क्या सभी पीडीई को अलग करने के लिए लाइनों की विधि का उपयोग किया जा सकता है?

Question

मैंने पाया है कि लाइनों की विधि पीडीई के विवेक के बारे में सोचने का एक बहुत ही स्वाभाविक तरीका है। इसलिए मैं हमेशा उस मानसिकता के लिए डिफ़ॉल्ट होता हूं जब समीकरणों के एक नए सेट के साथ प्रस्तुत किया जाता है। मैंने कभी ऐसा पीडीई नहीं देखा जहां यह काम न करे।

मैं सोच रहा हूं कि क्या विवेकाधिकार विधियां (या पीडीई के प्रकार) हैं जो लाइनों की विधि के माध्यम से तैयार नहीं की जा सकती हैं। मुझे उम्मीद है कि किसी भी पीडीई जहां समय व्युत्पन्न समीकरण में निहित है और इस तरह के एक मामले के लिए हल नहीं किया जा सकता है (हालांकि मुझे इसका कोई वास्तविक उदाहरण नहीं पता है)। मैं तर्क के लिए देख रहा हूं कि क्यों लाइनों की विधि हमेशा लागू होती है या एक काउंटर उदाहरण है।

Answer 1

एक स्थिति जिसमें सामान्य विधि-की-लाइन दृष्टिकोण का उपयोग सीधे तरीके से नहीं किया जा सकता है, वह समीकरणों के साथ होता है जिसमें मिश्रित स्थान-समय डेरिवेटिव होता है .. "सामान्य विधि-ऑफ-लाइन दृष्टिकोण" से मेरा मतलब है कि स्थानिक डेरिवेटिव का विवेक रनगे-कुट्टा या लीनियर मल्टीस्टेप विधि का अनुप्रयोग। यह आमतौर पर केवल पहले-क्रम (समय में) के विकास पर लागू होता है PDEs।

इस तरह के मिश्रित डेरिवेटिव के साथ समीकरणों का एक उदाहरण ईक है। के (2.1) http://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/060676064 ।

कम से कम कुछ मामलों में, इस तरह के समीकरणों को फिर से विकसित करना संभव है, जैसा कि विकास के पहले क्रम के सिस्टम PDEs करते हैं, लेकिन मुझे तुरंत यहां ऐसा करने का कोई रास्ता नहीं दिखता है। ऐसे समीकरणों के लिए लाइनों की विधि को लागू करने के लिए अन्य चालें हो सकती हैं, लेकिन मुझे उनके बारे में पता नहीं है।