यह सवाल लंबे समय से खुला है, लेकिन मुझे लगता है कि यह अभी भी जवाब देने लायक है।
व्यक्तिगत ब्लॉक पर क्रायलोव-स्पेस सॉल्वर के उपयोग के साथ मूल समस्या यह है कि वे आंतरिक प्रीकॉन्डिशनर्स हैं, वे रैखिक ऑपरेटर नहीं हैं। इसे समझने के लिए, आइए इसे निरूपित करते हैंx~=K(A,P,τ,N;b) वेक्टर आप एक Krylov अंतरिक्ष विधि चलाकर एक समाधान के रूप में मिलता है K रैखिक प्रणाली पर Ax=b अधिक से अधिक के लिए N पुनरावृत्तियों या एक सहिष्णुता तक τ एक पूर्ववर्ती का उपयोग करके पहुंचा जाता है P≈A−1। दूसरे शब्दों में, आप सोच सकते हैंK एक ऑपरेटर के रूप में जो कार्य करता है b।
अब ध्यान दें K(A,P,0,∞;⋅) एक रैखिक ऑपरेटर है: इसे हल करने की आवश्यकता होगी Ax=b बिल्कुल, K(A,P,0,∞;b)=A−1b, जो रैखिक है b। कई मामलों में, एक शून्य वेक्टर से शुरू होने वाले वास्तव में एक पुनरावृत्ति के लिए क्रायलोव अंतरिक्ष विधि चलाना भी एक रैखिक ऑपरेटर पर लागू होता हैb। लेकिन क्योंकि क्रिलोव वैक्टर का क्रम प्रारंभिक अवशिष्ट पर निर्भर करता हैr(0)=b−Ax(0), परिचालक K(A,P,τ,N;⋅) आम तौर पर परिमित के लिए एक रैखिक ऑपरेटर नहीं है N तथा τ।
इसका मतलब यह है कि यदि आप उपयोग करते हैं K(A,P,τ,N;⋅) एक रेखीय प्रणाली के लिए एक पूर्व शर्त के हिस्से के रूप में A एक ब्लॉक है, तो आप एक पूर्व-संचालक के साथ समाप्त होते हैं जो एक रैखिक ऑपरेटर के रूप में कार्य नहीं करता है।
यह कई अन्य तरीकों के विपरीत है जो पूर्वगामी के लिए उपयोग किया जाता है: उदाहरण के लिए, एक SSOR चरण वेक्टर पर एक रैखिक ऑपरेशन है, जिस पर आप इसे लागू करते हैं, अन्य सभी विधियां हैं जो एक निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति के एक चरण को लागू करती हैं।
मूलभूत समस्या अब यह है कि ज्यादातर क्रायलोव अंतरिक्ष विधियों की आवश्यकता है कि पूर्ववर्ती एक रैखिक ऑपरेटर है। यदि कंडक्टर आपके प्रेक्षण को स्पष्ट नहीं करता है, तो वे आसानी से अभिसरण नहीं करेंगे। दूसरी ओर, कुछ क्रायलोव अंतरिक्ष विधियों की विविधताएं हैं - आमतौर पर "लचीले" शब्द से उपसर्ग, जैसे "फ्लेक्सिबल जीएमआरईएस" में एफ-जीएमआरईएस - जो इसके चारों ओर काम करते हैं और यह उन पूर्व शर्त से निपट सकते हैं जो रैखिक नहीं हैं ऑपरेटरों। मूल तरीकों के ये लचीले वेरिएंट अभी भी अभिसरण करेंगे, और अक्सर अच्छे (लेकिन nonlinear) पूर्वसंधकों के साथ युग्मित होने पर शक्तिशाली तरीके होते हैं।