संचालन का क्रम, संख्यात्मक एल्गोरिदम

मैंने वो पढ़ा है

(1) अच्छी तरह से वातानुकूलित होने से पहले बीमार वातानुकूलित संचालन किया जाना चाहिए।

एक उदाहरण के रूप में, एक को रूप में गणना करनी चाहिए क्योंकि घटाव बीमार है जबकि गुणन नहीं है। $xz-yz$ $(x-y)z$

हालाँकि, दोनों एल्गोरिदम के पहले-क्रम त्रुटि विश्लेषण से पता चलता है कि वे केवल तीन (*) के एक कारक से भिन्न होते हैं, और मैं यह नहीं देखता कि कोई इसे कथन (1) के लिए सामान्य क्यों कर सकता है, और न ही मैं सहज रूप से इसके महत्व को समझ सकता हूं कार्रवाई के आदेश। क्या आपको लगता है कि कथन (1) एक स्वीकृत नियम है, और क्या आपके पास इसके लिए अन्य स्पष्टीकरण हैं?

* - अधिक विशेष रूप से, पहले संस्करण में एक रिश्तेदार त्रुटि है जो कि बाध्य है

eps + 3 \frac{| x | + | y |}{| x | - | y |} eps

$\text{eps}+3\frac{|x|+|y|}{|x|-|y|}\text{eps}$ जबकि दूसरे संस्करण की सापेक्ष त्रुटि से घिरा हुआ है

3 eps + \frac{| x | + | y |}{| x | - | y |} eps

$3\text{eps}+\frac{|x|+|y|}{|x|-|y|}\text{eps}$

जहां मशीन सटीक है। $\text{eps}$

यह विश्लेषण इस धारणा पर आधारित है कि -th इंटरमीडिएट का परिणाम (राउंडिंग त्रुटियों के कारण से गुणा किया जाता है , जहां द्वारा रचित यादृच्छिक चर हैं । "प्रथम-क्रम" का अर्थ है कि उच्च-क्रम वाले शब्द, जैसे , उपेक्षित हैं। $i$ $(1+\varepsilon_i)$ $\varepsilon_i$ $\text{eps}$ $\epsilon_i\epsilon_jx$

stability floating-point

— Bananach
स्रोत

तुमने ऐसा कहां पढ़ा?

— डेविड केचेसन

मेरे लेक्चर नोट्स में

— बनानैक

द्वारा आइए निरूपित (मैं विभाजन ऑपरेटर की परिक्रमा संस्करण प्राप्त करने की कोशिश आलसी था) फ्लोटिंग प्वाइंट सटीक गुणा (के अनुरूप ), इसके अलावा ( (), और घटाव ) क्रमशः। हम मान लेंगे (IEEE-754) कि उन सभी के लिए जहाँ मशीन कारण सापेक्ष त्रुटि पर एक ऊपरी बाउंड देने वाली मशीन है। हम निम्नलिखित लेम्मा (सभी को ग्रहण करते हुए भी उपयोग करेंगे , और बहुत बड़ी नहीं है) जिसे आसानी से सिद्ध किया जा सकता है: $\otimes,\oplus,\ominus$ $\times$ $+$ $-$

[x \oplus y] = (x + y) (1 + δ_{\oplus}), | δ_{\oplus} | \leq ϵ_{m a c h},

$[x\oplus y]=(x+ y)(1+\delta_\oplus),\quad |\delta_\oplus|\le\epsilon_\mathrm{mach},$

ϵ_{m a c h}

$\epsilon_\mathrm{mach}$

| δ_{i} | \leq ϵ_{m a c h}

$|\delta_i|\le\epsilon_\mathrm{mach}$

m

$m$

\prod_{i = 1}^{m} (1 + δ_{i}) = 1 + θ (m), | θ (m) | \leq \frac{m ϵ_{m a c h}}{1 - m ϵ_{m a c h}}

$\prod\limits_{i=1}^{m}(1+\delta_i)=1+\theta(m),\quad |\theta(m)|\le\frac{m\epsilon_\mathrm{mach}}{1-m\epsilon_\mathrm{mach}}$

