूप से हम में दृढ़ता से अपेक्षा नहीं कर सकते क्योंकि केवल । लेकिन हमारे पास में कमजोर रूप से हो सकता है (वास्तव में, मुझे लगता है कि यह धारण करता है)। यह तब शायद ऐसा कोई कथन होगा जैसे कि $u_h \rightarrow u$$H^2$$u_h$$H^1$$u_h \rightharpoonup u$$H^2$

$$\left< \nabla^2 (u-u_h), \nabla^2 v\right> \le {\cal o}(1) \qquad \forall v \in H^2.$$

मुद्दा यह है कि कमजोर बनाम मजबूत अभिसरण का प्रश्न आमतौर पर यह सवाल है कि आप किस मानक को देखते हैं, न कि समाधान के अनुक्रम की एक संपत्ति जो आप अपने तरीके से प्राप्त करते हैं।

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यह सच है, लेकिन कुछ बिंदु पर आदर्श व्यावहारिक रूप से उपयोगी होने के लिए बहुत कमजोर हो जाता है (उदाहरण के लिए, जब आपके पास केवल में कमजोर अभिसरण है , जो नकारात्मक सोबोलोव मानदंडों में मजबूत अभिसरण हो सकता है, जो स्थानीय नहीं हैं)। $L^2$

— ईसाई क्लैसन

@ChristianClason, क्या आप ऐसा बोल सकते हैं कि ऐसा क्या है जब इस तरह की विधि का उपयोग किया जाता है। क्या वे कार्य करते हैं? आदि?

— बिल बैर्थ

जब मेरे पास मामला था, जब विवेकाधीन मानदंड वास्तव में उस मानदंड का अनुमान लगाता है जिसमें केवल कमजोर अभिसरण होता है (आमतौर पर )। $L^2$

— डर्क