हाइपरबोलिक स्पेस में पॉइंट कैसे सैंपल लें?

Question

Poincaré ऊपरी आधे अंतरिक्ष मॉडल में हाइपरबोलिक स्पेस साधारण $\Bbb R^n$ जैसा दिखता है लेकिन अपेक्षाकृत सरल तरीके से कोण और दूरी की धारणा के साथ। इयूक्लिडियन स्थान में मैं कई तरीके पैदा करने से जैसे में एक गेंद में समान रूप से एक यादृच्छिक बिंदु का स्वाद ले सकते $n$ स्वतंत्र गाऊसी नमूने एक दिशा प्राप्त करने के लिए, और अलग से नमूना एक रेडियल समन्वय $r$ समान रूप से नमूने के द्वारा $s$ से $\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$, जहां$R$त्रिज्या है, और सेटिंग$r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$ । हाइपरबोलिक ऊपरी आधे विमान में एक गोला होता है जो अभी भी एक गोला है, केवल इसका केंद्र यूक्लिडियन मीट्रिक में केंद्र नहीं होगा, इसलिए हम ऐसा ही कर सकते थे।

यदि हम एक गैर-समान वितरण के अनुसार नमूना लेना चाहते हैं, लेकिन अभी भी एक आइसोट्रोपिक तरीके से, उदाहरण के लिए एक गाऊसी वितरण, यह इतना आसान नहीं लगता है। यूक्लिडियन स्पेस में हम बस प्रत्येक समन्वय के लिए एक गाऊसी नमूना उत्पन्न कर सकते हैं (यह केवल गाऊसी वितरण के लिए काम करता है), या समकक्ष रूप से एक बहुआयामी गाऊसी नमूना उत्पन्न कर सकता है। क्या हाइपरबोलिक स्पेस में इस सैंपल को सैंपल में बदलने का कोई सीधा तरीका है?

एक वैकल्पिक दृष्टिकोण पहले (से जैसे एक दिशा समान रूप से वितरित दिशा उत्पन्न करने के लिए हो सकता है $n$ रेडियल घटक के लिए एक गाऊसी नमूना तो गाऊसी नमूने), और अंत में छवि उत्पन्न घातीय नक्शा निर्दिष्ट लंबाई के लिए निर्दिष्ट दिशा में। एक भिन्नता सिर्फ यूक्लिडियन गाऊसी के नमूने को लेना होगा और इसे घातीय मानचित्र के तहत मैप करना होगा।

मेरे सवाल:

• हाइपरबोलिक स्पेस में दिए गए माध्य और मानक विचलन के साथ गाऊसी नमूना प्राप्त करने का एक अच्छा और कुशल तरीका क्या होगा?
• क्या मैं ऊपर वर्णित तरीके वांछित नमूना प्रदान करते हैं?
• किसी ने पहले से ही सूत्र बाहर काम किया?
• यह अन्य मैट्रिक्स और अन्य प्रायिकता वितरण के लिए कैसे सामान्य है?

अग्रिम में धन्यवाद।

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मुझे बस एहसास हुआ कि वर्दी के नमूने के मामले में भी ये सवाल बने हुए हैं; हालांकि एक गोला एक गोला है, एक समान वितरण एक गेंद पर एक निरंतर कार्य द्वारा वर्णित नहीं किया जाएगा।

Comments

@ आपकी टिप्पणी के लिए धन्यवाद। हर टोपोलॉजिकल स्पेस पर आपके पास बोरेल सिग्मा बीजगणित है, जो टोपोलॉजी द्वारा निर्मित है। एक Riemannian मीट्रिक आपको एक वॉल्यूम की धारणा देता है। यदि कुल मात्रा परिमित है, तो इसे संभाव्यता वितरण देने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, या अधिक सामान्यतः यह आपको परिमित मात्रा के औसत दर्जे के सेट पर एक समान तरीके से एक समान संभाव्यता वितरण प्रदान करता है। चूंकि आपके पास एक ज्यामितीय संरचना है, जिसमें जियोडेसिक्स और आर्क लंबाई की धारणा भी शामिल है, आप एक संभावना घनत्व द्वारा गॉसियन डिस्ट्रीब्यूशन को भी परिभाषित कर सकते हैं जो यूक्लिडियन स्पेस में उसी तरह दूरी से तय होता है