चलो परिभाषित सच समारोह कि वास्तविक संख्या पर चल रही है के रूप में $f$ $x,y,z$

f (x, y, z) = (x \times z) - (y \times z)

$f(x,y,z)=(x\times z)-(y\times z)$

और IEEE- संगत फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित में फ़ंक्शन कार्यान्वयन के दो संस्करण जैसे कि और जो फ़्लोटिंग-पॉइंट अभ्यावेदन , इस प्रकार है: $\tilde{f_1}$ $\tilde{f_2}$ $\tilde{x}=x(1+\delta_x),\tilde{y},\tilde{z}$

\tilde{f_{1}} (\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z}) = (\tilde{x} \otimes \tilde{z}) ⊖ (\tilde{y} \otimes \tilde{z}),

$\tilde{f_1}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z})=(\tilde{x}\otimes\tilde{z})\ominus(\tilde{y}\otimes\tilde{z}),$

\tilde{f_{2}} (\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z}) = (\tilde{x} ⊖ \tilde{y}) \otimes \tilde{z} .

$\tilde{f_2}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z})=(\tilde{x}\ominus\tilde{y})\otimes\tilde{z}.$

लिए त्रुटि विश्लेषण : $\tilde{f_1}$

\begin{aligned} \tilde{f_{1}} & = (\underset{(\tilde{x} \otimes \tilde{z})}{\underset{⏟}{(x (1 + δ_{x}) \times z (1 + δ_{z})) (1 + δ_{\otimes_{x z}})}} - \underset{(\tilde{y} \otimes \tilde{z})}{\underset{⏟}{(y (1 + δ_{y}) \times z (1 + δ_{z})) (1 + δ_{\otimes_{y z}})}}) (1 + δ_{⊖}) \\ = x z (1 + δ_{x}) (1 + δ_{z}) (1 + δ_{\otimes_{x z}}) (1 + δ_{⊖}) - y z (1 + δ_{y}) (1 + δ_{z}) (1 + δ_{\otimes_{y z}}) (1 + δ_{⊖}) \\ = x z (1 + θ_{x z, 1}) - y z (1 + θ_{y z, 1}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \tilde{f_1}&=\Big(\underbrace{\big(x(1+\delta_x)\times z(1+\delta_z)\big)\big(1+\delta_{\otimes_{xz}}\big)}_{(\tilde{x}\otimes\tilde{z})}-\underbrace{\big(y(1+\delta_y)\times z(1+\delta_z)\big)\big(1+\delta_{\otimes_{yz}}\big)}_{(\tilde{y}\otimes\tilde{z})}\Big)\Big(1+\delta_{\ominus}\Big)\\ &=xz(1+\delta_x)(1+\delta_z)(1+\delta_{\otimes_{xz}})(1+\delta_\ominus)-yz(1+\delta_y)(1+\delta_z)(1+\delta_{\otimes_{yz}})(1+\delta_\ominus)\\ &=xz(1+\theta_{xz,1})-yz(1+\theta_{yz,1}). \end{aligned}$ यहाँ, ।

| θ_{x z, 1} |, | θ_{y z, 1} | \leq \frac{4 ϵ_{m a c h}}{1 - 4 ϵ_{m a c h}}

$|\theta_{xz,1}|,|\theta_{yz,1}|\le\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}$

इसी तरह, यहां,। । $\tilde{f_2}$

\begin{aligned} \tilde{f_{2}} & = (((x (1 + δ_{x}) - y (1 + δ_{y}) (1 + δ_{⊖_{x y}})) \times (z (1 + δ_{z}))) (1 + δ_{\otimes}) \\ = x z (1 + δ_{x}) (1 + δ_{z}) (1 + δ_{⊖_{x y}}) (1 + δ_{\otimes}) - y z (1 + δ_{y}) (1 + δ_{z}) (1 + δ_{⊖_{x y}}) (1 + δ_{\otimes}) \\ = x z (1 + θ_{x, 2}) - y z (1 + θ_{y, 2}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \tilde{f_2}&=\Bigg(\Big(\big( x(1+\delta_x)-y(1+\delta_y \big)\big(1+\delta_{\ominus_{xy}}\big)\Big)\times \Big(z(1+\delta_z)\Big)\Bigg)\Bigg(1+\delta_{\otimes}\Bigg)\\ &=xz(1+\delta_x)(1+\delta_z)(1+\delta_{\ominus_{xy}})(1+\delta_\otimes)-yz(1+\delta_y)(1+\delta_z)(1+\delta_{\ominus_{xy}})(1+\delta_\otimes)\\ &=xz(1+\theta_{x,2})-yz(1+\theta_{y,2}). \end{aligned}$

