रैखिक पीडीई के लिए इस सरल त्रुटि अनुमान के बारे में क्या?

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चलो $\Omega$ एक उत्तल polygonally में Lipschitz डोमेन घिरा होना $\mathbb R^2$ , चलो $f \in L^2(\Omega)$ ।

$\Delta u = f$ $\Omega$ $\operatorname{trace} u = 0$ $\partial\Omega$ $H^2$ $C$ $\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$

कुछ परिमित तत्व सन्निकटन , एक समान ग्रिड पर नोडल तत्वों के साथ, हमारे पास त्रुटि अनुमान है $u_h$

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

ऐसा लगता है (शायद मैं इसके साथ गलत हूं) कि लोग आमतौर पर स्पष्ट त्रुटि अनुमान का उपयोग नहीं करते हैं

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

जिसे हम उपरोक्त दो असमानताओं के संयोजन द्वारा प्राप्त कर सकते हैं। इसके बजाय, विभिन्न रूपों में पोस्टीरियर त्रुटि अनुमानक विकसित किए जाते हैं। उपरोक्त समीकरण के खिलाफ मैं केवल एक ही आपत्ति कर सकता हूं कि निरंतर व्यवहार में बहुत निराशावादी हो सकता है या विश्वसनीय अनुमान नहीं हो सकता है। $C$

pde finite-element error-estimation

— shuhalo
स्रोत

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लोग मेरी राय में, पहले अनुमान का उपयोग क्यों करना पसंद करते हैं, इसका कारण यह है कि पहला स्वाभाविक रूप से एफईईएम के गैलेर्किन ऑर्थोगोनलिटी से उत्पन्न होता है, प्रक्षेप सन्निकटन संपत्ति, और सबसे महत्वपूर्ण रूप से बिलिनिन फॉर्म (पॉसन समीकरण के सीमा मूल्य की समस्या के लिए) , यह कार्यों के लिए Poincaré / Friedrichs असमानता के बराबर है ): $H^1_0$

\begin{aligned} ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1} (Ω)}^{2} & \leq c_{1} ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} & = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - u_{h}) \\ = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - I u) \\ \leq ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \\ \Rightarrow ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} & \leq ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \leq c_{2} h ‖ u ‖_{H^{2} (Ω)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$ जहां कार्यों के लिए Poincaré / Friedrichs असमानता में निरंतर पर निर्भर करता है , परिमित समय में का प्रक्षेप है तत्व स्थान, और

c_{1}

$c_1$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

I u

$\mathcal{I}u$

u

$u$

c_{2}

$c_2$ मेष के न्यूनतम कोणों पर निर्भर करता है।

जबकि अण्डाकार नियमितता का अनुमान केवल PDE स्तर पर है, इससे कोई लेना-देना नहीं है। सन्निकटन, प्लस उपर्युक्त तर्क तब भी धारण करता है जब एक वितरण है। $\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$ $f\in H^{-1}$

अब इस कारण से आगे बढ़ें कि पोस्टीरियर त्रुटि के अनुमानों का व्यापक रूप से उपयोग क्यों किया जाता है, इसका मुख्य कारण है:

यह कम्प्यूटेशनल है, अनुमानों की अभिव्यक्ति में कोई सामान्य स्थिरांक नहीं है।
अनुमानक का अपना स्थानीय रूप होता है, जो अनुकूली जाल शोधन प्रक्रिया में स्थानीय त्रुटि संकेतक हो सकता है। इसलिए, विलक्षणताओं या वास्तव में "खराब" ज्यामितीय समस्याओं के साथ निपटा जा सकता है।

आपके द्वारा सूचीबद्ध एक प्राथमिकता प्रकार के दोनों अनुमान मान्य हैं, वे हमें अभिसरण के आदेशों की जानकारी प्रदान करते हैं, हालांकि उनमें से कोई भी केवल एक त्रिकोण / टेट्राहेड्रॉन के लिए एक स्थानीय त्रुटि संकेतक नहीं हो सकता है, क्योंकि निरंतर होने के कारण उनमें से कोई भी गणना योग्य नहीं है। , न ही उन्हें स्थानीय रूप से परिभाषित किया गया है।

संपादित करें: अंडाकार पीडीई के लिए एफईएम के एक सामान्य दृश्य के लिए, मैं ब्रेनर और स्कॉट की पुस्तक में अध्याय 0 को पढ़ने की अत्यधिक सलाह देता हूं: गणितीय सिद्धांत की परिमित तत्व विधियां , जिसमें केवल 20 पृष्ठ हैं और परिमित तत्व विधियों के लगभग हर पहलू को शामिल किया गया है। , PDE से गैलेर्किन के निर्माण से, प्रेरणा के लिए कि क्यों हम कुछ समस्या से निपटने के लिए अनुकूली FEM का उपयोग करना चाहते हैं। आशा है कि यह आपकी अधिक मदद करेगा।

— शुआओ काओ
स्रोत

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आपका अनुमान दो मोर्चों पर बहुत निराशावादी है। आपने पहले वाले को पहले से ही पहचान लिया है ( अब न केवल प्रक्षेप स्थिरांक बल्कि स्थिरता स्थिर भी शामिल है)। दूसरा यह है कि त्रुटि का अनुमान वास्तव में पढ़ता है ध्यान दें कि दाहिने हाथ की तरफ सेमीमिनॉर्म है, न कि मानक। बेशक आप पूरे मानदंड से rhs को बांध सकते हैं, लेकिन आप इस तरह से फिर से खो देते हैं। $C$

‖ \nabla e ‖_{L_{2}} \leq C h | u |_{H^{2}} .

$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$

H^{2}

$H^2$

— वोल्फगैंग बंगर्थ
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