स्ट्रैंग बंटवारे का इष्टतम उपयोग (प्रतिक्रिया प्रसार समीकरण के लिए)

मैंने सरल 1D प्रतिक्रिया प्रसार समीकरण के समाधान की गणना करते हुए एक अजीब अवलोकन किया:

$\frac{\partial}{\partial t}a=\frac{\partial^2}{\partial x^2}a-ab$

$\frac{\partial}{\partial t}b=-ab$

$\frac{\partial}{\partial t}c = a$

का प्रारंभिक मूल्य $b$ एक स्थिर है ( $b(0,x)=b_0$ ), और मुझे केवल अभिन्न ओवर में दिलचस्पी है $a$ से $0$ सेवा $1$ ( $\int_0^1a(t,x)dt$ )। का उद्देश्य है $c$ और समीकरण $\frac{\partial}{\partial t}c = a$ इस अभिन्न का मूल्यांकन करने के लिए है।

मैंने प्रसार और प्रतिक्रिया के बीच युग्मन के लिए एक स्ट्रैंग बंटवारे की योजना का उपयोग किया (एक आधा कदम प्रतिक्रिया, फिर एक पूर्ण चरण प्रसार, और फिर एक आधा कदम प्रतिक्रिया), प्रसार के लिए एक क्रैंक निकोल्सन योजना, और प्रतिक्रिया के लिए एक विश्लेषणात्मक समाधान ( समीकरण सहित $\frac{\partial}{\partial t}c = a$ )।

चूँकि विश्लेषणात्मक समाधान का एक चरण क्रैंक निकोल्सन योजना के एक चरण की तुलना में एक कारक 3 धीमा से अधिक था, इसलिए मैंने प्रत्येक प्रतिक्रिया चरण के लिए एक से अधिक क्रैंक निकोलसन कदम बनाने की कोशिश की। मैं स्ट्रांग विभाजन योजना के कम कदम के साथ प्राप्त करने की उम्मीद कर रहा था, ताकि मैं समग्र रूप से तेज हो जाऊं।

हालाँकि, इसके विपरीत प्रभाव को देखा जा सकता है, अर्थात् यदि एक से अधिक क्रैंक निकोलसन स्टेप का उपयोग किया जाता है, तो स्ट्रांग विभाजन योजना के लिए और अधिक कदमों की आवश्यकता होती है। (मैं केवल अभिन्न ओवर की सटीकता से संबंधित हूं $a$ , जो कि तेजी से अभिसरण लगता है $a$ खुद।) कुछ समय के लिए सोचने के बाद, मैंने देखा कि उसी प्रभाव के लिए भी होता है $b(t,x)=b_0=0$ , और यह भी मैं समझता हूं कि इस मामले के लिए क्यों। मुद्दा यह है कि अगर मैं ठीक एक क्रैंक निकोलसन कदम बनाता हूं, तो समग्र योजना एक ट्रैपोज़ाइड योजना में बदल जाती है (यदि $b(t)=0$ )।

तो अगर मैं इलाज करता $\frac{\partial}{\partial t}c = a$ प्रसार कदम के हिस्से के रूप में, क्रैंक निकोलसन के कदमों की संख्या में वृद्धि (शायद) समग्र सटीकता को कम नहीं करेगी (जैसा कि देखा गया है)। लेकिन यह सिस्टम के गैर-रैखिक और संभावित रूप से बहुत कठोर) प्रतिक्रिया भाग के लिए एक विश्लेषणात्मक समाधान का उपयोग करने के उद्देश्य को हराने के लिए लगता है।

तो यहाँ मेरा सवाल है: क्या इलाज का एक बेहतर तरीका है $\frac{\partial}{\partial t}c = a$ स्ट्रैंग बंटवारे के संदर्भ में, या तो इसे प्रतिक्रिया कदम के हिस्से के रूप में मानते हैं, या प्रसार कदम के हिस्से के रूप में मानते हैं। मैं प्रसार के लिए वास्तव में एक क्रैंक निकोलसन कदम का उपयोग करने के लिए "मजबूर" होने से बचना चाहता हूं। (उदाहरण के लिए 3 डी में, मैं क्रैंक निकोलसन का उपयोग करने के बजाय एक एफएफटी द्वारा विश्लेषणात्मक रूप से प्रसार को हल करना पसंद करूंगा। बेशक मैं क्रैंक निकोलसन के साथ एफएफटी को भी जोड़ सकता हूं, इसलिए यह इतनी बड़ी बात नहीं है।)

parabolic-pde operator-splitting

— थॉमस क्लिम्पेल
स्रोत

में people.maths.ox.ac.uk/dellar/OperatorLB.html , एक समान प्रभाव का वर्णन किया जा रहा है। निष्कर्ष यह है कि सटीक समाधान के बजाय क्रैंक निकोलसन का उपयोग करना महत्वपूर्ण है। तो शायद मेरे सवाल का जवाब एक सरल नहीं है।