| θ_{x, 2} |, | θ_{y, 2} | \leq \frac{4 ϵ_{m a c h}}{1 - 4 ϵ_{m a c h}}

$|\theta_{x,2}|,|\theta_{y,2}|\le\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}$

इसलिए, दोनों और हमें एक ही प्रकार के भाव मिले, इस प्रकार मैं यह नहीं देखता कि एक संख्यात्मक दृष्टिकोण से दूसरे कार्यान्वयन को क्यों पसंद किया जाएगा (इस तथ्य को छोड़कर कि " ) की तुलना में केवल 2 फ़्लोटिंग-पॉइंट ऑपरेशन करता है । $\tilde{f_1}$ $\tilde{f_2}$ $\tilde{f_2}$ $\tilde{f_1}$

सापेक्ष त्रुटि की गणना करने से पता चलेगा, कि समस्या इस तथ्य से आती है कि और बहुत करीब ( रद्द ) हो सकते हैं। $x$ $y$

\begin{aligned} \frac{| \tilde{f_{1}} - f |}{| f |} & = \frac{| x z + x z θ_{x z, 1} - y z - y z θ_{y z, 1} - (x z - y z) |}{| x z - y z |} = \frac{| x θ_{x z, 1} - y θ_{y z, 1} |}{| x - y |} \\ \leq \frac{| x | + | y |}{| x - y |} \frac{4 ϵ_{m a c h}}{1 - 4 ϵ_{m a c h}}, \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{|\tilde{f_1}-f|}{|f|}&=\frac{|xz+xz\theta_{xz,1}-yz-yz\theta_{yz,1}-(xz-yz)|}{|xz-yz|}=\frac{|x\theta_{xz,1}-y\theta_{yz,1}|}{|x-y|}\\ &\le\frac{|x|+|y|}{|x-y|}\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}, \end{aligned}$

\begin{aligned} \frac{| \tilde{f_{2}} - f |}{| f |} & = \frac{| x z + x z θ_{x, 2} - y z - y z θ_{y, 2} - (x z - y z) |}{| x z - y z |} = \frac{| x θ_{x, 2} - y θ_{y, 2} |}{| x - y |} \\ \leq \frac{| x | + | y |}{| x - y |} \frac{4 ϵ_{m a c h}}{1 - 4 ϵ_{m a c h}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{|\tilde{f_2}-f|}{|f|}&=\frac{|xz+xz\theta_{x,2}-yz-yz\theta_{y,2}-(xz-yz)|}{|xz-yz|}=\frac{|x\theta_{x,2}-y\theta_{y,2}|}{|x-y|}\\ &\le\frac{|x|+|y|}{|x-y|}\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}. \end{aligned}$

आधार पर दो कार्यान्वयनों में से थोड़ा अंतर मामूली रूप से बेहतर या बदतर बना सकता है । हालांकि, मुझे संदेह है कि इसका कोई महत्व हो सकता है। परिणाम पूरी तरह से समझ में आता है, क्योंकि कोई फर्क नहीं पड़ता है, अगर आपको गणना करना है , जब और मानों में काफी करीब हैं (आपके द्वारा काम करने वाले परिशुद्धता के लिए) फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित का उपयोग करके, कोई स्केलिंग आपकी मदद नहीं करेगी: आप पहले से ही परेशानी में हैं। $\theta$ $x,y,z$ $(x-y)$ $x$ $y$

नायब: उपरोक्त सभी चर्चाओं में कोई अतिप्रवाह या अंतर्प्रवाह नहीं है, अर्थात , सभी सामान्य फ्लोटिंग-पॉइंट नंबरों का सेट है। $x,y,z,f(x,y,z)\in\mathbb F_0$ $\mathbb F_0$

— एंटन मेन्शोव
स्रोत