— doetit

@ यह गेंद मॉडल में गेंद के केंद्र के चारों ओर नमूना लेने के लिए आसान हो सकता है और फिर एक आइसोमेट्री के माध्यम से परिवहन कर सकता है, कम से कम यूक्लिडियन और केंद्र के चारों ओर अतिपरवलयिक घुमाव। यदि यह वास्तव में सबसे अधिक कुशल है, तो यह सवाल कम हो जाएगा कि हाइपरबोलिक मीट्रिक के सामान्य वितरण के अनुसार डिस्क मॉडल में केंद्र के चारों ओर नमूनाकरण कैसे किया जाए।

— कबूतर

आपको यहां नमूने लेने के लिए मार्क जिरोलमी के रिमानियनियन कई गुना एमसीएमसी को अनुकूलित करने में सक्षम होना चाहिए। लेकिन यह ओवरकिल हो सकता है। आप MCMC करते हैं, लेकिन आप वर्तमान बिंदु से जियोडिक्स की शूटिंग करके प्रस्ताव तैयार करते हैं।

— निक अल्जीरिया

@NickAlger जो दिलचस्प लगता है, क्या आपके पास लिंक है?

— कबूतर

यहाँ उसके बारे में मुख्य कागज है। वे समतल स्थान पर एक गैर-समान वितरण का नमूना लेने की समस्या को कई गुना पर एक समान वितरण के नमूने की समस्या में बदल देते हैं, जबकि आप कई गुना समान वितरण के साथ शुरू करते हैं। rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/…

— निक

Answer 1

मैं अपने लिए ऐसा करने के बीच में हूं। मुझे लगता है कि गाऊसी के लिए सबसे उपयुक्त एनालॉग हाइपरबोलिक स्थान में गर्मी कर्नेल होगा। सौभाग्य से, यह पहले पता लगाया गया है: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf ( लंदन गणितीय सोसायटी के एक बुलेटिन में भी उपलब्ध है )।

$e^{-dist^2/constant}$

$$\left(\frac{2}{1-||x||^2} \right)^n \, dx_1 \, \ldots \, dx_n$$

यहां मूल में केंद्रित त्रिज्या 3 की गेंद के लिए एक समान नमूना है:

यदि वांछित है, तो मुझे और कहने में खुशी होगी। मैंने सोचा था कि मैं इसे लगाऊंगा, क्योंकि इसमें स्पष्ट रूप से कुछ दिलचस्पी थी, कम से कम अतीत में।

Comments

धन्यवाद! मेरे पास पसंद किए गए लेख का अध्ययन करने के लिए अभी तक समय नहीं है, लेकिन यह दिलचस्प और प्रासंगिक लगता है

— doetoe

$\sigma / 2$

Answer 2

यूक्लिडियन स्पेस में स्थिर पाई केवल एक स्थिर है। अन्य जिओमेट्री में पाई का मूल्य अलग है। पैरामीटर pi Gaussian के तहत संभाव्यता द्रव्यमान को बदलता है। पैरामीटर pi का उपयोग संभावनाओं को सामान्य करने के लिए किया जाता है। मैं अभी इसका अध्ययन शुरू कर रहा हूं।

मैंने कुछ समय पहले निष्कर्ष निकाला है कि अंतरिक्ष अतिशयोक्ति से यूक्लिडियन तक गोलाकार में बदल जाता है क्योंकि सिगमा की संख्या बढ़ जाती है। मैं पैरामीटर पी के माध्यम से एलपी रिक्त स्थान के एक समारोह के रूप में प्रत्येक स्थान और पी में हलकों की चर्चा भर में खुश था।

Answer 3

$n$