— थॉमस क्लिंपेल

आपके समीकरणों में कुछ गड़बड़ लग रही है।

c

$c$ पहले दो में युग्मन एक तरह से नहीं दिखता है और इसका अर्थ है कि आप गणना कर सकते हैं

c

$c$ कहीं भी

t

$t$ पोस्ट-प्रोसेसिंग कदम के रूप में।

— बिल बर्थ

@BillBarth मैंने अपनी भूमिका स्पष्ट करने के लिए प्रश्न को बदल दिया

c

$c$ । इसलिए

c

$c$ गणना करने के लिए सिर्फ एक साधन है

\int_{0}^{1} a (t, x) d t

$\int_0^1a(t,x)dt$ । कृपया मुझे बताएं कि क्या आपके पास कोई सुझाव है कि इस अभिन्न को अधिक सटीक कैसे गणना करें (जैसा कि मुझे ऊपर वर्णित स्ट्रैंग बंटवारे और क्रैंक निकोलसन के संयोजन से प्राप्त होता है), संभवतः पोस्ट-प्रोसेसिंग चरण का उपयोग करके।

— थॉमस क्लिम्पेल

यह अब एक लंबा समय हो गया है, लेकिन क्या आप जानते हैं कि समीकरणों की इस प्रणाली को एक परवलयिक पीडीई के रूप में लिखा जा सकता है

c

$c$ एक घातीय प्रतिक्रिया शब्द के साथ? मुझे लगता है कि मुझे आश्चर्य है कि क्या आप वास्तव में एक सरलीकृत के बजाय इस 3-चर प्रणाली को हल करना चाहते हैं।

— बिल बर्थ

@BillBarth मुझे यह जानने में दिलचस्पी होगी कि इस प्रणाली को एक घातीय प्रतिक्रिया अवधि के साथ एक परवलयिक पीडीई के रूप में कैसे लिखा जा सकता है। इस मॉडल के समाधान की गति मॉडल अंशांकन (जो कई घंटे लग सकते हैं) के दौरान एक सीमित कारक है, यहां तक कि समय के एकीकरण के संबंध में उपयोग की गई सटीकता पूर्ण अभिसरण से काफी दूर है।

— थॉमस क्लिम्पेल

मैं इसे एक उत्तर के रूप में लिखने जा रहा हूं, हालांकि यह सीधे सवाल का जवाब नहीं देता है।

दूसरे समीकरण और तीसरे समीकरण को पहले में प्लग करना, और तीसरे को दूसरे में प्लग करना, एक साथ देना:

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} सी}{\partial {टी}^{2}} & = \frac{\partial^{2}}{\partial {एक्स}^{2}} \frac{\partial सी}{\partial टी} + \frac{\partial ख}{\partial टी} \\ \frac{\partial ख}{\partial टी} & = - (\frac{\partial सी}{\partial टी}) ख \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial^2 c}{\partial t^2} &= \frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{\partial c}{\partial t} + \frac{\partial b}{\partial t} \\ \frac{\partial b}{\partial t} &= - \left(\frac{\partial c}{\partial t}\right) b \end{align}$ इन दोनों को फिर से व्यवस्थित करना:

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial टी} (\frac{\partial सी}{\partial टी} - \frac{\partial^{2} सी}{\partial {एक्स}^{2}} - ख) & = 0 \\ \frac{1}{ख} (\frac{\partial ख}{\partial टी}) & = - \frac{\partial सी}{\partial टी} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} - b \right) &= 0 \\ \frac{1}{b}\left(\frac{\partial b}{\partial t}\right) &= -\frac{\partial c}{\partial t} \end{align}$ अब, हम इन दोनों को एक बार में एकीकृत कर सकते हैं

t

$t$ , पहले समीकरण के लिए जा रहे हैं:

\frac{\partial सी}{\partial टी} - \frac{\partial^{2} सी}{\partial {एक्स}^{2}} = ख + ए (एक्स)

$\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} = b + A(x)$ तीसरे समीकरण का उपयोग करके, हम एकीकरण के "स्थिर" के रूप में व्यक्त कर सकते हैं

A (x) = a_{0} - \frac{\partial^{2} c_{0}}{\partial x^{2}} - b_{0}

$A(x)=a_0-\frac{\partial^2 c_0}{\partial x^2}-b_0$ । दूसरा समीकरण थोड़ा और मुश्किल है। थोड़ा पुनर्लेखन, हमारे पास है:

\int_{0}^{टी} \frac{1}{ख (एक्स, {टी}^{'})} (\frac{\partial ख (एक्स, {टी}^{'})}{\partial {टी}^{'}}) घ {टी}^{'} = - \int_{0}^{टी} \frac{\partial सी (एक्स, {टी}^{'})}{\partial {टी}^{'}} घ {टी}^{'}

$\int_0^t \frac{1}{b(x,t')}\left(\frac{\partial b(x,t')}{\partial t'}\right) dt' = -\int_0^t \frac{\partial c(x,t')}{\partial t'} dt'$ इससे समाधान होता है

\ln ख (एक्स, टी) - \ln ख_{0} (एक्स) = - सी (एक्स) + {सी}_{0} (एक्स)

$\ln b(x,t) - \ln b_0(x) = - c(x) + c_0(x)$ या

\ln \frac{ख}{ख_{0}} = - सी + {सी}_{0}

$\ln \frac{b}{b_0} = -c + c_0$ घातांक देता है:

ख = ख_{0} इ^{{सी}_{0} - सी}

$b = b_0 e^{c_0-c}$ और, अंत में, इस के लिए पीडीई में प्लगिंग

c

$c$ देता है

\frac{\partial सी}{\partial टी} - \frac{\partial^{2} सी}{\partial {एक्स}^{2}} = ख_{0} इ^{{सी}_{0} - सी} + ए (एक्स)

$\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} = b_0 e^{c_0-c}+A(x)$

की जगह $c$ द्वारा $c-c_0$ , या प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करके समकक्ष $c_0(x)=0$ , यह समीकरण सरल करता है

\frac{\partial सी}{\partial टी} = \frac{\partial^{2} सी}{\partial {एक्स}^{2}} + ए_{0} - (1 - इ^{- सी}) ख_{0}

$\frac{\partial c}{\partial t} = \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} + a_0 - (1-e^{-c}) b_0$ अब, आपको इस समीकरण को हल करने के सर्वोत्तम तरीके पर काफी साहित्य खोजने में सक्षम होना चाहिए। मुझे नहीं पता कि क्या क्रैंक-निकोलसन घातीय शब्द के लिए एक अच्छा विकल्प है, लेकिन यह प्रशंसनीय लगता है। इसकी गारंटी के लिए कुछ ध्यान रखना चाहिए

c > c_{0}

$c > c_0$ हर जगह या समाधान जल्दी से उड़ सकता है।

मैं केवल दो बार इस व्युत्पत्ति से गुजरा हूँ, इसलिए इसमें कोई त्रुटि या दो हो सकता है, लेकिन यह मेरे लिए सही अनुभव है। अगर $b_0 = 0$ हर जगह, तो यह स्पष्ट रूप से सही समाधान है, और इसकी अन्यथा पर्याप्तता है।

इस तक हल करना $t=1$ और मूल्यांकन $c(x,1)$ आपको वह उत्तर देना चाहिए जिसकी आपको तलाश है।

— बिल बार्थ
स्रोत

इस उत्तर के लिए बहुत बहुत धन्यवाद। मुझे यह काफी रोशन लग रहा है, कम से कम इससे मुझे समाधान के व्यवहार को समझने / भविष्यवाणी करने में आसानी होती है। एक और लाभ यह है कि समय का विकास

c

$c$ के समय के विकास की तुलना में धीमी है

a

$a$ , इसलिए मैं काफी आशावादी हूं कि अभिसरण पहले से बेहतर होगा।

— थॉमस क्लिम्पेल

कोई दिक्कत नहीं है। टिप्पणियों के हमारे प्रारंभिक आदान-प्रदान के बाद मैं मुझ पर हमला कर रहा था। मुझे आशा है कि यह उपयोगी है।

— बिल बैर्थ